Автор: Пользователь скрыл имя, 28 Ноября 2011 в 21:03, реферат
Функція y = f (x) називається зростаючою (спадною) в деякому інтервалі, якщо при x1< x2 виконується нерівність f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)).
Точка xо називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f (x), якщо існує окіл точки xо, для всіх точок якої вірно нерівність f(x) £ f(xо) (f(x) ³ f(xо)).
Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках – її екстремумами.
Екстремум функції однієї змінної
Функція y = f (x) називається зростаючою (спадною) в деякому інтервалі, якщо при x1< x2 виконується нерівність f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)).
Точка xо називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f (x), якщо існує окіл точки xо, для всіх точок якої вірно нерівність f(x) £ f(xо) (f(x) ³ f(xо)).
Точки максимуму і мінімуму
називаються точками екстремуму, а значення
функції в цих точках – її
Пошук екстремуму функції
включає в себе завдання знаходження локального
і глобального екстремуму. Останні називають
ще завданнями оптимізації. Розглянемо
конкретний приклад функції f (x), показаної
графіком на рис. 1 на інтервалі (-2,5). Вона
має глобальний максимум на лівій межі
інтервалу, глобальний мінімум, локальний
максимум, локальний мінімум і локальний
максимум на правій межі інтервалу (в порядку зліва
У Mathcad за допомогою вбудованих
функцій вирішується тільки завдання
пошуку локального екстремуму. Щоб знайти
глобальний максимум (або мінімум), потрібно
або спочатку обчислити всі їхні локальні
значення і потім вибрати з них найбільший
(найменший), або попередньо просканує-вати
з деяким кроком розглянуту область, щоб
виділити з неї підобласть найбільших
(найменших) значень функції і здійснити
пошук глобального екстремуму, вже перебуваючи
в його околиці. Останній шлях таїть в
собі деяку небезпеку піти у зону іншого
локального екстремуму, але часто може
бути краще з міркувань економії часу.
Рис. 1. График функции f(х)=х4+5х3-10х
Для пошуку локальних екстремумів є дві
вбудовані функції, які можуть застосовуватися
як в межах обчислювального блоку, так
і автономно.
• Minimize (f, x1, ..., хм) - вектор значень аргументів,
при яких функція f досягає мінімуму;
• Maximize (f, х1, ..., хм) - вектор значень аргументів,
при яких функція f досягає максимуму;
o f (x1, ..., хм,...) - функція;
o x1, ... , Xм - аргументи, по яких проводиться
мінімізація (максимізація).
Всім аргументам функції f заздалегідь
слід привласнити деякі значення, причому
для тих змінних, по яких проводиться мінімізація,
вони сприйматимуться як початкові наближення.
Приклади обчислення екстремуму функції однієї змінної (рис. 1) без
додаткових умов показані в лістингах
8.11-8.12. Оскільки ніяких додаткових умов
в них не вводиться, пошук екстремумів
виконується для будь-яких значень.
Лістинг 2. Мінімум функції однієї змінної
Лістинг 3 . Максимум
функції однієї змінної
Як видно з лістингів,
істотний вплив на результат надає вибір
початкового наближення, залежно від чого
як відповідь видаються різні локальні
екстремуми. В останньому випадку чисельний
метод взагалі не справляється із завданням,
оскільки початкове наближення х =- 10 вибрано
далеко від області локального максимуму,
і пошук рішення йде в бік збільшення f
(х).
Екстремум
функції двох змінних
Поняття
максимуму, мінімуму, екстремуму
функції двох змінних
Нехай функція z = ƒ (х; у) визначена
в деякій області D, точка N (x0;y0).
Точка (х0;у0)
називається точкою максимуму функції
z = ƒ (х; у), якщо існує така d--околиця точки (х0;у0),
що для кожної точки (х; у), відмінною від
(х0;у0), з цієї околиці виконується
нерівність ƒ (х; у) <ƒ (х0;у0).
Мал. 4
На малюнку 4: N1 - точка максимуму, а N2 - точка
мінімуму функції z = ƒ (x; у).
Значення функції в точці
максимуму (мінімуму) називається максимумом
(мінімумом) функції. Максимум і мінімум
функції називають її екстремумами.
Відзначимо, що, в силу
визначення, точка екстремуму функції
лежить всередині області визначення
функції; максимум і мінімум мають локальний
(місцевий) характер: значення функції
в точці (х0;у0) порівнюється
з її значеннями в точках, досить близьких
до (х0;у0) . В області D функція
може мати кілька екстремумів або не мати
жодного.