Лекции по "Математическим аспектам макро и микроэкономики"

Page 1

1
ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Кафедра математики
И.Г.ШАНДРА
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАКРО И МИКРОЭКОНОМИКИ
(тексты лекций спецкурса )
МОСКВА – 1998

---

Page 2

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАКРОЭКОНОМИКИ
§ 1. Собственные векторы и собственные значения неотрицательных матриц.
§ 2. Модель Кейнса рынка товаров.
§ 3. Модель Хикса агрегированного рынка.
§ 4. Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса.
§ 5. Линейная модель обмена.
§ 6. Продуктивность модели Леонтьева.
§ 7. Модель равновесных цен.
ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МИКРОЭКОНОМИКИ
§ 8. Теория производства.
§ 9. Математические основы теории потребления.
§ 10. Некоторые вопросы экономической динамики.

---

Page 3

3
ВВЕДЕНИЕ
В современной экономической литературе, как в зарубежной, так и в отечественной
все отчетливее прослеживается тенденция к более широкому использованию
математического языка и математических методов. Порой это вызывает затруднения у
неподготовленного читателя, на которого сразу обрушиваются такие экономико-
математические термины, как эластичность, изокоста, изокванта, линии безразличия,
производственные
функции, функции
полезности, предельные
издержки,
продуктивность, мультипликатор, акселератор, матрица полных затрат, склонность к
потреблению и другие. Предлагаемые вниманию тексты лекций ставят перед собой
цель познакомить читателя с основными экономико-математическими понятиями,
рассказать о некоторых математических методах, используемых в этих теориях, дать
математическую интерпретацию известных экономических законов.
Данное учебное пособие создано на основе курса лекций спецкурса по выбору:
прочитанного автором в институте международных экономических отношений
Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации. В первой части
рассматриваются линейные модели макроэкономики: модель Кейнса и различные ее
обобщения, модель международной торговли, балансовые модели. Затрагиваются
вопросы экономической динамики (модель Самуэльсона-Хикса) с дискретным
временем. Во второй части излагаются такие вопросы математической
микроэкономики, как теория производственных функций, теория потребления и
элементы экономической динамики с непрерывным временем.
Пособие может использоваться для чтения спецкурсов, факультативов, а также для
углубленного изучения некоторых разделов курсов "Математика в экономике" и
"Математическое моделирование".

---

Page 4

4
§1. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц
1. Определение 1.1. Число
λ
называется собственным значением (числом)
матрицы А размеров
n n
×
, если существует ненулевой п-мерный вектор-столбец, та-
кой что
Ax
x
=
λ
; (1.1)
при этом вектор
x
называется собственным вектором матрицы А, соответствую-
щим собственному значению
λ
.
Для того, чтобы число
λ
было собственным значением матрицы А, необходимо
и достаточно, чтобы оно было решением характеристического уравнения:
A
E
−
=
λ
0
, (1.2)
где
E
- единичная матрица размеров
n n
×
.
Матрица А может иметь не более п действительных собственных значений.
Читателю в качестве упражнений предлагается доказать следующие утвержде-
ния, необходимые нам в дальнейшем.
Замечание 1.1. Собственные числа матрицы А и транспонированной матрицы А
Т
совпадают.
Замечание 1.2. Если
x
- собственный вектор матрицы А, то любой коллинеар-
ный ему вектор (т. е. вектор вида
α α
x, ≠ 0
) также является собственным вектором
матрицы А, причем оба вектора соответствуют одному и тому же собственному значе-
нию.
2. Собственные векторы и собственные значения неотрицательных матриц яв-
ляются важными характеристиками функционирования экономических систем. Особое
место среди неотрицательных матриц занимают неразложимые матрицы.
Определение 1.2. Матрица А называется неотрицательной (положитель-
ной) и обозначается
A
A
≥
>
0
0
(
)
, если все ее элементы неотрицательны (положи-
тельны). Неотрицательная квадратная матрица А размеров
n n
×
называется разло-
жимой, если одновременной перестановкой строк и столбцов ее можно привести к
виду:
A
A A
O A
=
1
2
3
, ( 1.3)
где O - нуль-матрица, а А
1
и А
2
- квадратные матрицы размеров
r r
×
и
( ) ( )
n r
n r
− × −
соответственно, в противном случае матрица называется неразло-
жимой.
Замечание 1.3. Любая положительная матрица неразложима.
Замечание 1.4. С экономической точки зрения разложимость матрицы говорит о
том, что в рамках данной экономической системы существует некоторая автономная
подсистема. Так, если элемент a
ij
матрицы А показывает какое количество продукции i-
ой отрасли используется в j-ой отрасли, то разложимость матрицы А говорит о том, что
существует группа отраслей, не использующих продукцию остальных отраслей. Нераз-
ложимость матрицы А показывает, что любая отрасль хотя бы косвенным образом ис-
пользует продукцию всех отраслей.
Замечание 1.5. Квадратная матрица А размера
2 2
×
разложима тогда и только
тогда, когда либо а
12
=0, либо а
21
=0.
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАКРОЭКОНОМИКИ

---

Page 5

5
Действительно, если а
21
=0, то матрица А уже приведена к виду (1.3). Если же
а
12
=0, то меняя местами первую и вторую строку, а затем первый и второй столбец (т.
е. перенумеровав индексы) мы приведем матрицу к виду (1.3).
Замечание 1.6. Матрица С - разложима тогда и только тогда, когда существует
матрица В, которая путем перестановок строк может быть приведена к единичной, то
есть матрица А=В
Т
СВ есть матрица вида (1.3).
Доказательство этого утверждения мы предлагаем читателю провести самостоя-
тельно.
Замечание 1.7. Из разложимости матрицы A в общем случае не следует разло-
жимость матрицы (А)
2
. Так, например,
А =
0 1
1 0
- неразложима, а
А
2
1 0
0 1
=
- разложима.
Теорема 1.1.(Фробениуса-Перрона). Неотрицательная матрица А имеет такое
собственное значение
λ
A
≥ 0
, что
λ
λ
A
≥
для любого собственного значения
λ
мат-
рицы А. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор
x
A
, соот-
ветствующий собственному числу
λ
A
. Причем, если А неразложима, то
λ
A
> 0
и
x
A
> 0
.
Доказательство данного утверждения весьма громоздко и требует привлечения
аппарата математического анализа. Поэтому мы приведем его лишь для матрицы раз-
меров
2 2
×
.
Действительно, пусть
A
a b
c d
a b c d
=
≥
;
, , ,
0
.
Характеристическое уравнение для А имеет вид:
(
)
0
2
=
−
+
−
=
−
−
=
−
cb
d
a
d
c
b
a
E
A
λ
λ
λ
λ
α
(1.4)
Вычислив дискриминант полученного квадратного уравнения, получим, что
(
)
D
d a
cb
= +
+
≥
2
4
0
. (1.5)
Следовательно, матрица А имеет хотя бы одно действительное значение, причем, оче-
видно, что
λ
λ
A
d a
D
d a
D
=
+ +
≥
=
+ −
2
2
2
( 1.6)
Найдем собственные векторы, соответствующие
λ
А
. Уравнение (1.1) или эквивалент-
ное ему уравнение
(
)
A
E x
−
=
λ
0
в координатной форме с учетом выражения для λ
A
имеют вид
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
−
+
=
+
−
−
0
2
0
2
2
1
2
1
x
D
a
d
cx
bx
x
D
d
a
(1.7)

---

Page 6

6
Так как определитель системы в силу (1.2) равен нулю, то уравнения системы (1.7) ли-
нейно зависимы, т. е. одно из них можно получить путем умножения другого на неко-
торое число. Для определенности будем считать, что второе уравнение есть следствие
первого. Очевидно, что
k
a d
D
=
− −
≤
2
0
,
( т. к.
(
)
D
a d
≥ −
2
, см. (1.5)). Причем
k < 0
, если
c ≠ 0
и
d ≠ 0
(То есть когда матрица
неразложима). Итак, возможны четыре случая:
а) если
k < 0
,
b> 0
(а это имеет место, в частности, для неразложимых матриц),
то
(
)
x
b k t
A
=
−
>
;
0
, при t>0;
б) если k=0, b>0, то
( )
x
t
A
=
≥
1 0
0
;
,
при
t > 0
;
в) если
k < 0
,
b = 0
, то
( )
x
t
A
=
≥
0 1
0
;
, при
t > 0
;
г) если r=0, b=0, то
( )
x
t m
A
= ;
, при
t > 0
,
m > 0
.
А это показывает, что во всех случаях существует неотрицательный собственный век-
тор
x
A
, соответствующий
λ
A
. Причем, для неразложимой матрицы (случай а))
x
A
> 0
. Теорема доказана.
Определение 1.3. Собственное значение
λ
A
неотрицательной матрицы А
называется Фробениусовым числом (числом Фробениуса), а собственный вектор
( )
x
A
≥ 0
- Фробениусовым вектором (вектором Фробениуса) матрицы A.
Пример 1.1. Пусть
A =
0 2
2 3
. Данная матрица неразложима. У нее существует
два собственных значения: число Фробениуса
λ
A
= 4
, ему соответствует собственный
вектор
x
A
=(2 ;1)t (он является вектором Фробениуса при t>0) и собственное значение
λ
2
1
= −
, ему соответствует собственный вектор
( ) ( )
x t
t
= −
≠
2 1
0
;
. Очевидно, что
λ
λ
A
>
2
.
Пример 1.2. Пусть
A =
1 0
2 3
. Данная матрица разложима. У нее существует
два собственных значения:
λ
A
= 3
- фробениусово число, ему соответствует собствен-
ный вектор
( )
x
t
A
= 1 0;
(
x
A
≥ 0
при
t > 0
) и собственное значение
λ
2
1
=
, соответ-
ствующий собственный вектор
( ) ( )
x t
t
= −
≠
1 1
0
;
.
Замечание 1.7. Так как собственные значения матриц А и А
Т
совпадают, то чис-
ла Фробениуса данных матриц равны.
Пусть
P
A
- вектор Фробениуса матрицы А
Т
, тогда
A P
P
T
A
A A
=
λ
.
Транспонируя это равенство, мы получим:
P A
P
A
T
A
A
T
=
λ

---

Page 7

7
(Напомним, что в данном равенстве
P
A
T
рассматривается как вектор-стрoка). Поэтому
весьма естественно говорить о векторах
P
A
и
x
A
как о соответственно левом и правом
векторах Фробениуса матрицы А.
Следствие 1.1. Если матрица
A ≥ 0
неразложима, то кроме вектора
x
A
(определенного с точностью до положительного множителя) у нее нет других неот-
рицательных собственных векторов.
В самом деле, пусть
y ≥ 0
и
Ay
y
=
λ
. Тогда, умножив это равенство слева на
P
A
T
, получим
( ) ( )
λ
λ
A
A
T
A
T
P y
P y
⋅ =
⋅
(1.8)
Так как
P
A
> 0
, то
P y
A
T
⋅ > 0
. Следовательно
λ λ
=
A
.
То есть все неотрицательные собственные векторы будут соответствовать
λ
A
. Более
того, в силу Теоремы Фробениуса-Перрона
y > 0
. Предположим, что векторы
x
A
и
y
- линейно независимы. Т. к. эти векторы определены с точностью до положительного
множителя, то мы можем считать, что первая координата у них равна 1. Тогда вектор
x
y
A
−
будет собственным вектором матрицы А, соответствующий
λ
A
, но первая ко-
ордината будет равна нулю, что противоречит Теореме Фробениуса-Перрона для не-
разложимой матрицы, следовательно,
x
A
и
y
- линейно зависимы, т. е.
( )
x
t y t
A
=
> 0
.
Следствие 1.2. Если
A B
≥ > 0
, то
λ
λ
A
B
≥
.
Следствие 1.3. Пусть
A ≥ 0
, тогда
( )
λ
A
k
является число Фробениуса
( )
A
k
.
Следствие 1.4. Если
λ
A
- число Фробениуса матрицы
A ≥ 0
, то
αλ
β
A
+
есть
число Фробениуса матрицы
(
)
α
β
α β
A
E
+
>
,
0
.
Доказательство этих утверждений мы предлагаем провести читателю самостоятельно.
3. Обозначим через
r
- вектор, координата r
i
которого есть сумма элементов i-ой
строчки матрицы А, а через
m
- вектор, координата m
i
которого есть сумма элементов
i-того столбца матрицы А. Очевидно, что
a)
r Al
=
; б)
m l A
T
=
(1.9)
где
(
)
l = 1 1
,...,
.
Пусть m = min m
i
; M = max m
i
; r = min r
i
R = max r
i
. Тогда имеет место
Теорема 1.2. Число Фробениуса
λ
А
неотрицательной матрицы А удовлетво-
ряет условиям:
а)
r
R
A
≤
≤
λ
; б)
m
M
A
≤
≤
λ
(1.10)
Причем, если матрица А неразложима, то все неравенства строгие за исключением
случая, когда r=R или m=M.
Доказательство. Пусть
x
- вектор Фробениуса, сумма координат которого рав-
на 1, т. е.
l x
T
=1
(такой вектор мы можем всегда выбрать, так как, если сумма коор-
динат
x
равна
t( )
> 0
, то вектор Фробениуса
y
t
x
=
1
будет иметь сумму координат,
равную 1). Для
x
мы имеем

---

Page 8

8
Ax
x
A
=
λ
.
Умножив это равенство слева на
l
и учитывая (1. 9б), получим
mx
xl
A
=
λ
Так как
xl =1
, то
λ
A
n
n
xm x m x m
x m
=
=
+
+ +
1 1
2
2
...
Отсюда вытекает, что
(
)
(
)
m x
x
M x
x
n
A
n
1
1
+ +
≤
≤
+ +
...
..
λ
(1.11)
Причем, если матрица неразложима, то все
x
i
> 0
и в (1. 11) оба неравенства строгие
(за исключением случая m=M). Учитывая, что сумма координат вектора
x
равна 1, из
(1. 11) получаем (1. 10а). Соотношения (1. 10б) получаются путем аналогичных рас-
суждений, но проделанных для матрицы А
Т
.
Следствие 1.5. Если все суммы элементов строк (столбцов) неотрицательной
матрицы А равны одному и тому же числу
λ
(т. е.
R r
= =
λ
или
M m
= =
λ
), то число
Фробениуса
λ
A
равно
λ
.
Пример 1.3. Пусть
A
B
=
=
1 1 3
2 0 3
3 5 0
1 0 2
3 0 0
1 1 1
;
тогда
λ
A
= 6
(т. к. суммы элементов каждого столбца равны 6) и
λ
B
= 3
(т. к. суммы
элементов любой строки равны 3).
§2. Модель Кейнса рынка товаров.
1. Пусть Y - величина совокупного национального дохода некоторой страны, С и
I - соответственно объемы потребления и инвестиций. Равновесным национальным до-
ходом Y называется национальный доход, равный расходам страны, т. е.
Y I C
= +
. (2.1)
Путем анализа статистических данных американской экономики английский эко-
номист Джон Кейнс в 30-е годы пришел к выводу, что величина потребления есть ли-
нейная неоднородная функция от Y, т. е.
C aY b
=
+
(2.2)
где а - коэффициент склонности к потреблению
(
)
0
1
< <
a
, а b - базисное потребление,
ниже которого уровень потребления не может опуститься. Перепишем уравнение (2.1),
(2.2) в следующем виде:
⎩
⎨
⎧
=
+
−
=
−
.
,
b
C
aY
I
C
Y
(2.3)
Соотношения (2.3) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных Y и C (I, b, a считаются заданными). Определитель системы
Δ = −
1 a
. Величина
1− a
называется коэффициентом склонности к сбережениям. Та-
ким образом, если
1
0
− ≠
a
, то у системы (2.3) существует единственное, причем по-
ложительное, решение

---

Page 9

9
( )
( )
Y
a
I b
C
a
a
I b
*
*
=
−
+
=
−
+
1
1
1
(2.4)
Определение 2.1. Величина
( )
k
a
=
−
1
1
называется мультипликатором
Кейнса, а F=I+b - конечным спросом.
Замечание 2.1. Мультипликатор k играет важную роль в теории Кейнса и в дру-
гих макроэкономических теориях. Так как
0
1
< <
a
, то его можно рассматривать как
сумму бесконечно убывающей прогрессии, т. е.
1
1
1
2
3
−
= + +
+ + +
a
a a
a ... ...
(2.5)
Отсюда в силу (2.4) вытекает, что если, например, величина инвестиций возрастает на
ΔI
, то прирост национального дохода
ΔY
и прирост потребления
ΔC
будут равны со-
ответственно:
Δ
Δ
Δ
Δ
Y
I a I a I
=
+
+
+
2
...
(2.6)
Δ
Δ
Δ
Δ
C a I a I a I
=
+
+
+
2
3
...
(2.7)
Соотношение (2.6.) показывают, что увеличение инвестиций на
ΔI
приведет к увели-
чению дохода на величину
ΔI
(эффект первичного распространения инвестиций). Но,
т. к. домашние хозяйства величину
a IΔ
потратят на потребление, то доход дополни-
тельно увеличится на
a IΔ
(вторичный эффект распространения) и т. д., в результате
этого процесса (называемого мультипликативным процессом) произойдет увеличение
дохода на величину
Δ
Δ
Y
k I
=
(см. рис1.)
Q
Q=Y
Q=C
2
+Y
2
Q=C
1
+Y
1
Y
1
*
Y
2
*
Y
Рис.1
Пример 2.1. Рассмотрим модель Кейнса при условии, что I=10, b=20,
3
2
=
а
. То-
гда конечный спрос F=I+b равен 30, мультипликатор Кейнса k равен
3
3
2
1
\1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
.
Учитывая это, из (2.4) получаем следующее значение равновесного национального до-
хода:
Y * = ⋅ =
3 30 90
. Увеличение инвестиций, например, на величину
ΔY = ⋅ =
3 9 27
, приведет к увеличению национального дохода на величину. Причем, первичный эф-
Q

---

Page 10

10
фект распространения инвестиций равен 9, вторичный равен 6, эффект третьей волны
равен 4 и т. д.
Нахождение равновесного национального дохода и мультипликативный эффект
можно проиллюстрировать следующим образом:
Замечание 2.2. Обозначим через
S Y C
= −
величину сбережений, тогда из (2.1)
следует, что в точке равновесия
( ) ( )
I Y
S Y
=
То есть величина инвестиции равна величине сбережений (см. рис.2).
Q
S
I
Y
Y
*
Рис.2
Замечание 2.3. Пусть
y
- реальный национальный доход (в качестве такого
обычно используют величину национального дохода, выраженную в ценах какого-то
фиксированного года). Тогда
Y
p y
= ⋅
,
где
p
- индекс цен. При фиксации
y
данное уравнение задает некоторую гиперболу
Увеличение
Y
приводит к смещению этой гиперболы вправо вверх.
Пусть
y
e
- максимальное значение
y
, которое может достигнуть экономическая
система. В Кейнсианской теории предполагается, что увеличение номинального дохода
Y
приводит к пропорциональному увеличению реального дохода
y
до тех пор пока
Y
py
e
≤
. То есть на некотором этапе экономическая система на рост
Y
реагирует не
повышением цены
p
, а увеличением уровня производства. Если же
Y
py
e
>
, то даль-
нейшее увеличение
Y
приводит к росту индекса цен, т. е. к инфляции. Графически это
можно проиллюстрировать следующим образом:
P
1 2
а)
P
1

---

Page 11

11
Y
1
Y
2
Y
e
Рис.3
P
б)
2
1
P
2
P
1
Y
1
Y
e
Y
Рис.4
В случае а) переход из состояния
Y
1
в состояние
Y
2
приводит к росту производ-
ства. В случае б) переход из состояния
Y
1
в состояние
Y
2
приводит к инфляции.
Рассмотрим модель Кейнса с учетом государственных расходов
G
и налогов
T
.
Она имеет следующий вид:
(
)
Y G I C
C a Y T
b
= + +
=
−
+
⎧
⎨
⎩
Отсюда получаем.
Y G I aY aT b
= + +
−
+
Y
G aT I b
a
* =
−
+ +
−
1
(2.8)
Налоги и государственные расходы являются важными инструментами фис-
кальной политики государства (инструментами государственного регулирования). Со-
отношения (2.8) показывают, как пользоваться этими инструментами. Так, увеличение
государственных расходов
G
ведет к росту равновесного дохода
Y *
, и, наоборот, уве-
личение налогов
T
приводит к уменьшению равновесного национального дохода
Y *
.
Из соотношений (2.8) также вытекает, что в случае бездефицитного бюджета (т.
e.
G T
=
)
Y
G
I b
a
* = +
+
−
1
т. е. в этом случае, государственные расходы выведены из под действия мультиплика-
тора.
Упражнения.
1) Рассмотреть модель Кейнса рынка денег и определить равновесный для этого
рынка уровень национального дохода. Данная модель характеризуется соотношениями,

---

Page 12

12
MS M
MD m
Y
MD MS
=
=
+
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
0
0
τ
где
MS
- предложение денег (количество денег в обращении),
MD
- спрос на деньги,
M m
0
0
0
, ,
τ
>
. Выяснить каково будет изменение
Y *
при увеличении
M
0
(эмиссии де-
нег) и уменьшении
M
0
.
2) Рассмотреть кейнсианскую модель рынка труда
LS L
LD l
Y
LD LS
=
= +
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
0
0
μ
,
где
LS
- предложение рабочей силы,
LD
- спрос на рабочую силу,
L l
0 0
0
, ,
μ
>
.
Найти равновесный национальный доход
Y *
. Исследовать вопрос об изменении
Y *
при увеличении и уменьшении предложения рабочей силы.
§3 Модель Хикса агрегированного рынка.
В своей знаменитой статье “Мистер Кейнс и классики” в журнале "Экономика"
Дж. Хикс предпринял попытку объединить кейнсианский подход, считавшим основ-
ным фактором достижения равновесия на рынках труда и денег уровень национального
дохода, и монетаристский подход, ставивший во главу угла процентную ставку. Он по-
строил модель объединенного (агрегированного) рынка товаров и денег. Эта модель за-
дается следующей системой уравнений:
Y C I G
I I
r
C aY b
r
MD m
Y
r
MS M
r
MS MD
= + +
= −
=
+ −
=
+
−
=
+
=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
0
0
0
α
β
τ
γ
δ
,
где
1
,0
,,
,
,,
,
,
0
0
<
> a
b
a
m
I
δ
γ
β
α
Из первых трех уравнений системы, характеризующей рынок товаров, находим
Y I
r aY b
r
= −
+
+ −
0
α
β
или
(
)
Y
I
b G
a
r
0
0
1
=
+ +
− =
+
α β
(3.1)
Таким образом ,существует бесконечно много состояний равновесия рынка товаров,
которые можно изобразить графически при помощи прямой, называемой линией
IS
(см. рис.5)
r I

---

Page 13

13
S
Y
Рис.5
Подобным образом из четвертого, пятого и шестого уравнений системы, характеризу-
ющих рынок денег, получаем
r
M
r
Y
m
δ
γ
τ
+
=
−
+
0
0
или
r
m
M
Y
τ
δ
γ
τ
+
+
−
=
0
0
(3.2)
Данная прямая, описывающая состояния равновесия на рынке денег называется линией
LM(см. рис.6).
r
M
L
Y
Рис.6
Пересечение прямых
LM
и
LS
дает состояние, при котором оба рынка будут нахо-
дится в равновесии(см. рис.7).
I
r
M
S
L
Y
*
Y
Рис.7
Упражнения.
1) Исследовать направление перемещения прямых
IS
и
LM
при увеличении
(уменьшении)
G
и
M
0
.
2) Показать, что при увеличении
G
происходит увеличение
Y *
и
r*
, а увели-
чение выпуска денег
M
0
приводит к увеличению
Y *
и к уменьшению реальной про-
центной ставки
r*
.
3) Опровергнуть (графически) парадокс вымывания инвестиции, утверждающий,
по мнению монетаристов, что фискальные рычаги мало эффективны, т. к. увеличение
государственных расходов
G
(с целью увеличения
r*
) приводит к увеличению ставки r,
что уменьшает инвестиции
I
, а ,следовательно, уменьшает
Y
.

---

Page 14

14
4) Найти равновесное состояние
(
)
Y r w
*, *, *
в модели агрегированного рынка
товаров, денег и труда, описываемого уравнениями
Y
C I G
I I
r
C aY b
r w
MD m
Y
r
MS M
r
LS L
w
LD l
w
= + +
=
−
=
+ −
+
=
+
−
=
+
=
+
=
−
0
0
0
0
0
α
β
ϕ
τ
γ
δ
ψ
μ
где
LS
- предложение рабочей силы (труда);
LD
- спрос на рабочую силу;
w
- реальная
заработная плата,
ϕ ψ μ
, , , ,
L l
0 0
0
>
.
§4. Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса.
В данном параграфе мы рассмотрим динамический вариант модели Кейнса, из-
вестный под названием модели делового цикла Самульсона-Хикса. Если в модели Кейн-
са используется принцип независимого (от величины национального дохода) характера
инвестирования, то в модели Самуэльсона-Хикса используется так называемый прин-
цип акселерации, т. е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорци-
ональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется сле-
дующим уравнением
( )
( ) ( )
(
)
I t
V Y t
Y t
=
− −
−
1
2 ,
(4.1)
где
( )
V > 0
- фактор акселерации,
( )
I t
- величина инвестиций в период t, - величины
национального дохода соответственно в
( )
t −1
-ом и
( )
t −2
-ом периодах.
Естественно также предположить, что спрос на данном этапе зависит от величи-
ны национального дохода на предыдущем этапе, т.е., что
( )
( )
C t
aY t
b
=
− +
1
. (4.2)
Условие (2.1) равенства спроса и предложения в динамическом варианте имеет вид:
( ) ( ) ( )
Y t
I t C t
=
+
. (4.3)
Подставляя в (4.3) выражения для I(t) из (4.1) и выражения для С(t) из (4.2) , находим:
( ) (
) ( )
( )
Y t
a V Y t
VY t
b
= +
− −
− +
1
2
. (4.4)
Уравнение (4.4) известно, как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное не-
однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
(если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины a и V
постоянны).
Замечание 4.1. Методы решения данного класса уравнений во многом анало-
гичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами. Так, общее решение уравнения (4.4) определяется по формуле
Y
Y Y
о б щ
о б щ
.
.
= +
, (4.5)

---

Page 15

15
где Y
ч..
- некоторое частное решение уравнения (4.4),
.
Y
о б щ
- общее решение соответ-
ствующего однородного уравнения (т. е. в предположении, что b=0 ), в нашем случае
это уравнение:
( ) (
) ( )
( )
Y t
a V Y t
VY t
− +
− +
− =
1
2 0
. (4.6)
Замечание 4.2. Для нахождения общего решения уравнения (4.6) необходимо
сперва решить характеристическое уравнение
(
)
λ
λ
2
0
− +
+ =
a V
V
. (4.7)
После этого могут возникнуть три варианта.
1) Оба корня
λ
1
и
λ
2
действительны и различны. Тогда общее решение нахо-
дится по формуле:
( )
( )
( )
Y t
A
A
t
t
=
+
1
1
2
2
λ
λ
, (4.8)
где А
1
и А
2
- произвольные константы, t - положительное целое число.
2) Оба корня действительны и равны
(
)
λ
λ
λ
1
2
=
=
, тогда
( )
( )
( )
Y t
A
A t
t
t
=
+
⋅
1
2
λ
λ
, (4.9)
3) В случае комплексно сопряженных корней
(
)
ϕ
ϕ
λ
sin
cos
2,
1
±
= ir
( ) ( )
( )
( )
(
)
cos
sin
Y t
r A
t
A
t
t
=
+
1
2
ϕ
ϕ
. (4.10)
Замечание 4.3. Чтобы определить константы А
1
и А
2,
необходимо задать
начальные условия
( )
( )
⎩
⎨
⎧
=
=
.
1
,
0
1
0
Y
Y
Y
Y
(4.11)
В нашем случае это означает, что необходимо зафиксировать первоначальный уровень
национального дохода Y(0) и уровень национального дохода Y(1) на первом этапе.
Замечание 4.4. Мы можем легко найти частное решение уравнения (4.4), если
положим, что
( ) ( ) ( )
Y t Y t
Y t
Y
=
− =
− =
1
2
*
,
(4.12)
т. е. использовав в качестве частного решения равновесное решение Y*. Имеем
(
)
Y
a V Y
VY
b
*
*
*
= +
−
+
.
Откуда
Y
ч
=
=
−
Y
b
a
*
1
. (4.13)
Пример 4.1. Рассмотрим модель Самуэльсона при условии, что а=0,5; V=0,5; b=
4; Y(0)=8; Y(1)=10. В этом случае на основании (4.13) получаем, что частным решением
(4.4) будет
Y
ч
(
)
=
−
=
4
1 05
8
,
(4.14)
Найдем корни характеристического уравнения
λ λ
2
05 0
− +
=
,
(4.15)
Имеем,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±
=
±
=
4
sin
4
cos
2
1
2,
1
π
π
λ
i
i
.
Таким образом,

---

Page 16

16
( )
( )
cos
sin
Y t
A
t
A
t
t
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
4
4
1
2
π
π
.
А следовательно, в силу (4.5) и (4.14),
( )
( )
Y t
A
t
A
t
t
= +
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
8
2
4
4
1
2
cos
sin
π
π
.
Учитывая, что Y(0)=8 и Y(1)=10, получаем
( )
(
)
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
+
.
10
8
4
sin
4
cos
2
,8
8
0
sin
0
cos
2
2
1
1
2
1
0
π
π
A
A
A
A
Откуда находим, что А
1
=0 и А
2
=1.Следовательно,
( )
( )
Y t
t
t
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
2 2
4
8
sin
.
π
Замечание 4.5. В зависимости от значений а и V возможны четыре типа дина-
мики. Она может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь коле-
бательный характер. Так, в рассмотренном выше примере динамика носила колеба-
тельный с возрастающей амплитудой характер. Мы рекомендуем читателю самостоя-
тельно определить виды динамики в зависимости от а и V.
Замечание 4.6. Если Y(t-1)<Y(t-2), то из (4.1) следует, что I(t)<0. Это означает,
что основные фонды уменьшились на величину
I t( )
.
Замечание 4.7. В некоторых более общих моделях в правую часть уравнений
(4.8) могут вводиться дополнительные слагаемые (например, величина государствен-
ных расходов G(t)), т. е.
( ) ( ) ( ) ( )
Y t
I t C t G t
=
+
+
. (4.16)
В силу этого уравнение Хикса (4.4) принимает вид:
( ) (
) ( )
( )
( )
Y t
a V Y t
VY t
b G t
= +
− −
− + +
1
2
. (4.17)
При этом часто постулируется, что государственные расходы имеют постоянный темп
роста r, т. е., что
( ) ( )
( )
G t
G t
rG t
+ −
=
1
. ( 4.18)
Или, что то же самое,
( ) ( ) ( )
G t
r G t
= +
1
. ( 4.19)
Отсюда нетрудно найти, что
( ) ( ) ( )
G t
G
r
t
=
⋅ +
0 1
. (4.20)
Частное решение уравнения Хикса в данном случае следует писать в виде
( )
( )
Y
A
r
b
a
r
t
= ⋅ +
+
−
1
1
, (4.21)
где А - некоторая константа.
Пример 4.2. В модель Самуэльсона-Хикса, рассмотренную в примере 4.1, вне-
сем следующие изменения, положив, что G(0)=7,4 и r=0,2 (отсюда следует, что
( )
( )
G t
t
=
⋅
74 12
,
,
) и соответственно изменив начальные условия:
( )
( )
Y 0 8 74 12
154
0
= +
⋅
=
,
,
, ;
( )
Y 1 10 74 12 2554
= +
⋅ =
, ,
, .
Уравнение Хикса в данном случае принимает вид

---

Page 17

17
( ) ( )
( )
( )
Y t Y t
Y t
t
=
− −
+ +
⋅
1 05
4 74 12
,
,
,
. (4.22)
Частное решение (4.22) на основании (4.21) будем искать в виде:
Y
ч
( )
( )
t
A
t
= + ⋅
8
12,
. ( 4.23)
Подставляя выражение для Y(t) из (4.21) в (4.17), находим
( )
( )
( )
(
)
( )
8
12
8
12
05 8
12
4 74 12
1
2
+
= +
−
+ ⋅
+ +
⋅
−
−
A
A
A
t
t
t
t
,
,
,
,
,
,
.
Отсюда после сокращений получаем, что
( )
( )
( )
( )
(
)
12
12
12 05
74 12
0
2
2
2
,
,
,
,
, ,
t
A
A
A
−
−
+
⋅ −
=
.
или
( )
( )
A 074
74 12
2
,
, ,
=
, т. е. А=14,4 .
Следовательно, Y
ч
( )
= +
⋅
8 14 4 12
,
,
t
.
Очевидно, что характеристическое уравнение в данном случае будет совпадать с харак-
теристическим уравнением (4.15), рассмотренным в примере 4.1. Поэтому.
( )
( )
( )
Y t
A
t
À
t
t
t
= +
⋅
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
8 14 4 12
2
4
4
1
2
,
,
cos
sin
π
π
Положив здесь Y(0)=15,4; Y(1)=25, 54, получим, что А
1=
0, А
2
=1, т. е.
( )
( )
( )
Y t
t
t
t
= +
⋅
+
8 14 4 12
2
4
,
,
sin
π
.
§ 5. Линейная модель обмена
1. В данном параграфе мы рассмотрим линейную модель обмена, известную
также под названием модели международной торговли. Пусть
y
y
n
1
, ...,
- националь-
ные доходы стран
p
p
n
1
, ...,
соответственно,
(
)
Y
y
y
n
=
1
,...,
- вектор национальных
доходов:
(
)
C
C
C
n
=
1
,...,
- вектор потребления,
(
)
c
c
c
n
=
1
,...,
- вектор нормы потреб-
ления
c
C
y
i
i
i
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
, показывающий какую часть своего дохода страны тратят на потреб-
ление;
{ }
A
a
ij
=
- структурная матрица торговли (элемент а
ij
матрицы А показывает ка-
кую часть национального дохода страна Р
j
тратит на закупку товаров у страны Р
i
).
Таким образом, страна Р
i
в результате продажи товаров получит доход
IN
a y a y
a y
i
i
i
in
n
=
+
+ +
1 1
2 2
...
, i=1,2,...., n ,
(5.1)
или в матричном виде
IN AY
=
,
(5.2)
где
(
)
IN
IN
IN
n
=
1
,...,
- вектор дохода от продажи.
В данном пункте мы будем исходить из трех предположений.
1) Рассматриваемая экономическая система замкнута, т. е. все страны покупают
товары только друг у друга. Данное условие в наших обозначениях может быть записа-
но следующим образом:
a
a
a
c
i
i
in
i
1
2
+ + +
=
...
(5.3)

---

Page 18

18
Это показывает, что сумма элементов i-того столбца матрицы А равна с
i
. Уравнение
(5.3) в матричной форме выглядит, как
e A c
T
=
(5.4)
где
(
)
e = 1 1
,...,
.
2) Национальные доходы всех стран полностью тратятся на потребление (С
i
=Y
i
).
Следовательно, с
i
=1, т. е.
c e
=
(5.5)
В силу последнего соотношения условие (5.4) эквивалентно условию
c A c
=
(5.6)
Замечание 5.1. Так как с
i
=1, то из (5.3) вытекает, что все суммы элементов
столбцов матрицы А равны 1. Отсюда на основании Следствия 1.5 вытекает, что число
Фробениуса
λ
A
матрицы А равно 1. Поэтому из (5.6) вытекает, что
c
является левым
вектором Фробениуса структурной матрицы торговли.
3) Национальный доход
( )
Y t +1
в период t+1 равен доходу от продажи в преды-
дущем периоде, т. е.
( )
( )
Y t
IN t
+ =
1
.
(5.7)
С учетом (5.2) последнее условие принимает вид:
( )
( )
Y t
AY t
+ =
1
.
(5.8)
Уравнение (5.8) называется уравнением линейного обмена (без учета сбережений). Ес-
ли
( )
Y 0
- первоначальный вектор национального дохода, то из (5.8) следует, что в пе-
риод t вектором национального дохода будет
( ) ( ) ( )
Y t
A Y
t
=
0
(5.9)
(при условии, конечно, что за это время структурная матрица торговли не изменилась).
2. Естественно возникает вопрос, возможна ли в рамках данной экономической
системы взаимовыгодная торговля, т. е. существует ли такой вектор
Y
, при котором
AY Y
≥
.
(5.10)
Эти соотношения показывают, что все страны получили либо прибыль, либо по край-
ней мере не имеют убытков. Покажем, что в (5.10) возможен лишь только знак равен-
ства.
Действительно, предположим противное : что в неравенствах (5.10), рассмот-
ренных покоординатно, имеется хотя бы одно строгое неравенство. Тогда просумми-
ровав все эти неравенства, т. е. умножив (5.10) скалярно на
(
)
e = 1 1
,...,
, получим
e AY
eY
>
.
Учитывая (5.6), получаем
eY
eY
>
.
Мы пришли к противоречию. Следовательно,
AY
Y
=
.
(5.11)
С экономической точки зрения данный результат вполне очевиден, т. к. если бы-
ли бы страны, имеющие прибыль, то в силу замкнутости данной экономической систе-
мы, должны быть и страны, имеющие убытки.
Замечание 5.2. Из (5.11) вытекает, что вектор
Y
, определяющий равновесное
состояние системы, является правым вектором Фробениуса матрицы А (т. к.
λ
A
=1
,

---

Page 19

19
см. Замечание 5.1). Следовательно, для любой модели международной торговли суще-
ствует равновесное состояние
Y
, причем, если матрица - неразложима, то
Y
>0.
Замечание 5.3. Т. к. вектор Фробениуса
Y
A
определен с точностью до знака, то
точнее говорить о равновесном распределении доходов. Если структурная матрица тор-
говли А неразложима, то равновесное распределение доходов определено однозначно.
Пример 5.1. Пусть структурная матрица торговли имеет вид:
A =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
07 06 0
02 02 04
01 02 06
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Определим равновесное распределение национальных доходов. Уравнение (5.11) в
данном случае равносильно системе:
07
06
02
02
04
01
02
06
1
2
1
1
2
3
2
1
2
3
3
,
,
,
,
,
,
,
,
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
+
=
+
+
=
+
+
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Решив ее, находим, что
1:
1:
2
:
:
3
2
1
=
y
y
y
, т. е.
(
)
Y
k
k
=
>
2 1 1
0
; ; ,
.
Замечание 5.4. Из (5.8) и (4.11) вытекает, что, если
( )
Y
Y
0 =
(одному из пра-
вых векторов Фробениуса матрицы А), то в результате торговли доходы стран останут-
ся без изменения. Если же
( )
Y
Y
0 =
, но существует
( )
( ) ( )
Z
Y
A
t
Y
t
t
t
=
=
∞
→
∞
→
0
lim
lim
, то из
(4.8) следует, что
AZ
Z
=
, т. е. то, что
Z
также будем вектором Фробениуса матри-
цы А. Таким образом, вектор Фробениуса
Y
A
определяет не только равновесное , но и
предельное состояние системы.
Замечание 5.5. Можно показать, что если А неразложима и
λ
λ
A
>
для любого
собственного значения
λ
матрицы А, то будет существовать предел последовательно-
сти
( ) ( ) ( )
Y t
A Y
t
=
0
при любом
( )
Y 0
(доказательство это факта можно найти в [1]).
Неотрицательные матрицы А, обладающие подобным свойством, называются
устойчивыми. Таким образом, если структурная матрица торговли А устойчива, то по-
следовательность национальных доходов
( )
Y t
будет сходится к равновесному состоя-
нию.
3. В данном пункте мы рассмотрим более общую ситуацию: модель обмена с
учетом сбережений. Пусть
s
i
- норма сбережений страны
(
)
P s
c
i
i
i
= −
1
, - вектор нор-
мы сбережений. Обозначим через
S
и
C
следующие диагональные матрицы
а)
S
s
s
s
n
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
2
0
0
; б)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
c
c
c
C
0
0
2
1
(5.12)
Очевидно, что
C
E
S
−
=
(5.13)
Пусть
S
- вектор сбережений, т. е.
(
)
S
s y s y
s y
n
n
=
1 1
2
2
,
,...,
. Как легко видеть
S S Y
=
.
(5.14)

---

Page 20

20
В рассматриваемом случае национальный доход
( )
Y t +1
в период t+1 будет склады-
ваться из сбережений в период t и дохода от продажи в период t, т. е.
( )
( )
( )
Y t
S Y t
AY t
+ =
+
1
,
(5.15)
или, если подставить в (5.15) выражение для
S
из (5.13),
( )
( ) ( )
( )
Y t
AY t Y t CY t
+ =
+
−
1
.
Последнее условие может записано, как
( )
( )
( )
ΔY t
AY t CY t
+ =
−
1
,
(5.16)
где
( ) ( ) ( )
ΔY t
Y t
Y t
+ =
+ −
1
1
- прирост национального дохода. Требование
( )
ΔY t + ≥
1 0
приводит к условию
( )
( )
AY t
CY t
≥ .
(5.17)
Нетрудно, подобно тому, как это делалось выше, показать, что в (5.17) возможен лишь
знак равенства. Действительно, из (5.12б) легко получить, что
eC c
=
(5.18)
Умножим (5.17) скалярно на
(
)
e = 1 1
,...,
. Тогда, учитывая (5.4) и (5.18), мы получим,
что
c y c y
>
, что невозможно. Значит
( )
( )
AY t
CY t
=
(5.19)
А, следовательно,
( ) ( )
Y t
Y t Y
+ =
=
1
, т. е. данный вектор описывает равновесное со-
стояние системы.
Замечание 5.6. Если вектор нормы сбережений
c > 0
, то нетрудно показать, что
определение равновесного дохода, также как и в предыдущем случае, сводится к опре-
делению вектора Фробениуса некоторой неотрицательной матрицы. Действительно, ес-
ли
c > 0
, то из (5.12б) следует, что у
C
существует обратная матрица
C
c
c
c
n
−
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
1
1
2
1
0
1
0
1
,
причем
C
−
≥
1
0
; тогда, умножив (5.19) на
C
−1
, получим
CY
Y
=
,
где
( )
C C A
=
≥
−
1
0
- структурная матрица потребления, элемент
c
ij
которой показы-
вает, какую часть потребления
c
i
страна
p
j
тратит на закупку товаров у страны P
i
.
Замечание 5.7. В случае, когда
s = 0
(отсутствие сбережений) структурная мат-
рица потребления C совпадает со структурной матрицей торговли А.
Замечание 5.8. Нетрудно показать, что левым вектором Фробениуса матрицы C
является вектор нормы потребления
c
.

---

Page 21

21
§6. Продуктивность модели Леонтьева
Рассмотрим экономическую систему, состоящую n отраслей, каждая из которых
производит однородный продукт. Пусть A = (a
ij
) - матрица прямых затрат (матрица
Леонтьева), ее элементы (a
ij
) показывают, какое колличество продукции отрасли i за-
трачивается на производство единицы продукции отрасли j.
Обозначим
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
x
x
x
X
...
2
1
- вектор валового выпуска отраслей,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
y
y
y
Y
...
2
1
- вектор конечного потребления.
Уравнения межотраслевого баланса, как известно, имеют вид:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
y
x
a
x
a
x
a
x
y
x
a
x
a
x
a
x
y
x
a
x
a
x
a
x
...
.
.
.
.
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
2
1
1
2
12
1
11
1
, (6.1
или в матричной форме
X = AX + Y.
(6.2)
Заметим, что X и Y - векторы с неотрицательными компонентами. Основную задачу
межотраслевого баланса можно сформулировать следующим образом: зная матрицу
Леонтьева A и объемы конечного потребления Y, найти объемы валового выпуска X
всех oтраслей .
Определение 6.1. Неотрицательная матрица A называется продуктивной, если
для любого неотрицательного вектора Y существует неотрицательное решение X си-
стемы(6.2).
Имеет место
Теорема 6.1 Hеотрицательная матрица A продуктивна тогда и только тогда, ко-
гда ее число Фробениуса меньше единицы.
Доказательство. Пусть матрица A— продуктивна. Тогда для любого вектора
( )
0
≥
Y
существует решение
( )
0
≥
X
системы (6.2). Пусть
0
>
Y
, тогда, очевидно, X>0.
Умножим равенство (6.2) слева на левый вектор Фробениуса, имеем
(
) (
)
,X
p
Y
p
X
p
T
A
T
A
T
A
A
=
⋅
+
⋅
λ
или
(
)
( ) ( )
.
1
Y
p
X
p
T
A
T
A
A
=
−
λ
Так как
0
,0
,0
>
>
≥
X
Y
p
A
, то
(
)
0
>
⋅ X
p
T
A
и
(
)
0
>
⋅Y
p
T
A
. Поэтому из последнего равен-
ства вытекает, что
1
<
A
λ
.
Обратно, пусть A имеет число Фробениуса
λ
A
<1
. Покажем, что она продуктивна.
Зададим
( )
0
≥
Y
и покажем, что у системы (6.2) существует решение
0
≥
X
. Рассмотрим
следующую неотрицательную матрицу размера
(
) (
)
n
n
+
×
+
1
1

---

Page 22

22
,
1
0
...
0
0
...
...
...
.
......
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
nn
n
n
n
n
y
a
a
a
y
a
a
a
y
a
a
a
A
где
a
ij
— элементы матрицы A,
n
y
y ,...,
1
— координаты вектораY . В более компактной
форме матрицу
Ã
можно записать так:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
1
0
Y
A
.
Умножая эту матрицу слева на
(
)
1
+
n
-вектор
T
p , где
(
)
1;
0
;...;
0
=
T
p
легко убедиться,
что
.
T
T
p
A
p
=
. Следовательно, одно из собственных значений матрицы
A
является
1
=
λ
.
Пусть вектор
(
) (
)
1
1
1
,
,
,...,
+
+
=
=
n
n
n
x
X
x
x
x
X
является собственным вектором
матрицы
Ã
, т.е.
x
x
A
λ
=
. Это в силу определения матрицы A равносильно тому, что
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
1
1
1
0
n
n
x
Y
x
X
Y
A
λ
,
(6.3)
или
⎩
⎨
⎧
=
=
+
+
+
+
.
,
1
1
1
n
n
n
x
x
X
x
Y
AX
λ
λ
(6.4)
Если
1
≠
λ
, то из (6.4) следует, что
0
1
=
+
n
λ
, в силу чего (6.4) примет вид
x
x
A
λ
=
.
Следовательно,
λ
— собственное значение матрицы А и, по нашему предположению,
1
<
λ
. Таким образом,
1
=
A
λ
является положительным и максимальным по модулю
собственным значением, следовательно, является числом Фробениуса. По теореме
Фробениуса-Перрона у матрицы
A
существует неотрицательный собственный вектор
(
)
1
,
+
=
n
A
x
X
X
, соответствующий
1
=
A
λ
. Очевидно, что
0
1
≠
+
n
x
, так как в противном
случае из (6.4) следовало бы, что
x
x
A =
. А это противоречит тому, что число Фробе-
ниуса
1
<
A
λ
. Поэтому мы можем считать, что
1
1
=
+
n
x
(очевидно, что вектор
1
+
n
x
x
также
является вектором Фробениуса). Равенство (6.4) в силу того, что
1
1
=
+
n
x
принимает вид
X
Y
AX
=
+
.
Причем, так как,
(
)
,0
,
1
≥
=
+
n
x
X
x
, то
0
≥
X
. Следовательно, матрица А — про-
дуктивна.
Следствие 6.1. Если сумма любого столбца матрицы (любой строки) меньше
единицы, то матрица продуктивна.
Справедливость данного утверждения вытекает непосредственно из теоремы 1.2.
и теоремы 6.1.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
1
0
YA

---

Page 23

23
С экономической точки зрения сумму элементов столбца матрицы А можно
трактовать как суммарные затраты отрасли на выпуск единицы продукции. Если эти
затраты меньше единицы, то отрасль рентабельна. Таким образом, следствие 6.1.
утверждает что, если все отрасли рентабельны, то матрица А - продуктивна.
§7 Модель равновесных цен.
Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева -
так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А - матрица прямых
затрат,
х
=(х
1
, х
2
,..., х
п
) - вектор валового выпуска. Обозначим через
p
=(р
1
, р
2
,..., р
п
)
- вектор цен, i-тая координата которого равна цене единицы продукции i-той отрас-
ли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р
1
.
х
1
. Часть своего дохо-
да эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска
единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме а
11
, второй
отрасли в объеме а
21
, и т.д., n-ой отрасли в объеме а
n1
. На покупку этой продукции
ею будет затрачена сумма, равная а
11
p
1
+a
21
p
2
+...+a
n1
p
n
. Следовательно, для выпуска
продукции в объеме х
1
первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции
других отраслей сумму, равную x
1
(a
11
p
1
+a
21
p
2
+...+a
n1
p
n
). Оставшуюся часть дохода,
называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V
1
( эта часть дохода
идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).
Таким образом, имеет, следующее равенство:
x
1
p
1
=x
1
(a
11
p
1
+a
21
p
2
+...+a
n1
p
n
)+V
1
.
Разделив это равенство на х
1
, получаем
p
1
=a
11
p
1
+a
21
p
2
+...+a
n1
p
n
+v
1
,
где v
1
=V
1
/x
1
- норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на
единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных
отраслей
p
2
=a
12
p
1
+a
22
p
2
+...+a
n2
p
n
+v
2
. . . . . . . . . . . .
p
n
=a
1n
p
n
+a
2n
p
2
+...+a
nn
p
n
+v
n
.
Найденные равенства, как нетрудно видеть, могут быть записаны в матричной фор-
ме следующим образом:
p А p v
Т
=
+
,
где
v
=(v
1
, v
2
,..., v
n
) - вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, получен-
ные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей,
что
x
заменен на
p
,
y
- на
v
, А - на А
Т
.
Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стои-
мости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогно-
зировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в од-
ной из отраслей.
Пример 7.1. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отрас-
лей. Назовем их условно: топливно-энергетическая отрасль, промышленность и
сельское хозяйство. Пусть
А
T
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
01 01 02
03 02 02
02 03 02
,
,
,
,
,
,
,
,
,

---

Page 24

24
- транспонированная матрица прямых затрат,
v
=(4, 10, 4) - вектор норм добавленной
стоимости. Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, вос-
пользуемся формулой
p
= С
Т
v
,
где С
Т
=(Е-А
Т
)
-1
- транспонированная матрица полных затрат.
После необходимых вычислений имеем
С
Т
=
1
0444
,
058
014
018
028
068
024
025
029
069
,
,
,
,
,
,
,
,
,
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
.
Отсюда получаем, что
p
= С
Т
v
=
10
20
15
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
.
Допустим теперь, что в топливно-энергетической отрасли произойдет увели-
чение нормы добавленной стоимости на 1,11. Определим равновесные цены в этом
случае. Принимая во внимание, что
v
=(5,11, 10, 4), находим, что
p
= С
Т
v
=
1145
20 7
15625
,
,
,
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
.
Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5%, второй - на 3,5%,
третьей - на 4,17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска, подсчитать вызванную
этим повышением инфляцию.

---

Page 25

25
ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МИКРОЭКОНОМИКИ
§8 Теория производства.
1.Пусть
(
)
n
x
x
Q ,...,
1
- производственная функция, моделирующая зависимость
величины выпуска годовой продукции от величины выпуска годовой продукции от ве-
личины затраченных факторов (ресурсов) производства
n
x
x ,...,
1
. Оптимальным пла-
ном производства
(
)
*
*,...,
1
n
x
x
называется точка максимума функции прибыли
(
)
(
)
П x
x
pQ x
x
p x
p x
n
n
n n
1
1
1 1
,...,
,...,
...
=
−
− −
, (8.1)
где р - цена единицы выпускаемой продукции (pQ - функция дохода),
n
p
p ,...,
1
- фак-
торные цены.
Множество уровня производственной функции называется изоквантой, а мно-
жество уровня функции затрат (издержек)
(
)
n
n
n
x
p
x
p
x
x
C
+
+
=
...
,...,
1
1
1
называется изокостой.
Неоклассическая производственная функция
(
)
Q x
x
n
1
,...,
- это функция, имею-
щая непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяющая следую-
щим аксиомам.
1. Аксиома о неотрицательности выпуска
(
)
Q x
x
n
1
0
,...,
≥
(8.2)
при любых неотрицательных значениях факторов.
2. Аксиома об увеличении выпуска при увеличении любого из факторов, т. e.
0
,...,
0
1
>
>
n
x
x
x
Q
∂
∂
∂
∂
. (8.3)
3. Аксиома убывающей эффективности факторов (убывающей предельной про-
изводительности любого фактора)
∂
∂
∂
∂
2
1
2
2
2
0
0
Q
x
Q
x
n
<
<
,...,
(8.4)
при
lim
,..., lim
x
x
n
Q
x
Q
x
n
1
0
1
0
→
→
= +∞
= +∞
∂
∂
∂
∂
(8.5)
lim
,..., lim
x
x
n
Q
x
Q
x
n
1
1
0
0
→+∞
→∞
=
=
∂
∂
∂
∂
. (8.6)
4. Аксиома о невозрастающей отдаче на единицу расширения масштаба произ-
водства
(
)
(
)
Q tx
tx
t Q x
x
n
n
1
1
,...,
,...,
=
μ
(8.7)
для любого
t ≥ 0
, где
]
(
μ
∈ 0 1;
. Величина
μ
характеризует эффект от расширения
масштаба производства. При
μ
<1
говорят об убывающей отдаче на единицу масшта-
ба, а при
μ
=1
- о постоянной отдаче на единицу масштаба.

---

Page 26

26
Замечание 8.1. Функции, удовлетворяющие условию (8.7), называются одно-
родными, при этом
μ
называется степенью однородности. При
μ
=1
функцию назы-
ваю линейно-однородной.
Любая однородная функция удовлетворяет условию
∂
∂
∂
∂
μ
Q
x
x
Q
x
x
Q
n
n
1
1
+ +
=
...
∂
∂
∂
∂
μ
Q
x
x
Q
x
x
Q
n
n
1
1
+ +
=
...
∂
∂
∂
∂
μ
Q
x
x
Q
x
Q
n
n
1
+ +
=
...
, (8.8)
называемому формулой Эйлера.
Основные экономико-математические характеристики производственной функ-
ции:
1. Средняя производительность i-го фактора
q
Q
x
i
n
i
i
=
=
;
, ,...,
12
. (8.9)
2. Предельная производительность i-го фактора
m
Q
x
i
i
=
∂
∂
. (8.10)
3. Коэффициент эластичности по i-му фактору
Q
x
x
Q
e
i
i
i
⋅
=
∂
∂
. (8.11)
Наибольшее распространение имеют двухфакторные производственные функ-
ции
( )
Q K L,
, где К - величина затраченного капитала (основных фондов), а L - вели-
чина затраченного труда. Для двухфакторных моделей дополнительно выделяются сле-
дующие характеристики:
4. Фондовооруженность
k
K
L
=
. (8.12)
5. Предельная норма замещения труда капиталом
S
Q
L
Q
K
k
=
∂
∂
∂
∂
/
. (8.13)
6. (Предельная) эластичность замещения труда капиталом
σ
∂
∂
k
k
k
S
k
k
S
=
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
, (8.14)
и капитала трудом
( )
σ
∂
∂
l
L
L
S
k
k
S
=
⋅
−
−
1
1
. (8.15)
2.Утверждение
8.1.
Пусть
(
)
pQ K L,
-
функция
доходов,
а
(
)
C K L
WL RK
,
=
+
- функция затрат. Тогда для оптимального плана производства
(
)
K L
*, *
:
а) предельная производительность труда равна реальной заработной плате
W
p
;

---

Page 27

27
б) предельная фондоотдача равна реальной рентной плате
R
p
;
в) предельная норма замены труда капиталом равна отношению факторных
цен.
Доказательство. Вычислив частные производные функции прибыли П(K, L)в
точке (K*, L*)имеем:
∂
∂
∂
∂
П
K
p
Q
K
R
=
− = 0;
(8.16)
∂
∂
∂
∂
П
L
p
Q
L
W
=
−
= 0
. (8.17)
Отсюда находим:
а)
∂
∂
Q
L
W
p
=
; б)
∂
∂
Q
K
R
p
=
; в)
S
W
R
k
=
. (8.18)
3. Утверждение 8.2. Пусть Q(K, L) - неоклассическая производственная функ-
ция степени однородности
μ
, тогда
a)
μ
=
+
e
e
k
L
, (8.19)
б)
μ
есть норма издержек.
Доказательство. а) Рассмотрим формулу Эйлера для функции Q(K, L)
∂
∂
∂
∂
μ
Q
K
K
Q
L
L
Q
⋅ +
⋅ =
. (8.20)
Разделив обе части формулы(8.20) на Q, находим
∂
∂
∂
∂
μ
Q
K
K
Q
Q
L
L
Q
⋅ +
⋅ =
.
Отсюда, на основании определения коэффициентов эластичности по труду и капиталу,
получаем (8.19). Из (8.19), в частности вытекает, что неоклассическая производствен-
ная функция неэластична ни по труду, ни по капиталу, т. е.
a)
e
k
<1
; б)
e
L
<1
(8.21)
Действительно, т. к.
e
k
> 0
и
e
L
> 0
(на основании аксиом 1 и 2) и
μ
≤1
, то
e
L
< ≤
μ
1
и
e
k
< ≤
μ
1
.
б) Подставляя в (8.20) выражения
∂
∂
Q
L
и
∂
∂
Q
K
из (8.18а) и (8.18б) соответственно,
находим
W
p
L
R
p
K
Q
+
=
μ
,
т. е.
μ
=
+
WL RK
pQ
- норма издержек. Здесь
WL RK
+
- величина издержек, а pQ -
величина дохода. В частности ,
1−
μ
есть норма прибыли.
4. Утверждение 8.3. В неоклассической модели уровень занятости L* есть
убывающая функция от реальной заработной платы.
Доказательство. Пусть
w
W
p
=
. Тогда из (9.18а) получаем.

---

Page 28

28
w
L
Q
=
∂
∂
.
Дифференцируя последние соотношения по L, находим
∂
∂
∂
∂
2
2
Q
L
w
L
=
.
Так как
∂
∂
2
2
0
Q
L
<
(см. аксиому 3), то
∂
∂
w
L
< 0
. А, следовательно, на основании теоремы
о производной обратной функции
∂
∂
L
w
< 0
.
5. Утверждение 8.4 . Средняя производительность любого фактора неоклас-
сической производственной функции есть убывающая функция от этого фактора.
Доказательство. Дифференцируя (9.9) по х
i,
имеем
( )
( )
(
)
1
1
2
2
2
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
=
−
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
е
x
Q
Q
x
x
Q
x
Q
x
Q
x
x
Q
x
Q
x
x
q
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Т. к.
( )
Q
x
l
i
i
>
>
<
0
0
1
2
,
,
(неоклассическая производственная функция неэластична по
любому фактору, см. (8.21)), то
∂
∂
q
x
i
i
< 0
.
6. Утверждение 8.5. В точке максимума прибыли норма прибыли имеют
нейтральную эластичность.
Доказательство. Пусть q - количество выпускаемой продукции, П(q) - величина
прибыли,
( )
π
q
П
q
=
- норма прибыли, т. е
( ) ( )
П q
q q
=
⋅
π
. В точке максимума прибыли
имеем
′ = ′⋅ + =
П
q
π
π
0
.
Отсюда получаем, что
( )
e q
q
π
π
π
= ′⋅ = −1
, т. е.
e
π
=1
. Это говорит о нейтральной
эластичности нормы прибыли.
Пример 8.1. Пусть
p
q
= −
8
- зависимость между ценой и количеством выпус-
каемой продукции, с=2 и с
0
=5 - соответственно норма переменных издержек и посто-
янные издержки. Найти оптимальный план выпуска продукции в предположении, что
производитель стремится максимизировать прибыль.
Доказательство. Из условия задачи следует, что величина дохода производите-
ля равна
( )
8− q q
, а издержек -
(
)
2
5
q+
. Таким образом, прибыль
( )
П q
в нашем случае
равна
( ) (
)
8
2
5
−
−
+
q q
q
т. е.
( )
5
6
2
−
−
=
q
q
q
П
Вычислив производную от
( )
П q
, имеем в точке экстремума
( )
′
= −
=
П q
q
6 2
0
.
Следовательно,
q* = 3
. Причем, т. к.
′′ = − <
П
2 0
, то
q* = 3
- точка максимума.
Пример 8.2. Пусть единица продукции предприятия, рассмотренного в преды-
дущем примере, облагается акцизным сбором в размере t. Найти, при какой величине t
суммарный сбор T будет максимален.

---

Page 29

29
Решение. Необходимо найти максимум функции T=tq при условии,
что предприятие тоже будет стремиться максимизировать свою прибыль. В отличие от
предыдущего примера прибыль предприятия уменьшается на величину tq, т. е.
П
q q
tq
=
− − −
6
5
2
. Вычислив производную и приравняв ее к нулю, получим в точке
максимума
′ = − − =
П
q t
6 2
0
, т. e.
q
t
= −
3
2
.
Поэтому,
T tq
t
t
t
t
= =
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= −
3
2
3
2
2
.
Следовательно,
′ = −
T
t
3
. Так как в точке максимума
′ =
T
0
, то
t* = 3
. При этом
q
t
= − =
3
2
15,
, т. е. в два раза меньше, чем в предыдущей задаче.
Упражнения.
1. Доказать формулу Эйлера (см. (8.8)).
2. Доказать, что линейно-однородная функция неограниченна.
3. Доказать, что частная производная однородной функции степени
μ
есть од-
нородная функция степени
μ
−1
.
4. При каких условиях произведения производственных функций неоклассиче-
ского типа есть неоклассическая производственная функция.
5. При каком условии линейная комбинация неоклассических производственных
функций есть неоклассическая производственная функция?
6. Доказать, что для линейно-однородной производственной функции
( )
Q K L,
а) не существует оптимального плана производства;
б)
∂
∂ ∂
2
0
Q
K L
>
7. Пусть
(
)
L
K
Q ,
- неоклассическая производственная функция, доказать, что
( )
Q 0 0 0
; =
.
8. Пусть
(
)
L
K
Q ,
- неоклассическая производственная функция степени одно-
родности
μ
,
( )
q k
Q
K
L
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
;1
, доказать, что
а)
Q L q
=
μ
; г)
( )
( )
(
)
k
q
k
k
q
L
L
Q
′
⋅
−
⋅
=
−
μ
∂
∂
μ
1
;
б)
( )
( )
l
k
q k
q k
k
= ⋅
′
; д)
( )
∂
∂
μ
Q
K
L q k
=
′
−1
;
в)
( )
( )
l
k
q k
q k
L
= − ⋅
′
μ
; е)
( )
( )
k
k
q
k
q
S
k
−
′
=
μ
.
9. Пусть
(
)
L
K
Q ,
- неоклассическая линейно-однородная функция. Доказать, что

---

Page 30

30
( )
( )
k
q
L
K
Q
L
L
K
Q
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1;
,
.
10. Пусть
*
Q
- величина выпуска, соответствующего оптимальному плану
(
)
*
*,L
K
в неоклассической модели. Найти величину прибыли
*
п
.
11. Построить изокванты основных двухфакторных производственных функций:
(
)
(
)
1
0
;1
;0
;
≤
<
+
=
≤
+
≥
=
μ
β
α
β
α
μ
μ
β
α
bL
aK
Q
L
AK
Q
12. Пусть
( )
β
α
L
AK
L
K
Q
=
;
- функция Кобба-Дугласа.
Доказать, что
а) она является неоклассической;
б) вогнута, при
α β
+ <1
;
в)
β
α
=
=
L
k
e
e
,
;
г)
k
S
K
β
α
=
;
д)
σ
k
=1
.
13. Доказать, что если производственная функция
Q K L
( , )
удовлетворяет усло-
виям
(
)
(
)
( )
L
K
Q
t
tL
K
Q
t
L
tK
Q
,
,
;
β
α
=
=
, то она есть функция Кобба-Дугласа.
14. Доказать, что величина капиталовложений
K *
в неоклассической модели
производства есть убывающая функция от реальной рентной платы.
15. Доказать, что в точке оптимального плана
(
)
K L
*, *
касательная к изокванте
параллельна изокосте.
16. Доказать, что функция CES , определяемая формулой
( )
( )
[
]
(
)
Q K L
A K
L
,
,
=
+ −
< ≤
> −
−
−
δ
δ
μ
ρ
ρ
ρ
μ
ρ
1
0
1
1
является неоклассической, а при
μ
<1
- вогнутой. Найти: а)
e
k
и
L
e
; б)
S
k
; в)
σ
k
.
17. Доказать, что функция с полным взаимозамещением ресурсов
( )
Q K L
aK
bL
,
=
+
μ
μ
является вогнутой неоклассической производственной функцией при
μ
<1
. Найти:
а) оптимальный план производства; б)
e
k
и
e
h
; в)
S
k
; г)
σ
k
;
18. Доказать, что для неоклассической производственной функции эластичность
замещения труда капиталом равна эластичности замещения капитала трудом.
§ 9. Математические основы теории потребления.
1. Набор товаров
(
)
*
*,...,
*
1
n
x
x
x =
называется оптимальным планом потребле-
ния, если он является точкой максимума функции полезности
(
)
n
x
x
U ,...,
1
при условии,
что переменные
n
x
x ,...,
1
удовлетворяют бюджетному ограничению:
K
p
x
p
x
p
x
n
n
=
+
+
+
...
2
2
1
1
(9.1.)
где
p
i
- цена единицы
i
-го товара,
K
- величина бюджета (капитала) потребителя.
Отыскание оптимального плана сводится к нахождению точки максимума функции
Лагранжа
( ) ( )
(
)
K
p
x
p
x
x
U
x
F
n
n
−
+
+
−
=
...
,
1
1
λ
λ
. (9.2)

---

Page 31

31
Из необходимого условия экстремума для функции Лагранжа следует, что
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
=
=
−
=
0
0
1
1
1
n
n
n
p
x
U
x
F
p
x
U
x
F
λ
∂
∂
∂
∂
λ
∂
∂
∂
∂
(9.3)
Оптимальный план зависит от изменения цены на товары и бюджета, т .е.
(
)
K
p
p
d
x
n
i
i
,
,...,
*
1
=
. (9.4)
Функции
( )
K
p
d
i
,
называются функциями спроса на
i
-ый товар.
Множество уровня функции полезности называется поверхностью безразличия.
Товар называется ценным, если при увеличении бюджета спрос на него увеличи-
вается, т. е.
0
*
>
k
x
i
∂
∂
.
Рост цены на товар, при котором величина функции полезности остается неиз-
менной за счет соответствующего увеличения бюджета, называется компенсационным.
Если при компенсационном росте цены на
i
-ый товар спрос на
j
-ый товар увеличива-
ется
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
0
.
*
comp
p
x
i
j
∂
∂
, то товары называются взаимозаменяемыми; если же
0
.
*
<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
comp
p
x
i
j
∂
∂
, то товары называются взаимодополнительными. Товар
j
A
называ-
ется валовым заменителем продукта
i
A
, если
0
*
>
i
j
p
x
∂
∂
. Говорят, что функция спроса
( )
k
p
x
,
*
обладает свойством валовой заменимости, если с увеличением цены на любой
товар спрос на все остальные товары не убывает, т. е., если
i
j
p
x
i
j
≠
≥ ,0
*
∂
∂
. В том
случае, когда
0
*
>
i
j
p
x
∂
∂
при
i
j ≠
, говорят о сильной валовой заменимости.
Основные классы функций полезности, используемые в теории потребления
,совпадают по своему виду с основными классами производственных функций (см. (2) -
(5) § 8). Аналогично определяется и неоклассическая функция полезности.
2.Утверждение 9.1. Существует хотя бы один ценный товар.
Доказательство. Дифференцируя соотношение (9.1) по
K
, находим
1
...
*
*
2
2
1
1
=
+
+
+
n
k
n
p
k
x
p
k
x
p
k
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
. (9.4)
Из (9.4), в силу того, что все цены положительны, вытекает существование то-
вара
A
l
, для которого
0
*
>
k
x
l
∂
∂
. В противном случае, левая часть соотношения (9.4)
была бы неположительной, а правая - положительной.
Утверждение 9.2. При компенсационном росте цены на
i
-тый товар в неоклас-
сической модели предельный прирост капитала равен спросу на этот товар, т.е.

---

Page 32

32
*
i
i
x
p
k
=
∂
∂
. (9.5)
Доказательство. При компенсационном росте цены функция полезности посто-
янна. Поэтому, принимая во внимание ,правило дифференцирования сложной функции,
мы получаем
0
...
.
.
1
1
.
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
comp
i
n
n
comp
i
comp
i
p
x
x
U
p
x
x
U
p
U
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
. (9.6)
Из соотношений (9.3) вытекает, что
n
n
p
x
U
p
x
U
λ
∂
∂
λ
∂
∂
=
=
,...,
1
1
. (9.7)
В силу последних соотношений уравнение (9.6) принимает вид:
0
*
...
*
.
.
1
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
comp
i
n
n
comp
i
p
x
p
p
x
p
∂
∂
∂
∂
λ
.
Так как
0
1
>
x
U
∂
∂
(аксиома 2) и
0
1
>
p
, то из (9.7) вытекает, что
0
>
λ
. (9.8)
Следовательно,
0
*
...
*
.
.
1
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
comp
i
n
n
comp
i
p
x
p
p
x
p
∂
∂
∂
∂
. (9.9)
Далее, продифференцировав соотношение (9.1) по p
i
, получаем
i
i
n
comp
i
n
comp
i
p
k
x
p
p
x
p
p
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
*
*
...
*
.
1
.
1
(9.10)
Из (9.10) с учетом (9.9) вытекает (9/5).
3.Утверждение 9.3. Если функция полезности
(
)
n
x
x
U ,...,
1
вогнута, то аксиома
об убывающей полезности товара выполнена, т. е.
0
2
2
<
i
x
U
∂
∂
.
Доказательство. Если функция
U
вогнута, то
x
G
x
T
, где
G
- матрица Гессе:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
n
n
n
x
x
U
x
x
U
x
x
U
x
x
U
G
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
1
1
2
1
1
2
,...,
,...,
Пусть
(
)
0
,...,
0,
1
=
X
, тогда
0
2
2
2
<
=
x
U
X
G
X
T
∂
∂
. Подобным образом, полагая
(
)
0
,...,
0,
1,
0
=
X
и т. д.
(
)
1,
0
...,
,0
=
X
получаем
.0
...,
,0
2
2
2
2
2
<
<
n
x
U
x
U
∂
∂
∂
∂

---

Page 33

33
4. Утверждение 9.4 Если функция полезности вогнута, то функция спроса
( )
p
X *
является убывающей функцией от цены.
Доказательство. Для удобства будем считать, что осуществляется компенсаци-
онный рост на первый товар. Продифференцируем соотношения (9.7) по
1
p
, и, учиты-
вая правило дифференцирования сложной функции, найдем
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⋅
=
⋅
+
+
⋅
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
.
...
...
...
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
p
p
p
x
x
x
U
p
x
x
x
U
p
p
p
x
x
x
U
p
x
x
x
U
p
p
x
p
x
x
x
U
p
x
x
U
∂
∂λ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂λ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
λ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(9.11)
Уравнение (9.11) можно записать в более удобном векторном виде, как
G
x
p
p
p
e
⋅
=
⋅ +
∂
∂
∂λ
∂
λ
*
1
1
1
. (9.12)
где
G
- матрица Гессе,
(
)
p
p
p
n
=
1
,...,
- вектор цен,
(
)
e
1
10
0
= , ,...,
. Умножим (9.12) сле-
ва скалярно на вектор
∂
∂
x
p
T
*
1
, имеем:
1
1
1
1
1
1
*
*
*
p
x
p
x
p
p
p
x
G
p
x
T
∂
∂
λ
∂
∂
∂
∂λ
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=
. (9.13)
Уравнения (9.9) эквивалентны тому, что
p
x
p
⋅
=
∂
∂
*
1
0
.
Поэтому уравнения (9.13) принимает вид:
∂
∂
∂
∂
λ
∂
∂
x
p
G
x
p
x
p
T
i
*
*
*
1
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
.
Отсюда, учитывая, что
λ
> 0
и
0
1
1
<
⋅
p
x
G
p
x
T
∂
∂
∂
∂
(матрица Гессе отрицательно опреде-
лена - см. аксиому 3а) получаем
∂
∂
x
p
1
1
0
*
<
. (9.15)
5. Утверждение 9.5 В неоклассической модели потребления для любого товара
существует хотя бы один взаимозаменительный товар.
Решение. Докажем это утверждение для определенности для первого вида това-
ра. В этом случае уравнение (9.9) имеет вид:
p
x
p
p
x
p
comp
n
n
comp
1
1
1
1
0
∂
∂
∂
∂
*
...
*
.
.
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
. (9.16)

---

Page 34

34
Отсюда, с учетом (9.15) получаем, что существует товар, такой , что
0
.
<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
comp
i
i
p
x
∂
∂
(т.
к. в противном случае в левой части этого уравнения было бы положительное число).
6. Утверждение 9.6. Имеет место уравнение Слуцкого
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
p
x
p
x
k
x
i
i
i
i
comp
i
i
*
*
*
*
.
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⋅
Доказательство. При компенсационном росте цены
i
p
бюджет есть функция
от этой цены, т. е.
( )
K K p
i
=
. Следовательно,
)
(
i
x ∗
сomp
=
i
x ∗
(p
1
,…,p
n
,K(p
i
)) .
Дифференцируя эти соотношения по
p
i
, находим:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
p
x
p
p
p
x
k
k
p
i
i
comp
i
i
i
i
i
i
*
*
*
.
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
⋅
+
⋅
.
Отсюда, принимая во внимание (9.5), получаем (9.16).
7. Утверждение 9.7. При повышении цены
p
i
в неоклассической модели с во-
гнутой функцией полезности спрос
( )
x
p
*
на ценный товар уменьшается.
Доказательство. Это вытекает из уравнения Слуцкого, т. к. для ценного товара
∂
∂
x
k
i
*
> 0
и
∂
∂
x
p
i
comp
*
.
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
< 0
(см. (9.15.).
Утверждение 9.8. Пусть
Q x y
( , )
- неоклассическая функция полезности. До-
кажем, что в точке
(
)
x y
*, *
касательная к линии безразличия совпадает с бюджет-
ной линией.
Доказательство. Так как касательная к линии безразличия и бюджетная линия
проходят через одну точку
(
)
x y
*, *
, то достаточно доказать, что в данной точке совпа-
дают их угловые коэффициенты. Для бюджетной линии
ax by k
+
=
угловой коэффи-
циент равен:
k
a
b
1
= −
(т. к.
y
a
b
k
b
= − +
).
С другой стороны, угловой коэффициент к линии безразличия
( )
Q x y
C
, =
есть
′ = −
y
Q x
Q y
∂
∂
∂
∂
/
/
.
На основании (9.7) получаем.
′ = −
= −
= −
y
Q x
Q y
a
b
a
b
x
∂
∂
∂
∂
λ
λ
/
/
.
Таким образом, задача о нахождении оптимального плана потребления
(
)
x y
*, *
с гео-
метрической точки зрения равносильна нахождению точки касания кривой безразли-
чия и бюджетной линии.

---

Page 35

35
Упражнения.
1.Доказать, что если коэффициент эластичности по
i
-тому товару постоянен
( )
e x
const
i
= =
α
, то спрос на
i
-тый товар обратно пропорционален относительной
цене
p
k
i
т. е.
x
C
k
p
i
i
*
.
=
Доказать, что
C =
α
μ
, где
μ
- степень однородности функции полезности.
2. Доказать, что задача о нахождении минимума функции расходов
( )
C x y
ax by
, =
+
при фиксированном уровне функции полезности
( )
Q x y,
эквива-
лентна нахождению точки касания линии безразличия
( )
Q x y
Q
, =
0
с одной из бюд-
жетных линий
ax by k
+
=
.
3. Доказать, что спрос
x
1
*
нейтрален относительно
p
1
(т. е. абсолютная вели-
чина эластичности спроса равна единице) тогда и только тогда, когда функция спроса
x
x
2
4
*,...,
*
не зависит от
p
1
.
4. Найти минимальный уровень расходов потребителя при ценах
150
,
50
=
=
y
x
p
p
на товары
x
и
y
соответственно при условии, что функция полезно-
сти
Q
x y
=
=
100
100
1
4
3
4
.
5. Найти функции спроса
(
)
x y
*, *
в неоклассической модели с функцией полез-
ности
( )
α
α
by
Ax
y
x
U
+
=
,
бюджетом
K
и ценами соответственно
a
и
b
. Доказать, что
эти функции обладают свойством сильной валовой заменимости.
6. Доказать, что функции спроса в неоклассической модели есть однородные
функции нулевой степени однородности, т. e.
(
)
(
)
x
tp
tp tk
x p
p k
i
i
n
i
n
*
,..., ,
,..., ,
=
1
.
7.
Доказать,
что
косвенная
функция
полезности
( )
( )
(
)
U k p U x k p
* ,
* ,
=
неоклассического типа есть возрастающая функция от
K
и
убывающая от
p
p
n
1
,..., .
8. Доказать, что величина
*
λ
μ
есть цена единицы полезности, т. е.
( )
*
*
x
U
K
=
λ
μ
,
где
(
)
x*, *
λ
- точка максимума функции Лагранжа (см. (9.2)), соответствующей
неоклассической функции полезности
( )
U x
cтепени однородности
μ
.

---

Page 36

36
9. Пусть
( )
e x
i
*
μ
( )
e x
i
- коэффициент эластичности по
i
-ому товару неокласси-
ческой функции полезности. Доказать, что часть бюджета, которую потребитель тратит
на покупку
i
-ого товара, равна
( )
e x
i
*
μ
, где
μ
- степень однородности, т. e.
p x
e k
i
i
i
* =
μ
.
§10. Некоторые вопросы экономической динамики.
В данном параграфе будут рассмотрены примеры применения теории диффе-
ренциальных уравнений в непрерывных моделях экономического роста. Эти модели, в
отличие от дискретных моделей, базирующихся на теории разностных уравнений,
наиболее эффективны при изучении экономических систем на протяжении длительного
промежутка времен
1. Модель естественного роста (рост при постоянном темпе прироста).
Пусть
( )
Y t
- количество продукции некоторой отрасли, проданной к моменту
времени
t
по фиксированной цене
p
, т. e. отрасль к моменту
t
получила доход
( )
pY t
.
Пусть
( )
I t
- величина инвестиций, направляемых на расширение производства,
m
-
норма инвестиций
[ ]
(
)
m const m
=
∈
,
;01
, тогда
( )
( )
I t
mpY t
=
. (10.1)
Мы будем предполагать, что выполнена аксиома о ненасыщаемости потребите-
ля, т. е., что весь произведенный отраслью товар будет распродан. В результате расши-
рения производства отрасль получит дополнительный доход, часть которого будет ис-
пользована для дальнейшего расширения производства. Этот процесс приведет к уве-
личения инвестиций, т. e.
lI
Y =′
,
( 10.2)
где
l
1
- норма акселерации. Подставляя в (10.1) значение I из (10.2), получаем
′ =
Y
kY
, (10.3)
где k lmp
=
. Из (10.3) вытекает, что
dy
y
kdt
=
,
т. е.
dy
y
kdt
∫
∫
=
или
ln
ln
Y
kt
c
y ce
kt
=
+
⇒ =
. (10.4)
Если
( )
Y t
Y
0
0
=
, то из (10.4) имеем, что
Y
Ce
o
kt
=
0
,т. e.
C Y e
o
kt
=
−
0
, следовательно,
( )
(
)
Y t Y e
k t t
=
−
0
0
. (10.5)
Интегральная кривая уравнения (10.5) имеет вид:

---

Page 37

37
Рис.8
Замечание10.1. Дифференциальным уравнением (10.4) описываются также ди-
намика роста цен при постоянном темпе инфляции, процесса радиоактивного распада и
процесса размножения бактерий.
2. Рост в условиях конкуренции.
Рассмотрим более общий случай по сравнению с пунктом 1. Пусть
( )
P pY
=
-
убывающая функция
∂
∂
p
y
<
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟0
,т.е. с увеличением выпуска будет происходить насы-
щение рынка, и цена будет падать. Проведя аналогичные рассуждения (см. пример 1),
мы получим уравнение:
( )
y
y
kp
y =′
, (10.6)
здесь
k lm
=
. Уравнение (10.6) представляет собой дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными. Так как
k
p
y
>
>
>
0
0
0
,
,
, то из (10.6) следует, что
( )
Y t
есть возрастающая функция. Исследуем
( )
Y t
на выпуклость. Дифференцируя
уравнение (10.6) по
t
, получаем
′′ = ′
⋅ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Y
Y
p
dy
y p
∂
,
или
′′ =
′
⋅ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Y
kY p
p
dy
y
p
∂
1
,
т. е. ′′ =
′
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Y
kY p
e
y
1
1
(10.7)
где
( )
Y
p
p
Y
p
е
y
⋅
=
∂
- эластичность спроса. Из (10.7) вытекает, что если спрос эластичен
(т. е.
1
>
y
e
), то
′′ >
Y
0
имеет направление выпуклости вниз, а, если спрос неэласти-
чен
1
<
y
e
, то
′′ <
Y
0
имеет направление выпуклости вверх.
Пусть, например,
( )
pY
b aY
a
= −
>
(
)0
тогда, уравнение (10.6) принимает вид:

---

Page 38

38
(
)
′ =
−
Y
k b aY Y
. (10.8)
Из (10.8) легко получить, что
′ =
Y
0
при
Y = 0
и
Y
b
a
=
. А также, что
′′ <
Y
0
при
Y
b
a
<
2
, и
′′ >
Y
0
при
Y
b
a
>
. Схематично график имеет вид:
Рис.9
Данная кривая называется логистической кривой. Она также описывает процесс
распространения информации (рекламы), динамику эпидемий, процессы размножения
бактерий в ограниченной среде обитания и др.
3. Неоклассическая модель роста.
Пусть
( )
Y F K L
=
,
- национальный доход, где
K
- объем капиталовложений
(фондов),
L
- величина затрат труда,
( )
F K L,
- линейно-однородная производственная
функция
(
)
(
)
(
)
F tK tL
tF K L
,
,
=
. Пусть
( )
f k
- производительность труда:
( )
( )
( )
f k
F K L
L
F
K
L
F k
=
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
,
,
,
1
1 ,
где
k
K
L
=
- фондовооруженность.
Мы будем предполагать, что:
1) Происходит естественный прирост трудовых ресурсов, т.e.
(
)
′ =
=
L
L
const
α
α
2) Инвестиции направлены как на увеличение производственных фондов, так и
на амортизацию, т. e.
t
O
b/a
y

---

Page 39

39
I K
K
= ′ +
β
(10.9)
(
β
- норма амортизации).
Пусть
l
- норма инвестиций (т. e.
lY
I =
), тогда
lY K
K
K
lY
K
= ′ +
⇒
′ =
−
β
β
(10.10)
Из определения фондовооруженности вытекает,
L
K
k
ln
ln
ln
−
=
Дифференцируя эти соотношения по
t
, получим
′
=
′
−
′
k
k
K
K
L
L
.
Подставляя сюда значения для
′L
и
′
K
из(10.9)и(10.10),
находим
α
β
−
−
=
′
K
K
lY
k
k
,
т. e.
(
)
(
)
k
L
K
K
lY
k
K
lYk
k
α
β
α
β
+
−
−
=
+
−
=′
.
Учитывая, что
f
Y
L
=
, получаем
( ) (
)
′ =
−
+
k
lf k
k
α β
. (10.11)
Уравнение (10.11) называется уравнением неоклассического роста и представляет со-
бой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Заметим, что если
k *
есть корень уравнения
( ) (
)
lf k
k
−
+
=
α β
0
, то решением
уравнения при начальном условии
( )
k t
k
0
= *
является кривая
( )
k t
k
= *
, которая
называется стационарной кривой
.
Интегральная кривая уравнения (10.11) очень напо-
минает логистическую кривую
Рис.9
4. Пусть
k *
- величина фондовооруженности, при которой достигается
пол-
ная занятость. Найдем норму инвестиций, при которой будет сохраняться полная заня-
тость.
Решение. Из условия задачи следует, что
( )
k t
k
= *
, т. е.
′ =
k
0.
Тогда из (10.11)
получаем, что
( ) (
)
lf k
k
*
*
−
+
=
β α
0
, т. е.
t
k
k
*

---

Page 40

40
(
)
( )
l
k
f k
=
+
β α
*
*
.
Упражнения.
1. Для производственной функции
F
KL
=
найти:
а) интегральные кривые
( )
k t
уравнения (10.12);
б) стационарную кривую;
в)
( )
lim
t
k t
→∞
;
2. Пусть F aK bL
=
+
- линейная производственная функция. Найти:
а) интегральные кривые уравнения (10.12);
б) стационарную кривую и условия ее существования;
в)
(
)
lim
t
k t
→∞
;
3. Найти интегральные кривые
( )
Y t
уравнения (10.7) (логистические кривые).
Выделить среди них стационарные и найти
( )
lim
t
Y t
→∞
.
4. Пусть
( )
G t
e
t
t
=
2
sin
- государственные расходы,
( )
C t
Y
= +
2
5
- потребление,
m =1
- норма акселерации. Найти величину государственного дохода
( )
Y t
, если из-
вестно, что
Y
0
11
=
.
5. Найти и построить интегральные кривые уравнения (10.6) в случае, когда цена
на продукцию обратно пропорциональна количеству выпущенной продукции.
6. Найти кривые, имеющие постоянную эластичность, равную
α
.
7. Найти интегральные кривые и построить их схематический график для урав-
нения Самуэльсона
( )
( ) ( )
(
)
(
)
′ =
−
=
>
p t
k d t
s t
k const 0
в случае, когда спрос и предложение - линейные функции от цены, т. е.
( )
( )
(
)
0
,0
,
,,
,
,
,
>
<
=
+
=
+
=
m
a
const
b
a
n
m
n
mp
t
S
b
ap
t
d
.
Литература.
1. Макаров В. Л., Рубинов А. М., Математическая теория экономической дина-
мики и равновесия - М., Наука, 1973.
2. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984.
3. Аллен Р. Математическая экономия. - М.: Изд. ин. Лит.,1963.
4. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. - М.: Изд. ин. Лит.,1963.
5. Иванилов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. - М.:
Наука, 1979.
5. Ланкастер К. Математическая экономика. - М.: Сов. радио, 1972.