Метрические задачи на плоскости

Комитет общего и профессионального  образования Ленинградской области

Автономное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

«Ленинградский государственный  университет имени А.С. Пушкина»

 

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И  ИНФОРМАТИКИ 
Кафедра высшей математики

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

Дисциплина: Геометрия

 

 

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ

Выполнил:

студент 3-го курса

Шилов К.А.

Научный руководитель:

канд. ф.-м. наук, доцент

Игнатьева И. В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение

Геометрия – это наука  о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в  переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.

Легко представить себе поверхность как границу тела: плоская поверхность стола, сферическая поверхность мяча, цилиндрическая поверхность трубы. Но такое представление не полно. Возьмем тонкую замкнутую проволоку изогнутой формы и опустим её в мыльную пену. Если мы осторожно извлечем её из пены, то увидим, что просвет в проволочном "кольце" затянут тончайшей мыльной пленкой. Правильно представлять себе поверхность именно как тонкую пленку (но лишенную всякой толщины).

Важнейшая и простейшая поверхность - плоскость. Прямая m, лежащая  в плоскости, разбивает её на две части - полуплоскости; точки этой прямой и только они являются общими точками обеих полуплоскостей. Если А - точка одной полуплоскости, а В - другой, то отрезок АВ пересекает границу m полуплоскостей в некоторой точке С, лежащей между А и В.

Плоскости задаются тремя  точками и обозначаются часто  так: плоскость АВС или PQR и т.д. Иногда бывает проще обозначать плоскость одной буквой греческого алфавита: a, b, g, d...

Под фигурой обычно понимают некоторое сочетание определенным образом расположенных в одной плоскости (а иногда и в пространстве) элементов: точек, прямых, лучей, отрезков (иногда и плоскостей).

Под телом понимают обычно часть пространства, ограниченную какой-либо замкнутой поверхностью. Так, конус - тело, ограниченное канонической поверхностью с боков и плоским круглым  основанием снизу. Куб - тело, ограниченное шестью квадратными гранями, и т.д. Курс геометрии традиционно подразделяется на планиметрию и стереометрию; в планиметрии рассматриваются свойства различных фигур (треугольников, многоугольников, окружностей), лежащих в плоскости. В стереометрии изучаются свойства пространственных фигур и тел.

Целью курсовой работы является раскрытие сущности ГМТ на плоскости, применение к типовым задачам. На протяжении работы расписываются подробные  методы нахождения ГМТ на плоскости, приводятся примеры задач.

Для ГМТ равноудалённых от двух данных точек и ГМТ равноудалённых от заданной точки, рассмотрим подробное описание нахождения геометрического места точек.

 

1. Общие сведения о метрических задачах.

К метрическим относятся задачи, связанные с определением истинных (натуральных) величин расстояний, углов и плоских фигур на комплексном чертеже. Можно выделить три группы метрических задач.

1. Группа задач, включающих  в себя определение расстояний  от точки до другой точки;  от точки до прямой; от точки  до плоскости; от точки до  поверхности; от прямой до другой прямой; от прямой до плоскости; от плоскости до плоскости. Причем расстояние от прямой до плоскости и между плоскостями измеряется в тех случаях, когда они параллельны.

2. Группа задач, включающая  определение углов между пересекающимися  или скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями (имеется в виду определение величины двухгранного угла).

3. Группа задач, связанная  с определением истинной величины  плоской фигуры и части поверхности  (развертки).

Приведенные задачи могут быть решены с применением различных способов преобразования чертежа. В основе решения метрических задач лежит свойство прямоугольного проецирования, заключающееся в том, что любая геометрическая фигура на плоскость проекций проецируется в натуральную величину, если она лежит в плоскости, параллельной этой плоскости проекций. Решение задач значительно упрощается, если хотя бы одна из геометрических фигур, участвующих в задачах, занимает частное положение. Если одна из геометрических фигур не занимает частного положения, необходимо выполнить определенные построения, позволяющие провести одну из них в это положение.

2. Определение истинной величины расстояний

Некоторые задачи на определение  расстояний рассматривались в предыдущих разделах. Например, в § 42 определялась натуральная величина отрезка прямой линии методом треугольника, в § 57 определялась натуральная величина отрезка способом плоскопараллельного переноса. Эта задача может быть также решена способом замены плоскостей проекций (см. § 58) или способом вращения (см. § 59). Определение длины отрезка прямой позволяет решить задачу определения расстояния от точки до точки, так как это расстояние и определяется отрезком прямой. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Значит, нужно преобразовать чертеж данной прямой, сделав ее в новой системе плоскостей проекций проецирующей (см. § 58, задача 2). На рис. 140 определено расстояние от точки М до прямой АВ:

1) П₂_|_П₁-> П₁_|_П₄, П₄ ||АВ, П₁/П₄ ||A₁B₁;

2) П₁П₄ -> П₄_|_П₅, П₅ _|_AB, П₄/П₅ _|_A₄B₄;

3) M₅K₅ — истинное расстояние от точки М до прямой AB;

4) чтобы построить  проекции перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей, строят основание перпендикуляра— точку К—на прямой АВ из условия, что в системе П₄ _|_П₅; он занимает положение линии уровня, т. е.

M₄K₄_|_A₄B₄. Горизонтальная и фронтальная проекции точки К определяются по линиям из условия принадлежности ее прямой АВ. Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т. е. преобразовать чертеж (см. § 58, задача 3). На рис. 141 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости Q(ABC):

Рис. 140

1) П₁,П₂->П₁_|_П₄, П₄_|_Q, П₁ /П₄ _|_ h(A, 1)~ 0;

2) М₄K₄ _|_Q₄ — истинная величина расстояний от точки М до плоскости Q;

3)M₁K₁_|_K₄K_l или || П₁/ П₄;

4) K₂ построена с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П₄.

Расстояние между параллельными  прямыми измеряется отрезком перпендикуляра между ними. На рис. 142 определено расстояние между прямыми а и b путем преобразования чертежа прямых. Сначала построено 
 

Рис. 141

изображение прямых на плоскости  П₄_|_П₁. В этой системе плоскостей прямые занимают положение линии уровня:

а(b)|| П₄; П₁ /П₄ ||а,(b₁).

В системе плоскостей П₄ _|_ П₅ прямые занимают проецирующее по отношению к плоскости Пз положение: П₅ _|_ а(b); П₄/П₅ _|_a(b₄) Отрезок M₅K₅ между вырожденными проекциями прямых определяет истинную величину расстояния между прямыми а и Ъ. Построения проекций перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей проекций аналогичны рассмотренным ранее.

Рис. 142

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми  необходимо одну из прямых сделать  проецирующей в новой системе  плоскостей проекций.

Расстояние от прямой до плоскости, параллельной прямой, измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Значит, достаточно плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей плоскости, взять на прямой точку, и решение задачи будет сведено к определению расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется отрезком перпендикуляра между ними, который легко строится, если плоскости займут проецирующее положение в новой системе плоскостей проекции, т. е. опять используется третья исходная задача преобразования чертежа.

3. Определение истинной величины углов

Задачу на определение  истинной величины углов (плоских) удобнее  решать путем преобразования исходного  чертежа способом вращения вокруг линии  уровня. Истинная величина углов между  пересекающимися прямыми с и d (рис. 143) определена следующим образом: плоскость угла повернута вокруг своей фронтали f (1, 2) до совмещения ее с фронтальной плоскостью уровня Ф (Ф₁), проходящей через

Рис. 143

фронталь f Проекция MI совмещения вершины М угла между прямыми с и d находится на проекции Sum2 фронтально проецирующей плоскости Sum, в которой вращается точка М. Определив с помощью прямоугольного треугольника О₂М₂М натуральную величину радиуса вращения r и отложив ее на проекции Е₂ от фронтальной проекции центра вращения, получаем изображение точки М на плоскости П₂ в совмещенном с плоскостью Ф положении. Соединяя фронтальные проекции неподвижных точек 1 и 2 с построенной точкой М, получаем проекции с₂ и d₂,совмещенных с плоскостью Ф прямых с и d. Угол между прямыми с₂ и d₂ определяет натуральную величину искомого угла между пересекающимися прямыми с и d.

Эта задача также может  быть решена способом замены плоскостей проекций. Для этого двойной заменой плоскостей проекций нужно сделать плоскость угла плоскостью уровня, решив последовательно сначала третью исходную задачу, а затем — четвертую.

Натуральная величина угла между скрещивающимися прямыми определяется как угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

Угол а между прямой l и плоскостью 6 может быть определен через дополнительный угол р между заданной прямой l и перпендикуляром п к данной плоскости, проведенной из любой точки прямой (рис. 144). Угол Р дополняет искомый угол а до 90°. Определив истинную величину угла Р путем вращения вокруг прямой уровня плоскости угла, образованного прямой l и перпендикуляром и, остается дополнить его до прямого угла. Этот дополнительный угол и даст истинную величину угла а между прямой l и плоскостью 0.

Истинная величина двугранного  угла — между двумя плоскостями Q и л. — может быть определена или путем замены плоскости проекций с целью преобразования ребра  двугранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2), или если ребро не задано, как угол между двумя перпендикулярами n¹ и n², проведенными к данным плоскостям (см. § 61) из произвольной точки Мпространства (см. рис. 145). В плоскости этих перпендикуляров при точке М получаем два плоских

Рис. 144

Рис. 145

угла а и Р, которые  соответственно равны линейным углам  двух смежных углов (двугранных), образованных плоскостями q и л,. Определив истинную величину углов между перпендикулярными n¹ и n² путем вращения вокруг прямой уровня, тем самым определим и линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями q и л.

4. Определение истинной величины плоской фигуры

Определение истинной величины плоской фигуры можно осуществить  путем преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций. На рис. 146, а дан комплексный чертеж прямоугольника ABCD. Ни одна из проекций прямоугольника не занимает частного положения. Задачу решаем последовательным решением третьей и четвертой основных задач. Заменив плоскость П₂ на П₄, приводим прямоугольник в частное положение, т. е. в виде проецирующей по отношению к П₄- Выполнив вторую замену, то есть замену П₄ на П₅, определяем истинную величину прямоугольника ABC.

Задачу определения истинной величины прямоугольника можно также решить способом вращения вокруг линии уровня плоскости этой фигуры до совмещения с соответствующей плоскостью уровня (рис. 146, б).

В ряду рассматриваемых задач может  быть также решена задача на определение  истинной величины фигуры сечения поверхности проецирующей плоскостью. В этом случае достаточно одной замены плоскостей проекций (исходная задача 3). В этом случае истинную величину фигуры сечения можно легко построить путем непосредственного замера расстояний точек фигуры «вдоль сечения» и «поперек сечения» (рис. 147).

Длина фигуры сечения АВ изображается в истинную величину на плоскости П₂, так как является отрезком фигуры фронтали секущей плоскости. Расстояние между симметричными точками «поперек сечения» изображается в натуральную величину на плоскости П₁ так как является отрезками горизонталей секущей плоскости Sum.

5. Построение разверток поверхностей

При изготовлении различных  конструкций и изделий из листового  материала имеет большое значение построение разверток поверхностей. Если представить себе поверхность как гибкую нерастяжимую пленку, то некоторые из них путем изгиба можно совместить с плоскостью без разрывов и деформаций. Такие поверхности относятся к развертывающимся, а полученную в результате развертывания поверхности плоскую фигуру называют разверткой этой фигуры. Те поверхности, которые нельзя совместить без разрывов и деформаций, относятся к неразвертываемым (см. § 45).

В практике возникает  необходимость изготовления из листового  железа не только развертывающихся плоскостей. Теоретически точно развертываются только гранные поверхности, торсы, конические или цилиндрические поверхности. При развертывании конических и  цилиндрических поверхностей общего вида в практике их аппроксимируют вписанными гранными поверхностями. В этом случае чем больше граней содержит вписанная поверхность, тем точнее ее развертка. Построенные таким образом развертки поверхностей называют приближенными.