Екстремум функції однієї змінної

Екстремум функції однієї змінної 

      Функція y = f (x) називається зростаючою (спадною) в деякому інтервалі, якщо при x₁< x₂ виконується нерівність f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

     Точка x_о називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f (x), якщо існує окіл точки x_о, для всіх точок якої вірно нерівність f(x) £ f(x_о) (f(x) ³ f(x_о)).

      Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках – її екстремумами. 
 
      Пошук екстремуму функції включає в себе завдання знаходження локального і глобального екстремуму. Останні називають ще завданнями оптимізації. Розглянемо конкретний приклад функції f (x), показаної графіком на рис. 1 на інтервалі (-2,5). Вона має глобальний максимум на лівій межі інтервалу, глобальний мінімум, локальний максимум, локальний мінімум і локальний максимум на правій межі інтервалу  (в  порядку  зліва  направо). 
     У Mathcad за допомогою вбудованих функцій вирішується тільки завдання пошуку локального екстремуму. Щоб знайти глобальний максимум (або мінімум), потрібно або спочатку обчислити всі їхні локальні значення і потім вибрати з них найбільший (найменший), або попередньо просканує-вати з деяким кроком розглянуту область, щоб виділити з неї підобласть найбільших (найменших) значень функції і здійснити пошук глобального екстремуму, вже перебуваючи в його околиці. Останній шлях таїть в собі деяку небезпеку піти у зону іншого локального екстремуму, але часто може бути краще з міркувань економії часу. 

Рис. 1. График функции f(х)=х⁴+5х³-10х

      Для пошуку локальних екстремумів є дві вбудовані функції, які можуть застосовуватися як в межах обчислювального блоку, так і автономно. 
      •    Minimize (f, x1, ..., хм) - вектор значень аргументів, при яких функція f            досягає мінімуму; 
      •    Maximize (f, х1, ..., хм) - вектор значень аргументів, при яких функція f            досягає максимуму; 
                 o     f (x1, ..., хм,...) - функція; 
                 o     x1, ... , Xм - аргументи, по яких проводиться мінімізація (максимізація). 
      Всім аргументам функції f заздалегідь слід привласнити деякі значення, причому для тих змінних, по яких проводиться мінімізація, вони сприйматимуться як початкові наближення. Приклади обчислення екстремуму функції однієї змінної (рис. 1) без додаткових умов показані в лістингах 8.11-8.12. Оскільки ніяких додаткових умов в них не вводиться, пошук екстремумів виконується для будь-яких значень.

 
Лістинг 2. Мінімум функції однієї змінної

Лістинг 3 . Максимум функції однієї змінної 

Як видно з лістингів, істотний вплив на результат надає вибір початкового наближення, залежно від чого як відповідь видаються різні локальні екстремуми. В останньому випадку чисельний метод взагалі не справляється із завданням, оскільки початкове наближення х =- 10 вибрано далеко від області локального максимуму, і пошук рішення йде в бік збільшення f (х). 

Екстремум функції двох змінних  

    Поняття  максимуму, мінімуму, екстремуму  функції двох змінних аналогічні  відповідним поняттям функції  однієї незалежної змінної . 
    Нехай функція z = ƒ (х; у) визначена в деякій області D, точка N (x₀;y₀).Î D 
    Точка (х₀;у₀)  називається точкою максимуму функції z = ƒ (х; у), якщо існує така d--околиця точки (х₀;у₀), що для кожної точки (х; у), відмінною від (х₀;у₀), з цієї околиці виконується нерівність ƒ (х; у) <ƒ (х₀;у₀).                                                                                    Аналогічно визначається точка мінімуму функції: для всіх точок (х; у), відмінних від  (х₀;у₀), з околиці точки (х₀;у₀) виконується нерівність: ƒ (х;у)>ƒ(х₀;у₀).

Мал. 4        

       На малюнку 4: N1 - точка максимуму, а N2 - точка мінімуму функції z = ƒ (x; у). 
      Значення функції в точці максимуму (мінімуму) називається максимумом (мінімумом) функції. Максимум і мінімум функції називають її екстремумами. 
      Відзначимо, що, в силу визначення, точка екстремуму функції лежить всередині області визначення функції; максимум і мінімум мають локальний (місцевий) характер: значення функції в точці (х₀;у₀) порівнюється з її значеннями в точках, досить близьких до (х₀;у₀) . В області D функція може мати кілька екстремумів або не мати жодного.