Задачи "Финансовой математике"

Контрольная работа

1. Депозитный сертификат номиналом 100 руб. выдан 5 мая с погашением 7 ноября под 25% годовых.

Определить  сумму начисленных процентов  и сумму погашения долгового обязательства (3-мя способами).

Решение.

Определим точное и  приближенное количество дней до погашения сертификата.

tточн = 26 дней мая  + 30 дней июня + 31 день июля + 31 дней  августа + 30 день сентября + 31 дней  октября + 7 дней ноября = 186 дней

tприбл = 26 дней мая + 30 × 5 дней (июнь-октябрь) + 7 дней ноября = 183 дней.

По сертификатам доход начисляется по процентной ставке. Применим три способа расчета процентов:

1) проценты точные, срок займа — точное число  дней:

I₁ = 0,25 × 100 × 186/365 = 12,74 руб.;

цена погашения  сертификата:

S₁ = 100 + 12,74 = 112,74 руб.;

2) проценты обыкновенные, срок займа — точное число дней, цена погашения сертификата:

I₂ = 0,25 × 100 × 186/360 = 12,92 руб.;

цена погашения  сертификата:

S₂ = 100 + 12,92 = 112,92 руб.;

3) проценты обыкновенные, срок займа — приближенное  число дней:

I₃ = 0,25 × 100 × 183/360 = 12,71 руб.;

цена погашения  сертификата:

S₃ = 100 + 12,71 = 112,71 руб. 

   2. За какой срок наращенная стоимость финансового инструмента номиналом 125000 рублей достигнет 140000 рублей при условии начисления сложных процентов по ставке 8% раз в году и поквартально? Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам. 

1. Расчет по процентной ставке.

При условии начисления по ставке 8% в году:

       log (140000/125000)

n=----------------------------- = 1,4725 года

            log (1+0,08)

При условии начисления по ставке 8% поквартально:

       log (140000/125000)

n=----------------------------- = 1,0582 года

         4 х log (1+0,08/4) 

2. Расчет по учетной  ставке.

 

При условии начисления по ставке 8% в году:

       log (125000/140000)

n=----------------------------- = 1,3592 года

            log (1-0,08) 

При условии начисления по ставке 8% поквартально:

       log (125000/140000)

n=----------------------------- = 1,0796 года

         4 * log (1-0,08/4) 

   3. Простая процентная ставка по  векселю равна 10%. Определить значение эквивалентной  ставки, если вексель выдан :

а) на 2 года;

б) на 250 дней. 

      При сроке 250 дней рассмотреть варианты:

1. временная база ставок одинакова – 360 дней,
2. временная база процентной ставки -  365 дней, учетной – 360 дней.

           2*0,1

а) i = ---------- = 25 %

          1-2*0,1 

б) При сроке 250 дней рассмотреть варианты: 

1) временная база ставок одинакова – 360 дней,

           365*0,1

i = ----------------- = 10,74 %

       365-250*0,1 

2) временная база процентной ставки -  365 дней, учетной – 360 дней.

           365*0,1

i = ----------------- = 10,9 %

       360-250*0,1 

   4. Ставка по облигации номиналом  3500 рублей составляет 7%. Определить  число лет, необходимое для  удвоения стоимости облигации,  применив простые и сложные  проценты :

а) используя  антисипативные проценты ,

б) используя  декурсивные проценты.

1) Простые декурсивные проценты:

       7000/3500-1

t = ------------------ = 14,2857 лет

              0,07

2) Простые антисипативные проценты:

      1-3500/7000

t = ------------------ = 7,1429 лет

              0,07 

3. Сложные декурсивные проценты:

 

log₂ (7000/3500)

t = ----------------------- = 10,2448 лет

  log₂ (1+0,07) 

4) Сложные антисипативные проценты:

log₂ (3500/7000)

t = ----------------------- = 9,5513 лет

  log₂ (1-0,07) 

   5. В условиях выпуска сертификата Сбербанка  номиналом 1200 руб. предусмотрены выкупные суммы в зависимости от срока хранения :за 5 лет – 2300 руб. , 7  лет – 2595 руб. Определить уровни годовых сложных ставок процента для указанных сумм наращения.

1) При сроке хранения 5 лет: 

i = (2300/1200)^1/5-1 = 13,9 %

2) При сроке хранения 7 лет: 

i = (2595/1200)^1/7-1 = 11,65 % 

   6. По муниципальной облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: первый год- 60 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 5 %.

      Требуется :

1. определить наращенную стоимость облигации по простой процентной и учетной ставкам;
2. составить план наращения первоначальной стоимости по простым процентам;
3. рассчитать наращенную стоимость облигации по сложной процентной и учетной ставкам;
4. составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам;
5. построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам;

6)     проанализировать доходность вариантов  

1) По простой процентной  ставке:

S = 10 000*(1+1*0,60+0,5*0,65+0,5*0,7+0,5*0,75) = 26 500 руб. 

По простой учетной  ставке:

                                                            1     

Р = 10 000 * ---------------------------------------------------------------- = 3773,58 руб.

                        1+1*0,60+0,5*0,65+0,5*0,7+0,5*0,751-0,5*0,65

2) План наращения  стоимости по простым процентам:

 

3) По сложной процентной ставке:

S = 10 000 * (1+0,60)¹ * (1+0,65/2)^1/2*2 * (1+0,70/2)^1/2*2 * (1+0,75/2)^1/2*2 = 39 352,50 руб. 

По сложной учетной  ставке:

                                                   10 000

Р = ------------------------------------------------------------------------------ = 2 541,13 руб.

       (1+0,60)¹ * (1+0,65/2)^1/2*2 * (1+0,70/2)^1/2*2 * (1+0,75/2)^1/2*2 

4) План наращения  стоимости по сложным процентам:

 

5)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6) Из  графика видно, что в первый год доходность двух вариантов равна. Начиная со второго года доходность выше при использовании варианта с применением сложных процентов. 

      7. Определить число лет. Необходимых  для увеличения первоначального  капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15 % годовых.  

1) При применении  простых процентов:

          5 - 1

n = ---------- = 26,67 лет

          0,15 

2) При применении  сложных процентов:

            log (5)  

n = ---------------- = 11,51 лет

       log (1+0,15) 

      8. Вексель с обязательством 15 тыс.  руб. учитывается банком за 3 месяца  до погашения с дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка.  Определить величину ставки процента.

           15 - 3

d = -------------- = 80 % годовых

         15*3/12  

      9. Вексель погашается через 3 года за 5 тыс. руб. Определить дисконтную цену векселя по простым и сложным процентам.

Дисконтная  цена по простым процентам:

Р = 5000 * (1-3d) 

Дисконтная  цена по сложным процентам:

Р = 5000 * (1-d)³  

Цена  зависит от ставки дисконтирования d 

      10. Пусть во вклад с капитализацией  процентов помещены 10 млн. руб.  определить наращение суммы вклада  через 2 года, если проценты начисляют  ежеквартально из расчета 80 % годовых.

      S = 10 000 000*(1+0,80/4)^2*4 = 42 998 169,60 руб.

      Наращение = 42 998 169,60 – 10 000 000,00 = 32 998 169,60 руб.