Контрольная работа по "Финансовой математике"

1. Наращение простых процентов.

     Для записи формулы наращения  простых процентов введем обозначения:

     I – проценты за весь срок ссуды;

     P – первоначальная сумма долга;

     S – наращенная сумма, т.е. сумма в конце срока;

     i – ставка наращения процентов (десятичная дробь);

     n – срок ссуды;

     P_k – наращенная сумма к концу k-го промежутка.

наращивании простых процентов 

Р_n = Р(1 + n ∙ i) = S,

где (1 + n ∙ i) – это множитель наращения.

2. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд.

     При расчете процентов применяют  две временные базы: k = 360 (12 месяцев по 30 дней) или k = 365, 366 дней. Если k = 360, то получают обыкновенные или коммерческие проценты, а при использовании k = 365, 366 рассчитывают точные проценты.

     Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета простых процентов:

     1.Точные проценты с точным  числом дней ссуды. Этот вариант  дает самые точные результаты  и применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками (Англия, США). В коммерческих документах он обозначается 365/365 или АСТ/АСТ.

     2. Обыкновенные проценты с точным  числом дней ссуды. Этот метод  называемый банковским распространен  в межстрановых ссудных операциях  коммерческих банков, во внутристрановых  – во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обозначается как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. При числе дней больших, чем 360 данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если t = 364, то n = 364/360 = 1,0(1).

Множитель наращения за год, при условии, что  i = 20% или 0,2 будет равен:

(1 + 1,0(1) ∙ 0,2) = 1,20(2) ≈ 1,20222.

     3. Обыкновенные проценты с приближенным  числом дней ссуды. Метод применяется, когда не требуется большой точности, например, при промежуточных процентах. Он принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Метод условно обозначается 360/360.3. 3. 3)Переменные ставки.

     В кредитных соглашениях иногда предусматриваются, изменяющиеся во времени процентные ставки.

Если  это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется по формуле:

.

    

4. Начисление % при  изменении сумм  депозита во времени.

     (Депозит – вклад в банк с целью получения %-в).

В этом случае принципиально ничего не меняется:

,                       (1)

где R_j – остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств; n_j – срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете. Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо (2) имеем:

§ 5. Реинвестирование по простым ставкам. 

S = p(1 + ni)^m,

где m – количество повторений реинвестирования. 

§6. Погашение задолженности частями.

1) Контур Финансовой  операции.

     Необходимое условие финансовой  операции – это сбалансированность  вложений и отдачи. Рассмотрим  понятие сбалансированности на графике. Пусть выдача ссуда в размере P на срок T. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся 2 платежа R₁ и R₂ и в конце срока выплачивается остаток R₃ (здесь не имеет значения, какая часть идет на выплату процентов и какая в счет погашения).

     Сбалансированная операция имеет  замкнутый контур, т.е. последняя выплата покрывает полностью остаток задолженности. В этом случае совокупность платежей точно соответствует условиям сделки. Контур операции применяется в методических целях для анализа ряда финансовых операций. 

2) Частичные платежи.

     Краткосрочные обязательства иногда  погашаются с помощью ряда  промежуточных платежей. В этом  случае необходимо решить, какую  сумму надо брать за базу  для расчета процентов и как  определять остаток задолженности. Существует 2 метода решения этой задачи.

     Первый метод применяется в  основном в операциях со сроком  более года и называется актуарным методом.

     Второй метод используется коммерческими  фирмами в сделках со сроком  не более года и называется  правилом торговца.

     Если не оговорено иное, то при начислении процентов в обоих методах используются обыкновенные проценты с приближенными числом дней (360/360).

3) Актуарный метод.

     Актуарный метод предполагает  последовательное начисление процентов  на фактические суммы долга.  Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница (остаток) идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т. д.

     Если же частичный платеж меньше  начисленных процентов, то никакие  зачеты в сумме долга не  делаются. Поступление приплюсовывается к следующему платежу. Для случая изображенного на рис. 2 получим расчетные формулы для определения задолженности K_j.

K₁ = P (1 + t₁i) – R_{1 ,}

K₂ = K (1 + t₂i) – R_{2 .} 
 

4) Правило торговца.

     Здесь возможны два варианта.

1) Если  срок ссуды не превышает год, то сумма долга с процентами остается неизмененной до полного погашения. В свою очередь накапливаются (частичные) платежи с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен быть равен разности этих сумм (сумма долга с процентами минус накопленные частичные платежи с начисленными на них процентами).

2) В  случае, когда срок превышает  год, указанные выше расчеты  делаются для годового периода  задолженности.

     В конце года из суммы задолженности  вычитается наращенная сумма  накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.

     Алгоритм можно записать формулами:

Q = S – k = P(1+ni)-∑Rj(1+t_ji),

где Q – остаток долга на конец срока или года; S – наращенная сумма долга; k – наращенная сумма платежей; R_j – сумма частичного платежа; n – общий срок ссуды; t_j – интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды или года. Для одних и тех же данных актуарный метод и правило торговца в общем случае дают разные результаты. Остаток задолженности по первому методу немного выше, чем по второму.

  §7. Наращение процентов в потребительском кредите.

   В потребительском кредите проценты  начисляются, как правило, на  всю сумму кредита и присоединяются  к основному долгу уже в  момент открытия кредита. Это  жесткое условие для должника.

    Погашение долга с процентами  производится частями, обычно  равными суммами на протяжении  всего срока кредита. Наращенная  сумма долга равна: S = P(1+ni),а величина разового погасительного платежа равна:

                                    R = ,

 где  n – срок кредита в годах; m – число платежей в году. Из-за того, что проценты здесь начисляются на первоначальную сумму долга, а его фактическая величина систематически уменьшается во времени, действительная стоимость кредита заметно превышает договорную процентную ставку. 

§8. Дисконтирование  по простым процентным ставкам.

    В финансовой практике часто  встречаются с задачей, обратной  наращению процентов: по заданной  сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P.   Термин дисконтирование употребляются и в более широком смысле – как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени Различают два метода дисконтирования – математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором – учетная ставка.

    Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача, в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при условии, что на долг начисляются простые проценты по ставке i .Решим уравнение:                                         S = P(1+ni) относительно P, получим: P = , где n = - срок ссуды в годах. Установленная таким образом величина P называется современной величиной суммы S, которая будет выплачена через n лет. Дробь называется дисконтным или дисконтирующим множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет

    Банковский учет векселей.

Банк  до наступления срока платежа  по векселю приобретает его у  владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает или учитывает его с дисконтом. При учете векселей применяется банковский или коммерческий учет. Согласно этому методу проценты за пользование  ссудой в виде дисконта начисляются на сумму подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d. Размер дисконта, или суммы учета, очевидно равен S∙n∙d, если d – годовая учетная ставка, то n измеряется в годах. Тогда :

P = S – Snd = S(1-nd)  (1) ,

 где  n – срок от момента учета до даты погашения векселя. Дисконтный множитель: (1 – nd). Из формулы (1) следует, что при n > величина: 1 – nd и сумма P станет отрицательной.  

§9. Наращение по учетной  ставке.

   Простая учетная ставка иногда  применяется и при расчете  наращенной суммы. В частности в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае: S = ; множитель наращения: . Наращение не пропорционально ни сроку, ни ставке. При n > расчет лишен смысла, так как в этом случае S → ∞. Такая ситуация при математическом дисконтировании не возникает: при любом сроке современная величина > 0.