Оценка сетей полигонометрии методом последовательных приближений

Оценка проектов сетей  полигонометрии методом 

последовательных приближений

Оценка проектов полигонометрических  сетей заключается в определении  ожидаемых ошибок координат узловых  пунктов. Относительных ошибок  ходов  и сравнении их с допустимыми. Выполняется строгими и приближенными способами.

Строгая оценка, как правило, выполняется  на компьютерах  со специальными программами, а приближенная - по соответствующим  формулам.

Для оценки проектов полигонометрических  сетей применяется метод последовательных приближений. Этот метод дает возможность подсчитать средне квадратичную ошибку определения каждой узловой точки по отношению к группе смежных угловых точек, а не по отношению к исходным пунктам.

Для начала необходимо произвести линейные измерения. Для  этого измеряются длины линий в ходах, сходящихся в узловых точках I и II. Вычисленные длины линий представлены в таблице 5.

Таблица 5 - Исходные данные

№ хода	Количество сторон в ходе	Длина хода (км)
	11	6,2
Z2	9	5,0
Z3	5	2,6
Z4	7	4,0
Z5	10	5,1

Для дальнейшей оценки необходимо произвести следующие расчеты. В первом приближении  системы ходов рассматриваются  как самостоятельные системы, все  ходы которых идут от исходных пунктов  А, В, Z, т.е. для системы ходов n-количество линий в ходе исходными пунктами будут А, Z и I, а для системы - точки В, Z и II.

Рисунок 1- Схема сети полигонометрии

Ожидаемые ошибки определения конечных точек каждого хода вычисляют  по формуле:

                           М² = m²_Sn +                                     (8)

m_S – это средне квадратичная ошибка измерений длины линий, для полигонометрии ІV класса равна 15 мм;

m_β – 5” средне квадратичная ошибка измерения угла;

ρ- величина позволяющая перевести  секунды в натуральные числа 206265;

S – длина хода (мм);

n – число линий в ходе.

Вычисленные средние ожидаемые  ошибки определения положения конечных точек  хода по формуле (8) записывают в таблицу 8.

Таблица 8 - Вычисление средних ожидаемых ошибок определения положения конечных точек хода

№ хода	m2Sn		M2	M
Z1	2475	26352	28827	170
Z2	2025	14690	16715	129
Z3	1125	2648	3773	61
Z4	1575	7835	9410	97
Z5	2250	16557	18807	137

Расчет (для Z1):

m²_Sn=

=

M² =2475+26352=28827         M=170                 =

Веса определения положения  узловых точек I и II по соответствующим ходам Z1, Z2, Z3, и Z3, Z4, Z5 вычисляются по формулам:

                                              P= C/              (9)

где С - постоянная величина; С= 100000.

Общий вес определения  положения узловых точек I и II будет равен:

                                          

                                                                            (10)

Среднеквадратические ошибки определяются по формуле:

                                         

                

                                     (11)

Во втором приближении полученные средние квадратические, ошибки узловых точек следует учесть как ошибки исходных данных.Тогда для узловой точки I получим:

     

Веса по ходам во втором приближении  будут:

Для второй узловой точки:

Приближения продолжаются до тех пор, пока в двух последних приближениях будут получены практически одинаковые средние квадратические ошибки. Обычно даже  в весьма сложных сетях  с большим количеством узловых точек достаточно ограничиться тремя приближениями.

В полигонометрических  сетях оценкой способом последовательных приближений будут получены величины ошибок определения узловых точек  по отношении к группе смежных  узловых точек, а не по отношению к удаленным от оцениваемых  узловых точек исходным пунктам.

Если пункты расположены на краях  обширной однородной по построению полигонометрической  сети , то по мере удаления от исходных пунктов к середине сети величины ожидаемых ошибок определения положений узловых точек не будут возрастать. На участках , где узловые точки образуются более короткими ходами, они будут, наоборот, уменьшаться.

После выполнения оценки необходимо убедиться , что проект сети удовлетворяет точностным требованиям. Для этого по каждому ходу необходимо подсчитать величины влияния предвычисленных ошибок узловых точек, пользуясь формулой:

   (12)

Общая ожидаемая ошибка по ходу определяется формулой:

    (13)

где  - ожидаемые ошибки определения положения начальной и конечной точек хода;

        -ошибка, накопленная в результате действия ошибок измерения углов и линий в ходе, вычисляемая по формуле (6).

Затем вычисляют среднюю квадратическую относительную ошибку и предельную относительную ожидаемую ошибку .

Таблица 9 - Вычисление средней квадратической ошибки узловых точек   

 

1 приближение
№ хода		Mz		Мисх								Р
Z1		170		0		28827		0		28827		3		36
Z2		129		0		16715		0		16715		6
Z3		61		0		3773		0		3773		27
2778  53
Z3		61		0		3773		0		3773		27		43
Z4		97		0		9410		0		9410		11
Z5		137		0		18807		0		18807		5
2326                      48
2 приближение
№ хода	Mz		Мисх								Р
Z1	170		0		28827		0		28827		3		25
Z2	129		0		16715		0		16715		6
Z3	61		48		3773		2304		6077		16
4000                              63
Z3	61		53		3773		2809		6582		15		31
Z4	97		0		9410		0		9410		11
Z5	137		0		18807		0		18807		5
3226
3 приближение
№ хода		Mz		Мисх								Р
Z1		170		0		28827		0		28827		3		23
Z2		129		0		16715		0		16715		6
Z3		61		57		3773		3249		7022		14
4348                              66
Z3		61		63		3773		3969		7742		13		29
Z4		97		0		9410		0		9410		11
Z5		137		0		18807		0		18807		5
3448
4 приближение
№ хода		Mz		Мисх								Р
Z1		170		0		28827		0		28827		3		23
Z2		129		0		16715		0		16715		6
Z3		61		59		3773		3481		7254		14
4348                              66
Z3		61		66		3773		4356		8129		13		29
Z4		97		0		9410		0		9410		11
Z5		137		0		18807		0		18807		5
3448

Расчет (для Z1):

M_z=170    М_исх=0    =28827    =0    =0+28827=28827

P=                  M=53

Вычисления средней квадратической ошибки остальных узловых точек  производят по идентичной системе. 

   Таблица 10 – Вычисление  знаменателя допустимой относительной  невязки

№ хода	Длина хода в км, L	Номера точек		М2н	М2к	М2исх	М2z	М2об	Моб, км
		начальная	конечная
Z1	6,2	А	I	0	4348	2174	28827	31001	176	1:35213	1:17607
Z2	5,0	L	I	0	4348	2174	16715	18889	137	1:36380	1:18190
Z3	2,6	I	II	4348	3448	6072	3773	9845	99	1:26204	1:13102
Z4	4,0	B	II	0	3448	1724	9410	11134	106	1:37908	1:18954
Z5	5,1	L	II	0	3448	1724	18807	20531	143	1:35593	1:17797

Расчет (для Z1):          

М²_н = 0                                                      

М²_к = 4348

М²_{исх =}

М²_z = 28827

М²_об = 28827+2174 = 31001

М_об = 176

=

=

 

Как видно из таблицы 10 рассчитанные относительные ошибки по всем ходам  укладываются в допуски, установленные  для полигонометрической сети  I разряда (таблица 5).

При коротких ходах в  оцениваемой схеме полигонометрической  сети относительные предельные ошибки могут оказаться больше допустимых. В этом случае точность проекта считается  достаточной, если абсолютные величины ошибок определения положения узловых точек меньше 50 мм.