Решение задач по финансовой математике

Заданы следующие  значения:

N1 = 8; N2 =5.

Задача 1. Первоначально цену товара снизили на 10%, затем – на (N1+2)%, потом еще на (N2+5)%. На сколько всего процентов снизили цену?

Решение:

Пусть S-первоначальная стоимость товара, тогда после первого снижения стоимость товара составит: ; после второго снижения: ; после третьего снижения: . Снижение товара составило: .

Задача 2. Имеются два обязательства. Условия первого: S₁ = 400 тыс. руб., n₁ = 4 мес., условия второго: S₂ = 420 тыс. руб., n₂ = 9 мес. Требуется: 1) найти ставку процента, при которой эти обязательства равноценны; 2) определить, какое из этих обязательств выгоднее для получения денег при ставке простых процентов 10% годовых.

Решение:

1. Найдем ставку процента, при которой эти обязательства равноценны:

2. Определим, какое из этих обязательств выгоднее для получения денег при ставке простых процентов 10% годовых: Найдем наращенные суммы:

 тыс.руб.

 тыс.руб.

Так как  , другими словами, наращенная сумма по первому обязательству меньше чем по второму, следовательно, первое обязательство выгоднее для получения денег при ставке простых процентов 10% годовых.

Задача 3. Долговое обязательство выписано на сумму 5000 + 20*(N1 + N2) руб. с уплатой через (200 + N1*10 + N2) дней, предусматривая, что стоимость кредита составляет 20% этой суммы. Чему равна доходность кредитора, измеряемая простой ставкой наращения i и учетной ставкой d (схема (k, 360))?

Долг (PV)	Срок вклада (t)	Стоимость кредита	Базовый период (T)	Простая ставка наращения (i)	Учетная ставка (d)
5 260,00р.	285	20%	360	25,26%	21,05%

 

Долг, сумма  которого составляет 5260 руб. необходимо вернуть через 285 дней в  размере, который вычисляется по формуле: , где r = 20 %. Таким образом, размер долга составит 6092,75 руб.

Найдем простую ставку наращения  по формуле  ,

 Отсюда,

Учетная ставка находится следующим образом:

,

Задача 4. Для погашения долга величиной 1000*(N1 + 4)+ 10*(N2 + 3) руб. со сроком погашения 25.02 заемщик выписал своему кредитору векселя: один – на сумму 300*(N1+1) руб. со сроком погашения (20 + N1) августа, второй – на сумму 200*(N1 + 2) руб. со сроком погашения (10 + N2) сентября и третий вексель со сроком погашения соответственно 15.12. Найти, какова номинальная величина этого векселя при учетной ставке 8% годовых.

Решение:

Базовый период	Величина долга	Номинальная величина векселя	Срок погашения	Количество дней до срока погашения  долга	Учетная ставка	Теоретическая стоимость векселя
360	12080,00р.		25.02
360		2700,00р.	28.08	190	3,93%	2592,00
360		2000,00р.	15.09	208	4,49%	1908,00
360		8116,63р.	15.12	299	6,51%	7580,00

 

Пусть Si – номинал векселя i, T - базовый период, t - срок вклада, d – учетная ставка.

Теоретическая стоимость:

Итак, руб.,

 руб.,

 руб.

  Тогда  номинальная величина третьего векселя равна :

 руб.

Задача 5. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как (15+N1)% годовых плюс маржа (N2+3)% в первый год, (N2+4)% во второй год, по (N2+5)% в третий и четвертый годы. Определить величину коэффициента наращения за 4 года при полугодовом начислении процентов и наращенную величину капитала, если первоначальный капитал составил 500 тыс. руб. Известно, что инфляция за каждый год характеризуется темпами: 3%, 3,5%, 4,1% и 4,5%. Определить наращенную сумму с учетом обесценивания.

 

 

Решение:

Найдем  итоговый годовой процент (с учетом маржи):

23% + 8% = 31% (или 0,31) – за первый год;

23% + 9% = 32% (или 0,32) – за второй год;

23% + 10% = 20% (или 0,33) – за два последних года.

Найдем  множитель наращивания капитала:

q = (1 + 0,31/2) * (1 + 0,32/2) * (1 + 0,33/2) * (1 + 0,33/2) = 4,945 (деление на 2 по причине того, что в течение года проценты начисляются дважды).

Найдем  сумму наращивания капитала:

Р = 500 000 руб. – первоначальный капитал;

S = Р * q = 500 000 * 4,945 = 2 472 500 руб.

Найдем  наращенную сумму с учетом инфляции:

Jq = (1+3,0%) * (1+3,5%)  * (1+4,1%)  * (1+4,5%)  = 1,030 * 1,035 * 1,041 * 1,045 = 1,1597 – индекс цен за 4 года;

S нар = S / Jq =2 472 500 / 1,1597 = 2 132 016,90 руб.

 

Задача 6. Определить, какое помещение денег на срок 6 месяцев выгоднее: а) под простую ставку процентов в (N1+12)% годовых; b) под сложную ставку в (N2+10)% годовых при ежеквартальном начислении процентов. Задачу решить двумя способами: 1) сравнивая множители наращения за 6 месяцев; 2) формальным сопоставлением эффективных годовых процентных ставок.

Решение:

1. Сравним множители наращивания за 6 месяцев:

Под простую  ставку процентов в 20% годовых:

Под сложную  ставку в 15% годовых при ежеквартальном начислении процентов (значит периодов начисления процентов n будет 1 за 6 месяцев): .

Помещение денег  на срок 6 месяцев выгоднее под простую  ставку процентов в 20% годовых, так  как при этом наращивание первоначальной суммы будет больше, потому что 1,1>1,0375.

2. Найдем эффективные процентные ставки:

Под простую  ставку процентов в 20% годовых:

Под сложную  ставку в 15% годовых при ежеквартальном начислении процентов: .

При сопоставлении  эффективных процентных ставок делаем вывод, что помещение денег на срок 6 месяцев выгоднее под простую  ставку процентов в 20% годовых.

 

Задача 7. Найти современную и наращенную величину потока ежемесячных платежей постнумерандо величиной 100 * (10 + N1 + N2) руб., вложенных под 12% годовых с ежемесячным начислением процентов. Длительность ренты – 6 месяцев.

 

Решение:

Ежемесячный платеж:

Общий срок выплат: месяцев

Процентная  ставка в месяц:

Наращенная  сумма потока ежемесячных платежей составит:

Современная стоимость такого платежа:

Задача 8. Оценить, сколько будет стоить в конце декабря поток платежей пренумерандо: с января по декабрь по 1000*(N2 + 2) руб. ежемесячно при полугодовой процентной ставке (N1+2)% и полугодовой капитализации (расчеты производятся на конец декабря этого же года). Указание. Сначала необходимо найти месячную уравнивающую (эквивалентную) процентную ставку (т.е. ставку при ежемесячном начислении процентов) для полугодовой процентной ставки (N1 + 2)% (m = 2).

Решение:

Найдем ежемесячную  уравнивающую (эквивалентную) процентную ставку для полугодовой процентной ставки (N1 + 2)%.

Полугодовая процентная ставка	Ежемесячная уравнивающая процентная ставка
10,00%	0,464%

Обозначим через  r_n  - полугодовая процентная ставка, r_m - ежемесячная уравнивающая процентная ставка.

р = 0,1 - полугодовая процентная ставка;

 

Поток платежей с января по декабрь составит:

 руб.

 

Задача 9. Составить амортизационный план возврата (равными долями в конце месяца) кредита размером 1000*(N1 + 4) + 10*(N2 + 3) руб., выданного сроком на 6 месяцев под (N1 + 5)% годовых.

Решение:

Месяц	Долг (υi)	Годовая процентная ставка	Ежемесячная процентная ставка (rm)	Процентный платеж (Pi), Руб.	Выплата долга (Bi), руб.	Ежемесячный возврат (A), руб
1	12080,00	13%	1,08%	130,46	2013,30	2143,76
2	10066,70		1,08%	108,72	2013,30	2122,02
3	8053,40		1,08%	86,98	2013,30	2100,28
4	6040,10		1,08%	65,23	2013,30	2078,53
5	4026,80		1,08%	43,49	2013,30	2056,79
6	2013,5		1,08%	21,75	2013,30	2035,05
					12080	12536,43

 

Вычисления  в таблице проводятся по формулам:

r_m = =(8+5)/12=1,08 %;

где K = 1000*(8+4)+10*(5+3)=12080 руб.

 

Задача 10. Магазин продает телевизоры в рассрочку на 1,5 года. Сразу же к цене телевизора 400*(N1+N2) у.е. добавляют 10% и всю эту сумму надо погасить ежемесячными платежами в течение полутора лет, причем стоимость телевизора гасится равномерно, а надбавка — по «правилу 78». Найти ежемесячные выплаты.

Решение:

Всего выплат будет за 1,5 года – 18.

Ежемесячный платеж по стоимости телевизора составляет:

Ежемесячные выплаты по надбавке вычисляем по «правилу 78»:

Пусть d – выплата в последний месяц, тогда всего за 18 месяцев сумма выплат составит:

Найдем d:

288,89 – ежемесячная сумма  за телевизор; 

1 + 2 + 3 +…+ 12 = 78 – правило  «78» на год;

Ставка в первый месяц - 12 / 78, во второй – 11 / 78,…, в последний  – 1 / 78.

1 +…+ 18 = 171 – на 1,5 года;

Ставка в первый месяц - 18 / 171, во второй – 17 / 171, …, в последний  – 1 / 171.

 

месяц	погашение основного долга, у.е.	погашение процентов, у.е.	ежемесячный платеж, у.е.
1	288,89	30,40	319,29
2	288,89	28,72	317,61
3	288,89	27,03	315,92
4	288,89	25,34	314,23
5	288,89	23,65	312,54
6	288,89	21,96	310,85
7	288,89	20,27	309,16
8	288,89	18,58	307,47
9	288,89	288,89	305,79
10	288,89	15,20	304,09
11	288,89	13,51	302,40
12	288,89	11,82	300,72
13	288,89	10,14	299,03
14	288,89	8,45	297,34
15	288,89	6,76	295,65
16	288,89	5,07	293,96
17	288,89	3,37	292,26
18	288,89	1,69	290,58
сумма	5200,00	240,00	5488,26