Метрические задачи на плоскости

Чтобы построить развертки  неразвертывающихся поверхностей, эти  поверхности разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверхностями. После этого строят развертки  этих частей, которые в сумме дают условную развертку неразвертывающейся поверхности.

6. Развертки пирамидальных и конических поверхностей

При развертывании поверхности  на плоскости каждой точке поверхности  соответствует единственная точка  на развертке: линия поверхности  переходит в линию развертки; длины линий, величины плоских углов и площадей, ограниченных замкнутыми линиями, остаются неизмеренными. Таким образом, процесс построения развертки сводится к отыскиванию натуральной (истинной) величины каждого элемента поверхности и изображению их на плоскости.

Рис. 146

Рис. 147

Рис. 148

Рис. 149

Каждая боковая грань  на развертке строится как треугольник  по трем сторонам. CS — самое короткое боковое ребро, поэтому рациональнее мысленно разрезать пирамиду по этому ребру.

Для нанесения на развертку  точек D, Е и F, соответствующих вершинам сечения пирамиды плоскостью Sum, нужно определить истинные расстояния этих точек от вершины S. После построения развертки боковой грани поверхности усеченной части пирамиды нужно пристроить к ней треугольники АBС и DEF, дающие истинную величину основания и сечения пирамиды.

На рис. 149 способом триангуляции построена развертка конической поверхности, которая заменена поверхностью вписанной в нее двенадцатиугольной пирамиды. Развертка представляет собой симметричную фигуру, так как поверхность имеет плоскость симметрии Sum. В этой плоскости лежит самая короткая образующая S-6. По ней и сделан разрез поверхности. Самая длинная образующая S-0 является осью симметрии развертки поверхности.

Натуральные величины образующих определены с помощью прямоугольных  треугольников, как в предыдущей задаче на рис. 149. От оси симметрии S-0 строим шесть в одну сторону и шесть в другую сторону примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Каждый из треугольников строим по трем сторонам, при этом две сто-

Рис. 150

роны равны истинным величинам образующих, а третья — хорде, стягивающей дугу окружности основания между соседними точками деления. Построенные на развертке точки О, 1, 2, ... соединяются. Построение развертки значительно упрощается, если поверхность представлена прямой пирамидой правильной формы или прямым круговым конусом. На рис. 150 приведена развертка четырехгранной прямой пирамиды. Построение ее упрощается тем, что образующая пирамиды AS и CS параллельны фронтальной плоскости проекций и на нее спроецировались в натуральную величину. Основание же пирамиды ABCD лежит в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций, и на нее проецируется в натуральную величину. Для построения развертки достаточно построить сторону AS и сделать засечки радиусом дуги, равным BS и АВ из точек S и А, соответственно получим точку В и т. д. Основание же в натуральную величину можно построить на базе одной из его сторон (на рис. 150 — на базе стороны АВ). Положение точки на поверхности развертки пирамиды определим в следующем порядке: через фронтальную проекцию точки М (М₂) проведем горизонтальную линию до пересечения с ребрами A₂S₂ и B₂S₂. Получим точки 11 и 22. На линии AS развертки от точки А отложим отрезок h и из полученной точки 1 проведем линию 1, 2 параллельно AD на которой нанесем точку М в том положении, которое она занимает на горизонтальной проекции линии 1, 2.

Рис. 151

На рис. 151 приведен пример построения развертки прямого кругового конуса. Для построения ее используем то, что очерковая образующая конуса l на фронтальной плоскости изобразилась в натуральную величину. Выбрав положение вершины развертки — точку S, радиусом L проводим дугу и откладываем на ней 12 равных частей, на которые предварительно разделили окружность основания конуса, изображенного на горизонтальной плоскости проекции в натуральную величину. Чем на большее количество равных участков разделим окружность, тем точнее построим развертку. Положение точки М на развертке поверхности конуса определим следующим образом: через фронтальную проекцию точки проведем образующую и построим горизонтальную ее проекцию. Найдем, что образующая пересекла основание конуса между точками 5 и 6. Точку К переносим на дугу развертки, расположив ее между точками 5 и 6, и соединим с вершиной конуса развертки S. Из точки M₂ проведем горизонтальную линию до пересечения с очерковой образующей L и получим точку M₂. Расстояние от основания конуса до точки M₂ по образующей является высотой точки, которую откладываем на развертке от точки К на линии KS. Полученная точка определит истинное положение точки M на развертке. Таким образом, развертку конической поверхности построим с помощью соседних точек окружности основания, в которую вписан правильный двенадцатиугольник, т. е. коническая поверхность условно заменена поверхностью, вписанной правильной двенадцатиугольной пирамидой, а для построения развертки применен способ триангуляции.

7. Развертки призматических и цилиндрических поверхностей

Развертки призматических и цилиндрических поверхностей строят способом нормального сечения. Поверхность  рассекают плоскостью, перпендикулярной ее образующим (ребрам), и определяют истинную величину нормального сечения. Линию нормального сечения развертывают в прямую. Тогда образующие (ребра) поверхности при развертке ее на плоскость располагаются перпендикулярно развертке линии нормального сечения, которую принимают за базу отсчета размеров образующих (ребер).

На рис. 152 построена полная развертка поверхностей треугольной призмы ABCDEF. Так как боковые ребра призмы BE, AD и CF параллельны плоскости П₂, то они в истинную длину изображены на фронтальной плоскости проекций. Плоскость нормального сечения Sum(Sum₂) является фронтально проецирующей. Нормальное сечение POR призмы построено в натуральную величину на плоскости П₄, параллельной плоскости Sum и перпендикулярной плоскости П₂. Линию нормального сечения разворачиваем в прямую и через точки Р, Q, R, и Р проводим прямые, перпендикулярные развертке линии нормального сечения. На каждом из построенных перпендикуляров откладывают по обе стороны от линии Р Р отрезки боковых ребер, измеренные на плоскости П₂ (до нормального сечения и после него). Отмечаем точки

Рис. 152

Рис. 153

ребер на развертке А и D; С и F; В и Е, соединяем их отрезками прямых, которые дают истинную величину сторон основания призмы. Присоединяя к разверткебоковой поверхности призмы оба основания (треугольники А В С и DEТ), получаем полную развертку призмы. На развертку призмы нанесена точка М, принадлежащая грани призмы ACFD, с помощью вспомогательной прямой, параллельной ребрам призмы и пересекающей нормальное сечение в точке 1.

На рис. 153 построена  развертка боковой поверхности эллиптического цилиндра, в который для построения развертки вписана двенадцатиугольная призма. Поверхность имеет фронтальную плоскость симметрии. Самая длинная образующая — нулевая, самая короткая — шестая, по ней и сделан разрез поверхности. Развертка — фигура симметричная относительно нулевой образующей. Истинная величина половины нормального сечения поверхности плоскостью Sum построена на плоскости П₄ — эллипс. Разворачиваем дугу полуэллипса в прямую 0 — 6с помощью хорд 0₄—1₄, ... 5₄ — 6₄, заменяющих кривые участки эллипса. В точках 0, 1, ... 6 на развертке восстанавливаем перпен-

Рис. 154

Рис. 155

дикуляры, по которым  откладываем натуральную длину  участков, образующих поверхности (до нормального сечения и после  него), измеренную на плоскости П₂. Концы отрезков соединяем плавными кривыми, которые являются разверткой оснований поверхности.

С помощью седьмой  образующей на развертку нанесена точка  поверхности.

Построение разверток  призматических и цилиндрических поверхностей значительно упрощается, если они представлены простыми прямыми фигурами. Для примера на рис. 154 приведена развертка трехгранной призы правильной формы. Развертки ее строим, воспользовавшись тем, что ребра ее АА, ВВ, СС параллельны фронтальной плоскости проекций и проецируются на нее в натуральную величину, а нижнее ABC и верхнее А'В'С' основания параллельны горизонтальной плоскости проекций и проецируются на нее в натуральную величину. Точка М на развертке трехгранной призмы строится обычным способом.

На рис. 155 приведен пример построения развертки прямого кругового цилиндра. Ее высота Н на фронтальную плоскость проекций проецируется в натуральную величину, а нижнее и верхнее основания параллельны горизонтальной плоскости проекций и на нее проецируются в натуральную величину. В этом случае развертку цилиндрической поверхности строим с помощью хорд, соединяющих соседние точки деления окружности оснований, в который вписан правильный двенадцатиугольник. В этом случае цилиндрическая поверхность условно заменена поверхностью вписанной правильной двенадцатигранной призмы, и развертка цилиндрической поверхности построена способом триангуляции.

Положение точки М на развертке цилиндрической поверхности определяется обычным способом.

8. Примеры позиционных и метрических задач на плоскость

Пример 1. В плоскости, заданной треугольником АВС, построить  точку D (рис. 3.21).

Решение.

1. Необходимо в данной  плоскости провести прямую. Зададим  для этого две точки, заведомо  лежащие в данной плоскости.  Одной из таких точек может быть вершина А(А1;А2) треугольника. Вторую точку Е(Е1;Е2) зададим на стороне ВС. Через одноименные проекции А1 и Е1, А2 и Е2 проведем прямые. Эти прямые являются проекциями прямой. Лежащей в данной плоскости.

2. На построенной прямой  АЕ зададим точку D. Для этого построим D1ÎА1Е1 и D2ÎА2Е2. Точка D лежит в заданной плоскости, т.к. она принадлежит прямой АЕ, лежащей в этой плоскости.

Рис. 3.21

Пример 2. Построить линию  наибольшего уклона плоскости, заданной параллельными прямыми а(а1; а2) и b(b1; b2) и определить угол a  между этой плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис. 3.22)

Рис. 3.22

Решение

Проведем горизонталь h данной плоскости (см. гл.3 рис. 3.3, в). Проекциями этой горизонтали будут прямые h1 и h2.

Проведем прямую, перпендикулярную к горизонтальной проекции горизонтали, и отметим точки С1 - пересечения  её с h1 D1 – са1. Прямая С1D1 является горизонтальной проекцией линии наибольшего ската.

Построим фронтальные  проекции С2 и D2. Для этого из С1 и D1 проведем вертикальные линии связи  до пересечения соответственно с h2 и а2.

Прямая, соединяющая точки  С2 и D2, является фронтальной проекцией линии наибольшего уклона.

D0C1D1Ð=a определяем из прямоугольного треугольника D1C1E0, построенного на С 1D1 как на катете. Второй катет D0D1 = E2D2. Искомый угол aУгол

Пример 3. Задана плоскость  пересекающимися прямыми АВ и CD. Определить лежит ли прямая KL в этой плоскости.

Рис. 3.23

Решение.

1. Обозначим точки  пересечения фронтальных проекций  прямых АВ и KL через 12 и прямых CD и KL через 22.

2. Строим их горизонтальные проекции – точки 11 и 22 на горизонтальной проекции (K1L1) прямой KL. Из построения видно, что точки 1(1112) и 2(2122) прямая KL на заданной плоскости не лежат. Следовательно, прямая KL в плоскости не лежит. Решение этой задачи можно начать и с пересечения горизонтальных проекций.

Пример 4. В плоскости, заданной двумя параллельными прямыми  АВ и CD, провести фронталь на расстоянии 15 мм от фронтальной плоскости проекций (рис. 3.24)

Рис. 3.24

Решение. Проводим на расстоянии 15 мм от оси проекций параллельную ей горизонтальную проекцию (11-22) фронтали, которая пересекает прямые А1В1 и C1D1 в точках 11 и 22.

Затем находим точки 11 и 22 на прямых А2В2 и C2D2 и проводим через них фронтальную проекцию (1222) фронтали.

 

 

Литература

1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М: Высшая школа, 2000.

2. Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 2001.

3. Локтев О.В., Числов П.А. Задачник по начертательной геометрии. М.: Высшая школа 2001.

4. Гордон В. О., Иванов Ю.Б., Солнцева Т.Е. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 1998.

М.: Высшая школа, 2000.

Санкт-Петербург

2013