Методика обучения решению задач на доказательство неравенств в курсе алгебры базовой школы

Замечание 2. Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b (рис. 116). В геометрии доказано, что

 
 
 (так что  не случайно для этого выражения  ввели термин «среднее геометрическое»). А что  такое   ? Это длина половины гипотенузы. Но из  
геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз и равна половине гипотенузы. Таким  
образом, неравенство Коши означает, что медиана,  проведенная к гипотенузе (т. е.  ), не меньше высоты, проведенной к гипотенузе

(т.е.  ), — очевидный геометрический факт (см. рис. 116). Свойства числовых неравенств позволяют сравнивать действительные числа по величине, оценивать результат. 

Пример 4. Сравнить числа:

 
 
Решение,

а) Поставим между  сравниваемыми числами знак < ; интуиция подсказывает, что первое число меньше второго. Если в результате правильных (т. е. строгих, основанных на свойствах числовых неравенств) рассуждений мы получим верное неравенство, то наша догадка подтвердится.

Если же в  результате правильных рассуждений  мы получим неверное неравенство, то между заданными числами надо было поставить не знак <, а знак > (или = , если окажется, что числа равны).

Итак, мы считаем, что   • Тогда, согласно свойству 6,   , т. е. 5 < 7. Это верное неравенство, значит, наша догадка подтвердилась:   .  
б) Поставим между сравниваемыми числами наугад знак > (тут уже действительно наугад, поскольку интуиция здесь не поможет), т. е. предположим,

что   • Возведя обе части неравенства в квадрат и используя свойство 6,

получим

Воспользовавшись  свойством 2, прибавим к обеим частям этого неравенства число -9; получим

 
 
Решение, а) Умножив все части  двойного неравенства 2,1<а< 2,2 на одно и то же положительное число 2, получим  
2 • 2,1 < 2а < 2 • 2,2, т. е. 4,2 <2а< 4,4.  
б) Умножив все части двойного неравенства 3,7 < b < 3,8 на одно и то же отрицательное число - 3, получим неравенство противоположного смысла:  
- 3 • 3,7 > - Зb > - 3 • 3,8, т. е. - 11,4 < - 36 < - 11,1 (вместо записи вида а > b > с мы перешли к более употребительной записи с <b < а).

в) Сложив почленно заданные двойные неравенства одинакового смысла, получим

 
 
г) Сначала умножим все части  двойного неравенства 3,7 < b < < 3,8 на одно и то же отрицательное число -1; получим неравенство противоположного смысла  
- 3,7 > - b > - 3,8, т. е. - 3,8 < - b < - 3,7.  
Далее имеем

 
 
д) Поскольку все части двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 положительны, возведя их в квадрат, получим  
2,1²<а²<2,2², т. е. 4,41 < а² < 4,84.  
е) Возведя в куб все части двойного неравенства 3,7 < b < 3,8, получим  
3,7³ < b³ < 3,8³, т. е. 50,653 < b³ < 54,872.

ж) В примере 1 мы установили, что если а и b—  положительные числа, то из неравенства  а < b следует неравенство противоположного смысла  . Значит из двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 следует, что

 

Мы разобрали  случаи использования доказательства неравенств в школьной практике. 

2.Конспект  урока. 

Тип учебного занятия: 
“Изучение и первичное закрепление новых знаний”

Этапы занятия:

1.Актуализация опорных занятий.(10мин)

2.Усвоение новых знаний и способов действий.(15мин)

3.Первичное закрепление знаний и способов действий.(10)

4.Контроль и самопроверка знаний, рефлексия.(10)

5.Подведение итогов занятий.(1мин)

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Подготовка к основному этапу. Обеспечение мотивации, значимости изучаемой темы занятия и принятия учащимися учебно-познавательной деятельности, актуализация опорных знаний.

а) С помощью  неравенств сравниваются большие и малые величины; 
b) Вопрос: 
- С помощью какого приема мы умеем доказывать неравенство вида a<b? 
Ответ: 
- Один из приемов доказательства неравенства a<b (a>b) сводят к доказательству равносильного ему неравенства a-b<0 (a-b>0); 
c) Повторим данное доказательство на примере неравенства Коши. 
“Среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического”:

Доказать: 

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:

Не отрицательность квадрата любого вещественного числа очевидна.

Значит,    – верное неравенство.

2.

a) Вопрос:

- Попробуем сформулировать  другой прием. 
Ответ (учитель помогает ответить на вопрос): 
- Другой прием состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство является следствием некоторого очевидного неравенства: 
(a-b)²   0, (a+b)²   0 или неравенства Коши    , при а 0, b 0, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел;

b) Докажем, что  (a+b)(ab+1)   4ab, при а 0, b 0.

Доказательство: Рассмотрим a+b и ab+1.

Используем очевидное  неравенство Коши:

второго множителя.

Перемножим получившиеся неравенства:

с) Так же используют следующий прием: предполагают, что  данное неравенство верно при  заданных значениях переменных, строят цепочку неравенств-следствий, приводящую к некоторому очевидному неравенству. Рассматривая затем эту цепочку  неравенств снизу вверх, показывают, что данное неравенство является следствием полученного очевидного неравенства и потому верно при  указанных значениях переменных.

Значит, доказательство (a+b)·(ab+1)   4ab, при а 0, b 0 можно выполнить другим способом.

Допустим, что  при а 0, b 0 данное неравенство верно, т.е.:

Используя неравенство  Коши дважды для каждого множителя, имеем:

Значит, (a+b)·(ab+1)   4ab, при а 0, b 0, что и требовалось доказать.

3. Докажем: 

Доказательство: Допустим, что данное неравенство  верно.

Получили очевидное  неравенство.

Значит, данное неравенство   верно.

Вопрос: Мы можем  привести доказательство данного неравенства  из очевидного неравенства (a+b-2)²   0?

Ответ: Да, для  этого сделаем обратные шаги (рассказать по готовой записи)

4. Контрольная самопроверка знаний. Для самостоятельной работы предлагается доказать, что неравенство верно при всех значениях переменной (работа в парах).

Для доказательства неравенств используем любой прием (проверка работы по готовым записям).

Доказательство:                                                                          

 а) Допустим, что неравенство верно.

Неравенство очевидно, значит,   верно при всех значениях   переменных.

Значит, 2a² + b² + c²   2a(b+c) верно при всех значениях переменных.

Доказательство: Пусть данное неравенство верно  при допустимых значениях переменных.

(Проверка решения  по готовым записям).

5. Итог занятия

a) Проводится  рефлексия результатов самостоятельной  работы, выясняются проблемы и  их коррекция.

Дается оценка деятельности каждого учащегося.

Листы с доказательствами собрать на проверку.

Работа считается  хорошей, если доказано одно неравенство, успешной – если доказано два или  три неравенства.

b) Какие приемы  использовались на занятии?

– сводили доказательства к равносильному неравенству a-b < 0 (a-b > 0). 
– использовали очевидные неравенства (a-b)²   0, (a+b)²   0, неравенство Коши   
– допускали, что неравенство верно и приводили его к очевидному

неравенству. 
 

3.«Доказательство  неравенств» в  школьном курсе  математики.

 На  базовом уровне задачи на доказательства неравенств встречаются в учебнике Ю.Н. Макарычева «Алгебра 8 кл.» в теме «Числовые неравенства и их свойства»

   Изложение материала начинается с определения  понятий меньше и больше. Введенное  определение является опорным при  доказательстве свойств числовых неравенств и при выполнении упражнений на доказательства неравенств. Доказательства неравенств проводятся при помощи сравнения с нулем разности их левой и правой частей.

   Затем рассматриваются неравенства, доказанные с использованием основных свойств, доказанных сразу, а так же, что  очень важно, рассматриваются задачи на оценивание значений выражений. В  дальнейшем приобретенные навыки доказательства неравенств находят применение при  рассмотрении общих свойств функций. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.Заключение.

     Рассматриваемая тема: «Доказательство неравенств» как задача сложнее, чем усвоение алгоритмов решения простых неравенств – доказательство обычно основано на эвристике, а не на алгоритмах. Поэтому в основной школе принято рассматривать лишь неравенство Коши между средними арифметическим и геометрическим и следствие о сумме взаимно обратных чисел, хотя в рамках содержания обучения основной школы вполне можно рассматривать соответствующие неравенства и для средних гармонического и квадратического – их доказательства вполне алгоритмичны. Но в профильном курсе ознакомление учащихся с самой задачей доказательства неравенств и с применяемыми методами рассуждений представляется в настоящее время совершено необходимым.   Это позволяет учащимся при решении задач перейти с уровня формально – оперативных умений, на более высокий уровень, позволяющий строить логические цели рассуждения; делать выводы о выборе решения, анализировать и оценивать полученные результаты. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                    Список использованной литературы.

1. В.А.Гусев, А.Г.Мордович «Математика. Справочные материалы» Книга для учащихся М.: «Просвещение» 1990 г.
2. Под ред. Ю.Н. Макарычева и Н.Г.Миндюк «Преподавание алгебры в 6-8 классах» М.: «Просвещение» 1980 г.
3. Под ред. Теляковского С.Л. «Алгебра» учебник для 9 кл. общественных учреждений. М.: «Просвещение» 1995 г.
4. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк./ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.В.; Под ред. Теляковского С.А. – М.: Просвещение.
5. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Уч. пос. для студ. пед. инст-в по физ-мат. спец-м/ А. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др. Сост.В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987.
6. Абрамович М.И., Стародубцев М.Т.Математика: алгебра и элементарные функции. 1976
7. Методика преподавания математики в средней школе. /В.А. Ованесян и др. – М: Просвещение, 1980. – 368 с.
8. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин «Лекции и задачи по элементарной математике» М.: Изд. «Наука» 1974 г.
9. В.В.Вавилов, И.И.Мельников и др. «Задачи по математике. Уравнения и неравенства» М.: Изд. «Наука» 1987 г.
10. Я.И.Груденов  «Совершенствование методики работы учителя математики» Книга для учащихся. М.: «Просвещение» 1988 г.
11. С.В.Кравцов, Б.Н.Макаров и др. «Методы решения задач по алгебре» Экзамен «Оникс 21 век» М.: 2001 г.
12. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.:Наука,1986. – 320 с.
13. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 частях. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) М.: Мнемозина, 2007 – 424 с.
14. Под ред. Ю.Н. Макарычева и Н.Г.Миндюк «Преподавание алгебры в 6-8 классах» М.: «Просвещение» 1980 г.
15. М.К.Потапов, В.В.Александров, П.И.Пасиченко  «Лекции по алгебре и элементарным функциям» Изд. Москва МТУ 1978 г.
16. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. - М.: МГУ, 1991 г.
17. Методика преподавания математики в средней школе. /В.А. Ованесян и др. – М: Просвещение, 1980. – 368 с.
18. Под.ред. Г.С.Ковалевой «ЕГЭ Математика» Контрольные измерительные материалы. М.: «Просвещение» 2003 г