Методика обучения решению задач на доказательство неравенств в курсе алгебры базовой школы

Калужский Государственный Университет

им.К.Э.Циолковского 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая робота по Теории и методики преподавания математики на тему:

  Методика обучения решению задач на доказательство неравенств в курсе алгебры базовой школы. 
 
 
 
 

                                                             
 
 
 
 
 
 
 

                                                 

Содержание:

Введение

Часть 1. Теоретические основы доказательства неравенств.

1.Особенности изучения неравенств в школьном курсе.

2.Сущность доказательства неравенств. 

Часть 2. Практическое применения метода доказательства неравенств в школьной практике (8кл)

1.Примеры доказательства неравенств.

2.Конспект урока.

3. «Доказательство неравенств» в школьном курсе математики (Ю.Н. Макарычев).

4.Заключение

Список  использованной литературы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

   В программе по алгебре базовой школы, в разделе «Уравнения и неравенства» есть тема: «Доказательства неравенств», которая, к сожалению, освещена минимально.

   Доказательства  неравенств на базовом уровне рассматривается  в 8 классе в начале изучения темы «Неравенство». Обучающиеся доказывают неравенства самым простым способом, находя разность двух выражений. В дальнейшем неравенства доказываются, в лучшем случае на занятиях  математических кружков, факультативов, т.е. во внеклассной работе по предмету.

   На  страницах новых учебников, по которым  изучается базовый курс математики, из классических неравенств встречаются  только соотношения между средне арифметическим и средне геометрическим двух неотрицательных действительных чисел (неравенство Коши).

   Задачи, решение которых весьма затруднительно без применения классических неравенств, - частые гости на математических олимпиадах школьников. Решение задач такого типа обычно представляют собой последовательность достаточно простых рассуждений. Но вот логика и идеи всей цепочки  этих элементарных звеньев – рассуждений  выходят за рамки методов и  приемов школьного курса. Тем  более, что процесс получения и изучения неравенств и их приложений неформален и мало алгоритмизуем.

     Актуальность темы «Доказательство  неравенств» бесспорна, так как  неравенства играют фундаментальную  роль в большинстве разделов  современной математики, без них  не может обойтись ни физика, ни  астрономия, ни химия. Теория  вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика  – все эти взаимопроникающие  и обобщающие друг друга науки  и в формулировках основных  своих законов, и в методах  их получения, и в приложениях,  постоянно используют неравенства. 

            
 
 
 
 

Теоретические основы доказательства неравенств. 

1.Особенности  изучения неравенств в школьном курсе.

Неравенства играют важную роль в курсе математики средней  школы. Это сравнительно новая тема, которая ранее не входила в  школьный курс математики и, на данном этапе, недостаточно разработана.

Современные школьники  начинают знакомиться с неравенствами  еще в начальной школе, где  используются задания вида: «сравнить  числа», «сравнить значения выражений», «сравнить выражения не вычисляя их значения», решают логические задачи, предполагающие составление числовых неравенств.

Далее содержание темы «Неравенства» постепенно углубляется  и расширяется. Так, например, процентное содержание неравенств от всего изучаемого материала в 7 классе составляет 20%, в 8 классе – 25%, в 9 классе – 30%, в 10-11 классах - 38%.

В школьном курсе  алгебры изучаемы классы неравенств можно разбить на группы.

Группы неравенств

Рациональные  неравенства

Иррациональные

неравенства

Трансцендентные неравенства

Целые рациональные

Дробные рациональные

Показательные неравенства 

Логарифмические неравенства 

Тригонометрические  неравенства

Неравенства повы-шенной сложности

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Первая группа получает достаточное развитие, вплоть до формирования прочных навыков  решения, уже в курсе алгебры  неполной средней школы.

Остальные же группы неравенств в этом курсе только начинают изучаться, причем рассматриваются  далеко не все классы, а окончательное  изучение происходит в курсе алгебры  и началах анализа 10-11 классов. Изучаются  только неравенства основных классов, кроме того, ряд задач из школьного курса сводятся к составлению и решению неравенств: нахождение области определения функции; исследование функции (монотонность, ограниченность функции).

При изучении неравенств значительное внимание уделяется вопросам обоснования процесса решения конкретных задач. На начальных этапах изучения курса алгебры эти обоснования  имеют эмпирический, индуктивный  характер. Затем, по мере накопления опыта  решения неравенств различных классов, все большую роль приобретает  дедуктивное обоснование процесса решения.

Наконец, достигнутый  уровень владения различным способами решения позволяет выделить наиболее часто используемые преобразования: равносильность и логическое следование. 

2.Сущность  доказательства неравенств.

   Задачи  на доказательство неравенств особенные. Конкретных особых подходов здесь нет. Одно и тоже неравенство можно  доказать различными способами. Разберем теперь свойства и наиболее часто  встречающие приемы установления истинности неравенств с переменными, продемонстрировав  соответствующие идеи и методы на конкретных примерах.  

Основные  свойства числовых неравенств

1.Если, а>b и c>d, то а+c>b+d.

Доказательство:

 По условию  а>b и c>d,значит а-c и b-d положительные числа. Тогда и их сумма (а-c) + (b-d) положительное число. Так как

(а-c) + (b-d)= (а+c) - (b+d), тогда (а+c) - (b+d) – положительное число. Поэтому,  а+c >b+d. 
 

2. Если a > b, a b > c,  то, а > с.

Геометрически это свойство состоит в следующем. Пусть точка А (соответствующая числу а) лежит правее точки В (соответствующей числу b), а точка В, в свою очередь, лежит правее точки С (соответствующей числу с). Тогда точка А и подавно будет лежать правее точки С (рис. 21).

Приведем алгебраическое доказательство этого свойства неравенств.

Пусть, а > b, a b > с. Это означает, что числа (а — b) и (b— с) положительны.  Сумма  двух     положительных  чисел,   очевидно, положительна. Поэтому (а — b) + (b— с) > 0, или а — с > 0. Но это и означает, что а > с. 

3.  Если, а > b, то для любого  числа с    а + с > b + с,     а — c > b — с.

Иными словами, если к обеим частям  числового неравенства прибавить или  от обеих частей отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится.

Доказательство. Пусть а > b. Это означает, что а — b > 0. Но а — b = (а + с) — (b + с). Поэтому (а + с) — (b + с) > 0. А по определению это и означает, что  а + с > b + с. Аналогично показывается, что  а — c > b — с.

Например, если к обеим частям неравенства 5 > 4 прибавить 1¹/₂, то получим  
6¹/₂ > 5¹/₂.   Отнимая от обеих частей данного неравенства число 5, получим 0 > — 1.

Следствие. Любое слагаемое одной части числового неравенства можно перенести в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.

Пусть, например, а + b > с. Требуется доказать, что а > с —  b. Для доказательства от обеих частей данного неравенства достаточно отнять число b. 

4.  Пусть а > b.       Если с > 0,  то  аc > bc.     Если же с < 0,  то   ас < bс.

Иными словами, если обе части числового неравенства умножить на положительное число, то неравенство не нарушится;  
                             если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Неравенство сохраняется при  почленном умножении на положительное число и изменяет знак на противоположный при почленном умножении на отрицательное число.

Например, умножив  неравенство 5 > 1 почленно на 7,

получим 35 > 7. Почленное умножение того же неравенства на — 7 дает — 35 < — 7.

Доказательство..

Пусть а > b. Это означает, что число а — b положительно. Произведение двух положительных чисел а — b и с, очевидно, также положительно, т. е. (а — b) с > 0, или  
ас — bс > 0. Поэтому ас > bс.

Аналогично рассматривается  случай, когда число с отрицательно. Произведение положительного числа а — b на отрицательное число с, очевидно, отрицательно, т. е. 
(а — b) с < 0; поэтому ас — bс < 0, откуда ас < bс.

Следствие. Знак неравенства сохраняется при почленном делении на положительное число и изменяется на противоположный при почленном делении на отрицательное число.

Это вытекает из того, что деление на число с =/= 0 равносильно умножению на число¹/_c. 

Свойство 5. 

При умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получится неравенство того же смысла.

Свойство 6. Если а и b — неотрицательные числа и а > b, то аⁿ > Ьⁿ, где n — любое натуральное число.

Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе  части неравенства — неотрицательные  числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

Дополнение к  свойству 6. Если n — нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства  а > b следует неравенство того же смысла аⁿ > bⁿ. 

Практическое  применения метода доказательства неравенств в школьной практике

1.Примеры  доказательства неравенств.

Пример 1. Пусть а и b — положительные числа и а > b.  
Доказать, что 

 
 
Решение. Рассмотрим разность

Имеем  
По условию, а, b, а - b — положительные числа. Значит,  — отрицательное число, т.е. , откуда следует, что  
 
 
Пример 2. Пусть а — положительное число. Доказать, что   
Решение. 

 
 Получили неотрицательное число, значит,   
Заметим, что   
 
Пример 3. Пусть а и b неотрицательные числа.  
Доказать, что   
Решение. Составим разность левой и правой частей неравенства. Имеем

 
 
Число   называют средним арифметическим чисел а и b число   называют средним геометрическим чисел а и b. Таким образом, неравенство, доказанное в примере 3, означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Доказанное  
неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX века Огюста Коши.