Математична основа карти

1.МАТЕМАТИЧНА ОСНОВА  КАРТИ

Картографічна і кілометрова  сітка.

Поверхня еліпсоїда належить до числа поверхонь, які не можна  розгорнути на площину без складок  або розривів. Щоб отримати на площині  суцільне зображення поверхні земного  еліпсоїда з найменшими спотвореннями, в картографії використовують картографічні проекції.

Суть цих побудов полягає  у тому, що з поверхні земного  еліпсоїда перш за все переносять на площину  за певним математичним законом деякі основні лінії, а потім – вже окремі точки  і контури, розташування яких на ньому відносно прийнятих ліній відоме.

Розташування точок на поверхні еліпсоїда найзручніше  перш за все визначити за географічними  координатами – довготою і широтою, а за основні лінії найзручніше прийняти меридіани і паралелі еліпсоїда.

Отримана на площі сітка  меридіанів і паралелей земного  еліпсоїда називаються картографічною сіткою. Залежно від прийнятого закону зображення меридіанів і паралелей  в різних картографічних проекціях  отримується той чи інший вид  картографічної сітки.

Картографічна сітка –  невід’ємний  математичний елемент будь-якої географічної карти середнього і дрібного масштабу. Вона необхідна не тільки для складання карти, але й для користування нею.

На топографічних картах лінії меридіанів і паралелей  обмежують кожний аркуш карти. Всередині його для вирішення різних практичних задач в прямокутній системі координат наносяться координатна або кілометрова сітка. Це сітка квадратів, утворених прямими лініями, паралельними (в рівнокутній поперечно-циліндричній проекції Гауса) і проведеними через певне число кілометрів в масштабі карти.

Розміри сторін квадратів  кілометрової сітки залежить від  масштабу карти. На топографічних картах  масштабів 1:20 000, 1:5 000, 1:10 000 сторона квадрата береться рівною 0,2-0,5км  в масштабі карти,  масштабів 1:25 000, і 1:50 000 сторона береться рівною 1км в масштабі карти, для 1:100 000- 2км, а для 1:200 000 -10км.

Нанесені кілометрові  лінії підписують біля рамок карти числовими значеннями, які вказують віддаль кілометрових ліній від екватора і від осьового меридіана зони.

У рівнокутній поперечно-циліндричній проекції Гауса встановлюється залежність ніж географічними координатами точки на поверхні еліпсоїда і  відповідними прямокутними координатами цієї точки на площині. При застосуванні цієї проекції поверхні земного еліпсоїда поділяють меридіанами на зони. Кожна зона еліпсоїда переноситься переноситься конформно  на площину. На площині осьовий меридіан зони зображаєтсья прямою лінією і приймається за вісь абсцис, а за вісь ординат – перпендикулярна до неї пряма лінія, яка зображає екватор.  Таким чином початком плоских прямокутних координат, загальним для всієї зони, є точка перетину прямої, яка відображає осьовий меридіан зони, з екватором.

Кожна зона має свій початок і  свою систему прямокутних координат. При застосуванні шестиградусних зон межові меридіани зон співпадають з крайніми меридіанами, а осьові меридіани – з середніми меридіанами аркушів карт масштабу 1:100 000.

При застосуванні триградусних зон осьові меридіани співпадають по черзі з межовими і середніми меридіанами карти масштабу 1:1000 000.

Поняття про картографічні проекції та їх спотворення.

Кожній картографічній проекції відповідають, як відомо, певні спотворення кутів, довжин ліній і площ. Для зображення всієї або значної частини земної поверхні  на картах з можливим спотворенням і неточностями користуються картографічними проекціями. За їх допомогою сітку меридіанів  і паралелей земної кулі спочатку переносять на одну з допоміжних поверхонь (наприклад, конус або циліндр), яку потім розгортають в площину, або ж географічну сітку проектують безпосередньо на горизонтальну площину променями, які виходять з точки, що знаходяться всередині, на поверхні або поза земною кулею. Тому картографічною проекцією називають спосіб перенесення із сферичної поверхні на площину сітки меридіанів і паралелей. Географічна сітка, перенесена на площину, називається картографічною сіткою. Обчислення і побудова на площині картографічних сіток складають головну задачу особливої науки, яки називається математичною картографією.

Картографічні проекції залежно  від характеристики спотворення  і способу побудови проекції бувають  різними. За характером спотворення  розрізняють проекції рівнокутні, або  конформні, рівновеликі, або еквівалентні і довільні. Рівнокутними називають такі проекції, в яких зберігаються величини кутів, а спотворюються площі і довжини ліній. Проекції, в яких залишається постійним відношення площі карти до відповідної площі поверхні, що зображається, називається рівновеликими. Довільними проекціями називають такі, в яких не зберігаються ні рівність кутів, а ні пропорційність площ. В кожній з цих проекцій залежно від прийнятої умови спотворення розподіляються на лінії, площі і кути по-різному.

За способом побудови картографічні проекції  бувають азимутальні, перспективні, циліндричні, конічні, полі конічні, колові, багатогранні. В азимутальних проекціях географічну сітку проектують безпосередньо на площину променями, які виходять з точки, яка в процесі проектування пересувається за певним законом вздовж головного променя.

В перспективних проекціях  географічну сітку проектують безпосередньо  на картинну площину променями, які виходять з одної нерухомої точки ( точки спостереження). Перспективні і азимутальні проекції застосовують для зображення на картах площ або значних частин земної кулі. В циліндричних  проекціях географічну сітку проектують на бічну поверхню циліндра, який потім розгортають на площину. В конічній проекції географічну сітку проектують на поверхню конуса, який потім розгортають на площу. В кругових проекціях всі меридіани і паралелі, крім середніх, показують дугами кіл, а середні меридіани і екватор – прямими лініями. В багатогранних проекціях кожну сферичну трапецію, отриману від ділення поверхні еліпсоїда меридіанами і паралелями, які проведені через певні проміжки, проектують на площину окремо.

Масштаби карт.

Це один з важливих математичних елементів, бо від нього залежить розмір картографічного зображення, детальність карти і точність рішення на ній різних задач.

В картографічних проекціях  ступінь зменшення зображення в  різних місцях проекції неоднакова, тому масштаб карти – величина змінна. Масштаб на карті безперервно  змінюється при переході від одної  точки карти до іншої. Тому під масштабом в картографії розуміють відношення нескінченно малого лінійного елемента, взятого на карті, до відповідного нескінченно малого лінійного елемента на поверхні еліпсоїда.

При визначенні проекції з метою подальшого складання карти весь час задаються величиною масштабу, якого потрібно дотримуватись у визначених місцях карти або по визначеним напрямках. Такий масштаб називається головним, він характеризує загальний ступінь зменшення карти. У всіх решті місцях карти, масштаби будуть відрізнятися від головного і будуть крупніші або дрібніші головного, вони називаються частковими. На картах зазначається майже завжди лінійний масштаб, над ним пишуть числовий масштаб, а знизу – натуральний, який супроводжується словами «1см. відповідає на місцевості стільком кілометрам». Вони відповідають головному масштабу. Деколи на картах, крім головного масштабу, виписують в табличці часткові масштаби із зазначенням, до яких місць карти вони належать.

Рамка карти.

Рамки карти складаються  з одної або декількох ліній, які обмежують  картографічне зображення. Рамка за своїм  призначенням поділяється на основну, або внутрішню, градусну, або мінутну, і зовнішню, а за формою буває прямокутною,  трапецоїдною і криволінійною.

Основна (внутрішня) рамка безпосередньо  обмежує картографічне зображення. На сучасних географічних картах крупного і середнього, а на деяких картах дрібного масштабу лінії цієї рамки співпадають з лініями меридіанів і паралелей, які обмежують картографічне зображення.   Градусна (мінутна) рамка креслиться паралельно основній рамці на невеликій від неї віддалі (або дотикається до неї) і складається із двох зближених паралельних ліній. Інтервали по градусній рамці між меридіанами і паралелями сітки поділяють на крупно масштабних картах на мінути і секунди, а на дрібномасштабних картах – на градуси або долі градусів, тому і сама рамка називається градусною (мінутною). Вона дозволяє з великою точністю визначити на карті географічні координати того чи іншого пункту і нанести на карту точку за даними координатами.

Паралельно до градусної рамки креслять одною або двома лініями, або у вигляді складного орнаменту зовнішню рамку, яка прикрашує карти. Між градусною і зовнішньою біля виходів меридіан і паралелей розміщуються підписи числових значень географічних координат картографічної сітки. На одноаркушевих картах (загально географічних і спеціальних) рамка прямокутної форми, а на топографічних – формі трапеції. Карти, які зображають всю земну поверхню (світові), залежно від проекції, в якій вони складені, можуть мати криволінійну форму рамки.

Перед складанням карти попередньо розробляють і креслять в масштабі карти так званий макет компонування карти, на якому показують абрис  картографічної території, розміщення назви карти, додаткових (врізних) карт і графіків, таблиці умовних знаків, внутрішню зовнішню рамки. Прямокутна форма рамки дозволяє найбільш компактно і цілеспрямовано розташовувати всередині рамки карту і весь необхідний матеріал.

Для співставлення топографічних  карт різних масштабів, а також для  їх підбору як вихідних матеріалів для них встановлена єдина система розграфлення номенклатури.

Проекція Гауса - Крюгера;  її застосування для топографічних карт

В 1928 р. на III геодезичній  нараді для всіх геодезичних і  топографічних робіт у СРСР була прийнята проекція Гауса - Крюгера на еліпсоїді Бесселя.

У цій проекції почали створювати топографічні карти масштабів  крупніше 1 : 500 000, а з 1939 р. проекція Гауса - Крюгера стала застосовуватися й для карти масштабу 1 : 500 000.

У квітні 1946 р. постановою уряду були затверджені розміри референц-еліпсоїда Красовського для геодезичних і картографічних робіт і нових вихідних дат, що характеризують систему координат 1942 р.

Проекція Гаусса - Крюгера  є практично рівнокутною. В 1825 р. К. Гаусс уперше вирішив загальну задачу по зображенню однієї поверхні на іншій зі збереженням подоби в нескінченно малих частинах. Часткою случаємо цієї задачі є відображення поверхні еліпсоїда обертання на площині.. К. Гаусс застосував запропоновану їм проекцію для чисельної обробки ганноверськой тріангуляції, після чого проекція практично не застосовувалася.

В 1912 р. А. Крюгер вивів  й опублікував робочі формули  цієї проекції. Після цього проекція одержала назву проекції Гаусса - Крюгера й знайшла широке застосування в топографо-геодезических роботах.

У проекції Гаусса — Крюгера поверхня еліпсоїда на площині відображається по меридіанних зонах, ширина яких дорівнює шести градусам (для карт масштабів 1 : 500 000—1 : 10000) і трьом градусам (для карт масштабів 1:5000—1:2000). Меридіани й паралелі зображуються кривими, симетричними щодо осьового меридіана зони й екватора, однак їхня кривизна настільки мала, що західна й східна рамки карти зображуються прямими лініями. Паралелі, що збігаються з північною й південною рамками карт, зображуються прямими на картах великих масштабів (1:2000—1:50000), на картах дрібних масштабів вони зображуються кривими. Початок прямокутних координат кожної зони перебуває в крапці перетинання осьового меридіана зони з екватором. У нашій країні прийнята нумерація зон, що відрізняється від нумерації колон карти масштабу 1:1 000 000 на тридцять одиниць, тобто крайня західна зона з довготою осьового меридіана Х=21° має номер 4, до сходу номера зон зростають.

Ізоколи в проекції Гауса — Крюгера мають вигляд овалів, витягнутих уздовж осьового меридіана; у межах окремих аркушів карт вони мають вигляд прямих. Максимальні перекручування в кожній зоні будуть при ф = 0° й Я=±3°; у цих крапках вони досягають 0т = 0,14%. Осьові меридіани триградусних зон збігаються змінно то з осьовими меридіанами шестиградусних зон, то із крайніми меридіанами цих зон.

Проекція Гауса - Крюгера має багато загального з рівнокутною поперечно-циліндричною проекцією Гауса - Ламберта, але відповідає їй не повністю й перетворюється в останню, якщо картографічну поверхню приймають за кулю.

У багатьох країнах застосовують для складання топографічних їх карт універсальну поперечно-циліндричну проекцію Меркатора (ИТМ) у шестиградусних зонах. Ця проекція близька по своїх властивостях і розподілу перекручувань до проекції Гауса- Крюгера, але на осьовому меридіані кожної зони масштаб те = 0,9996, а не одиниця

Разграфка й номенклатура топографічних карт

Для зручності користування багатоаркушовими картами їхні аркуші позначаються в певній системі (включаються в номенклатуру). В основу системи покладена розграфка й номенклатура карти масштабу 1:1 000000.

У табл. 3 наведені розміри  внутрішніх рамок аркушів різних карт масштабів.

Таблиця  3