Задачи по финансовой математике

     ВАРИАНТ 1. 

     

1. .
2. Определить число лет. Необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15 % годовых.

 

     Сначала определим число лет при начислении простых процентов.

     Формула простых процентов:

     P_n = P(1+ni), где

     P_n – наращенная сумма,

     i  - ставка процента,

     P – изначальная сумма,

     n  - число периодов начисления.

     Составим  уравнение.

     Первоначальный  капитал увеличится в 5 раз, следовательно  Pn = 5P 

     5P = P(1 + n*0,15)

     1 + n*0,15 = 5

     0,15n = 4

     n = 26,6 т.е. примерно через 26,5 лет капитал увеличится в 5 раз при простых процентах. 

     Формула сложных процентов:

     P_t = P(1 + i)^t, где

     t  - количество периодов наращения,

     i  - ставка процента,

     P – изначальная сумма,

     P_t – наращенная сумма.

     Первоначальный  капитал увеличится в 5 раз, следовательно Pn = 5P 

     5P = P(1 + 0,15)^t

     (1,15)^t = 5

     t = 11,5 т.е. через 11,5 лет капитал увеличится в 5 раз при сложных процентах 

     

3. Вексель с  обязательством 15 тыс. руб. учитывается  банком за 3 месяца до погашения с  дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента.

 

     Формула расчета дисконта банка:

     D = d*S*n, где

     d – годовая учетная ставка,

     n – срок до даты учета,

     S – наращенная сумма.

     d = D/ S*n

     d = 3 000 / 15 000 * 3/12 = 0,8 т.е. 80 %

 

     Другой  способ:

     P = S(1 - dt), где

     d – банковский дисконт,

     t – временная база,

 

     12 = 15 (1 – d*0,25)

     d*0,25 = 0,2

     d = 0,8

 
     

4. Вексель погашается через 3 года за 5 тыс. руб. Определить дисконтную цену векселя по простым и сложным  процентам.

     По-видимому, в условии пропущена ставка процентов. Примем ставку процентов за 10% годовых.

     Тогда:

     P = S(1 - dt)

     P = 5 000 (1 – 0,1*5) = 2500 – при простых процентах

     P = S(1 - d)ⁿ

     P = 5000 (1 – 0,1)⁵ = 2952 – при сложных процентах

 
     

5. Допустим, что отцу Федору из романа И.Ильфа  и Е. Петрова “ двенадцать стульев” срочно надо выкупить стулья у инженера Бруна. Хотя любезная попадья Катерина Александровна и выслала ему телеграфом в Батум необходимую сумму денег, но, увы, наличных денег для совершения покупки у отца Федора в данный момент нет. А стулья, как он прозорливо считает, в любой момент могут достаться конкурентам – Остапу Бендеру и кисе Воробьянинову. Поэтому он решается взять в местном коммерческом банке кредит на один день в сумме 100000 руб. при трехмесячной ставке 9 %, в надежде на то, что на следующий день он непременно получит высланные попадьей деньги. Какую величину процента должен заплатить отец Федор банку?

 

     Ставка i = 9%*4 = 36% годовых

     1 день — срок кредита, т. к., согласно банковской практике, дата  выдачи кредита и дата его  возврата считаются за один день;

     Тогда:

     P_n = P(1+ni)

     P_n = 100 000 (1 + 0,36*1/360) = 100100 руб. – должен будет вернуть

     Размер  процентов за операцию:

     I = 100100 – 100 000 = 100 руб.

 
     

6. Пусть во вклад с капитализацией процентов  помещены 10 млн. руб. определить наращение  суммы вклада через 2 года, если проценты начисляют ежеквартально из расчета 80 % годовых.

 

     Простые проценты:

     P_n = P(1+ni) для простых процентов неважно, сколько раз в год начисляют проценты, поэтому ежеквартальное начисление не учитываем (итоговая сумма будет та же)

     P_n = 10 000 000 ( 1 + 2*0,8) = 26000000 руб.

     Сложные проценты:

     P_t = P(1 + i)^t, процентная ставка за квартал t = 80/4 = 20%

     P_t = 10 000 000 (1 + 0,2)^2*4 = 42 998 169,6 руб.

 
     

7. По муниципальной  облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий  порядок начисления процентов: первый год- 60 %, в каждом последующем полугодии  ставка повышается на 5 %.

     Требуется:

1. определить наращенную стоимость облигации по простой процентной и учетной ставкам;

     Наращенная  стоимость по простой процентной ставке:

     P_n = P(1+ni)

     P_n = 10 000 (1+1*0,6 + 0,5*0,65 + 0,5*0,7 + 0,5*0,75) = 26500 руб.

     Наращенная  стоимость по простой учетной ставке:

     S = P/(1-d T )

     S1год = 10 000/(1 - 0,6*1) = 25000 руб.

     Проценты I 1год = 25 000 – 10 000 = 15 000 руб.

     S3полугод = 10 000/(1 - 0,65*0,5) = 14 815 руб. (сумма за 3 полугодие)

     I 3полугод = 14 815 – 10 000 = 4 815

     S4полугод = 10 000/(1 - 0,7*0,5) = 15385 руб.

     I 4полугод = 15385 – 10000 = 5385

     S5полугод = 10 000/(1 - 0,75*0,5) = 16 000

     I 5полугод = 16 000 – 10 000 = 6000 руб.

     Суммарная наращенная стоимость по учетной  ставке:

     S = 15 000 + 4815 + 5385 + 6000 = 31200 руб.

 
     

2. составить план наращения первоначальной стоимости  по простым процентам;

 
 
     

3. рассчитать наращенную стоимость облигации по сложной процентной и учетной ставкам;

     При начислении сложных процентов применяется  формула

     S = P(1+i₁ t₁)·(1+ i₂ t₂)·(1+ i₃ t₃)·(1+ i_n t_n)

     S = 10 000 * (1 + 0,6*1)*(1 + 0,65*0,5)*(1 + 0,7*0,5)*(1 + 0,75*0,5) = 39 352 руб.

 

     Сложная учетная ставка:

     

     S =

 

     S1год = 10 000 / (1 – 0,6)¹ = 25000 руб.

     S3полугод = 25 000 / (1 – 0,65)^0,5 = 42258 руб.

     S4полугод = 42258/ (1 – 0,7)^0,5 = 77152 руб.

     S5полугод = 77152 / (1 – 0,75)^0,5 = 154304 руб.

 
     

4. составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам;

 
 
     

5. построить график наращения стоимости по простым  и сложным процентам;

 

     

 
     

6. проанализировать  доходность вариантов наращения  стоимости с позиций кредитора  и заемщика.

     После первого года простая учетная  ставка и сложные учетная ставка и проценты дают примерно одинаковый результат, поэтому на этом этапе разницы между этими методами начисления процентов для кредитора и заемщика почти нет. Уже на это этапе резко выделается сложная учетная ставка, которая выгода кредитору и невыгодна заемщику. Разница между методами начисления процентов начинается и усиливается после 1,5 года.

     Из  графика ясно, что наиболее выгодным для кредитора является вариант  сложной учетной ставки. Затем  идут сложные проценты, простая учетная  ставка и наименее выгодными являются простые проценты.

     Для заемщика ситуация противоположна – наиболее выгодным вариантом являются простые проценты, наименее выгодна сложная учетная ставка.

     Кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой  дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой  процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.