Контрольная работа по "Финансовой математике"

Задание №1

1. Для проведения вычислений по формулам Хольта подготовим таблицу:

Этап расчета	t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)

 

Этапы расчета: предварительный, основной, прогнозирование.

На этапе предварительного расчета (t=-3, -2, -1, 0) определим величины коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года a(0) b(0) и коэффициенты сезонности F(-3), F(-2), F(-1), F(0) за весь предыдущий год.

По первым восьми наблюдениям (t= 1…8) постоим вспомогательную линейную модель Y`(t)=a+b*t (РЕГРЕССИЯ)

 

	Коэффициенты
Y-пересечение	43,25
Переменная X 1	0,75

Примем a(0)=43.25, b(0)=b=0.75; занесем эти значения в нулевой уровень столбцов a(t) и b(t) основной расчетной таблицы.

Коэффициентом сезонности называется отношение фактического значения Y к значению Y`, найденному по линейной модели («Предсказанное Y» итогов Регрессии.)

Для первого квартала это  в первом году и во втором году. Оценкой коэффициента F(-3) первого квартала предыдущего года служит среднее арифметическое:

F(-3)=

Аналогично найдем

F(-2)=

F(-1)=

F(0)=

Заполним соответствующие  уровни столбца «F(t)» расчетной таблицы

Исходные данные		Построение модели Хольта-Уинтерса
t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)
-3				0,857
-2				1,081
-1				1,276
0		43,25	0,75	0,786

 

Основной этап расчета:

Коэффициенты сглаживания  α_a=0.3 α_b=0.3 α_F=0.6; период сезонности L=4.

Примем t=0, k=1, по основной формуле модели Хольта, рассчитаем

Yp(0+1)=Yp(1)= (a(0)+b(0))*F(-3)=37.72

Перейдем к t=1, уточним коэффициенты:

a(1)= α_a* + (1- α_a)* (a(0)+b(0))=44.10

b(1)= α_b *(a(1)-a(0))+(1- α_b)*b(0)=0.78

F(1)= α_F* +(1- α_F)*F(-3)=0.86

При t=1, k=1по основной формуле модели Хольта получим

Yp(1+1)=Yp(2)=(a(1)+b(1))*F(-2)=48.50

И т.д. для t=2,3…16. Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t), F(t), определяется количеством исходных данных n=16. Результаты вычислений приведем в таблице; модель Хольта-Уинтерса построена.

Этап прогнозирования:

По основной формуле  модели Хольта-Уинтерса при фиксированном t=n и нарастающем значении периода упреждения k=1, 2, 3,…

Yp (t + k)=(a(t)+k*b(t)) * F (t + k - L)

Для первого квартала будущего пятого года при t=16, k=1 найдем

Yp (16+1)=(a(16)+1*b(16)) * F (13)=51,45

Для второго квартала будущего пятого года при t=16, k=2 найдем

Yp (16+2)=(a(16)+2*b(16)) * F (14)=63,99

Для третьего квартала будущего пятого года при t=16, k=3 найдем

Yp (16+3)=(a(16)+3*b(16)) * F (15)=76,64

Для четвертого квартала будущего пятого года при t=16, k=4 найдем

Yp (16+4)=(a(16)+4*b(16)) * F (16)=47,04

Результаты расчетов занесем в таблицу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Для проверки точности дополним расчетную таблицу столбцами остатков E(t) относительных погрешностей E_отн(t).

 

E(1)=Y(1) – Y`(1)  E (1)= *100 (функция ABS) и т.д.

Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Средняя относительная  погрешность аппроксимации составит:

E_отн=1,77

 

0%<1,77%<5%. Следовательно, точность модели точная.

 

3.1 Для использования  критерия поворотных точек постоим  график остатков E(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выделим на нем поворотные точки и посчитаем их количество p=9

Вычислим при n=16

 

Pкр=

 

 

p=9 > Pкр, значит свойство случайности для ряда остатков выполняется

 

3.2 Для проверки свойства  независимости остатков используем  критерий Дарбина-Уотсона

Вычислим d=

 

d`=4-d=1.3

 

d₁<d`<d_2. В этом случае на основании критерия Дарбина-Уотсона нельзя сделать однозначного вывода о зависимости или независимости остаточной компоненты. Требуется дополнительная проверка свойства.

Для дополнительной проверки используем критерий автокорреляции.

Вычислим r(1)=

Критическое значение коэффициента автокорреляции составляет r_кр=0,32

 

=0,36> r_кр=0,32 Таким образом в ряде остатков наблюдается автокорреляция, свойство независимости остатков не выполняется.

 

3.3. Для проверки свойства  нормального распределения остатков используем R/S критерий.

 

E_max=2.36, E_min=-1.59, S(E)= 1.04 Найдем R/S:

 

R/S=

 

3,8 (3,01; 4,21), значит для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется

 

 

4. см. задание №1.1 «Этап прогнозирования»

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание № 2.1

Результаты расчета  занесем в таблицу

 

При t=n=5 EMA₅=MA₅=597.2

При r 6 по формуле экспоненциальной скользящей средней

 

EMA₆=1/3*590+2/3*597.2=594.8

EMA7=1/3*598+2/3*594.8=595.87 и т.д

 

????????

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Момент: 

МОМ₆=С₆-С₁=590-610=-20

 

МОМ₇=С₇-С₂=598-614=-16 и т.д.

 

2.3 Скорость изменения цен:

 

ROC₆=C₆/C₁*100=590/610*100=96.72

ROC₇=C₇/C₂*100=598/614*100=97.39

и т.д.

 

 

 

 

 

??????

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4