Контрольная работа по "Финансовой математике"

Контрольная работа

Задача №1.

По муниципальной облигации  номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий порядок  начисления процентов: первый год- 60 %, в каждом последующем полугодии  ставка повышается на 5 %.

Требуется:

1. определить наращенную стоимость облигации по простой процентной и учетной ставкам;

Наращенная стоимость  по простой процентной ставке:

P_n = P(1+ni)

P_n = 10 000 (1+1*0,6 + 0,5*0,65 + 0,5*0,7 + 0,5*0,75) = 26500 руб.

Наращенная стоимость  по простой учетной ставке:

S = P/(1-d T )

S1год = 10 000/(1 - 0,6*1) = 25000 руб.

Проценты I 1год = 25 000 – 10 000 = 15 000 руб.

S3полугод = 10 000/(1 - 0,65*0,5) = 14 815 руб. (сумма за 3 полугодие)

I 3полугод = 14 815 – 10 000 = 4 815

S4полугод = 10 000/(1 - 0,7*0,5) = 15385 руб.

I 4полугод = 15385 – 10000 = 5385

S5полугод = 10 000/(1 - 0,75*0,5) = 16 000

I 5полугод = 16 000 – 10 000 = 6000 руб.

Суммарная наращенная стоимость  по учетной ставке:

S = 15 000 + 4815 + 5385 + 6000 = 31200 руб.

составить план наращения  первоначальной стоимости по простым  процентам;

Период начисления	Метод: простые проценты	Метод: учетная ставка
1 год	10 000(1 + 1*0,6) = 16000	15 000
1,5 года	10 000(0,5*0,65) + 16000 = 19250	19815
2 года	10 000(0,5*0,7) + 19250 = 22750	25200
2,5 года	10 000(0,5*0,75) + 22750 = 26500	31200

2) рассчитать наращенную стоимость облигации по сложной процентной и учетной ставкам;

При начислении сложных процентов  применяется формула

S = P(1+i₁ t₁)·(1+ i₂ t₂)·(1+ i₃ t₃)·(1+ i_n t_n)

S = 10 000 * (1 + 0,6*1)*(1 + 0,65*0,5)*(1 + 0,7*0,5)*(1 + 0,75*0,5) = 39 352 руб.

Сложная учетная ставка:

S =

S1год = 10 000 / (1 – 0,6)¹ = 25000 руб.

S3полугод = 25 000 / (1 – 0,65)^0,5 = 42258 руб.

S4полугод = 42258/ (1 – 0,7)^0,5 = 77152 руб.

S5полугод = 77152 / (1 – 0,75)^0,5 = 154304 руб.

3) составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам;

Период начисления	Метод: сложные проценты	Метод: сложная учетная  ставка
1 год	16 000	25000
1,5 года	21200	42258
2 года	28620	77152
2,5 года	39352	154304

построить график наращения стоимости  по простым и сложным процентам;

Проанализировать доходность вариантов  наращения стоимости с позиций  кредитора и заемщика.

После первого года простая  учетная ставка и сложные учетная  ставка и проценты дают примерно одинаковый результат, поэтому на этом этапе  разницы между этими методами начисления процентов для кредитора  и заемщика почти нет. Уже на это  этапе резко выделается сложная  учетная ставка, которая выгода кредитору  и невыгодна заемщику. Разница  между методами начисления процентов  начинается и усиливается после 1,5 года.

Из графика ясно, что  наиболее выгодным для кредитора  является вариант сложной учетной  ставки. Затем идут сложные проценты, простая учетная ставка и наименее выгодными являются простые проценты.

Для заемщика ситуация противоположна – наиболее выгодным вариантом являются простые проценты, наименее выгодна  сложная учетная ставка.

Кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой дисконт, а  не под простой процент. Простой  дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды  в момент ее выдачи. Чтобы убедиться  в этом, достаточно сравнить наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору  при условии выдачи кредита в  одинаковой сумме, но под простой  процент — в одном случае и  под простой дисконт — в  другом.

 

Задача №2.

В условиях выпуска сертификата  Сбербанка номиналом 1200 руб. предусмотрены выкупные суммы в зависимости от срока хранения :за 5 лет – 2300 руб. , 7 лет – 2595 руб. Определить уровни годовых сложных ставок процента для указанных сумм наращения.

 или 15,184 %

  или 25,84 %

 

Задача №3.

Вексель с обязательством 15 тыс. руб. учитывается банком за 3 месяца до погашения с дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента.

Дано:

, ,

Найти:

Решение

Простая годовая учетная ставка находится  по формуле:

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- учетная ставка процента

- период времени от момента  учета векселя до даты его  погашения в годах.

 или 66,7%

Годовая процентная ставка находится из равенства следующих соотношений

Отсюда:

,

 или 80%

Ответ: i = 80%

Задача №4.

Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 10 млн. руб. определить наращение суммы вклада через 2 года, если проценты начисляют ежеквартально  из расчета 80 % годовых.

Дано: , ,

Найти: - ?

Решение

Простые проценты:

P_n = P(1+ni)

для простых процентов  неважно, сколько раз в год  начисляют проценты, поэтому ежеквартальное начисление не учитываем (итоговая сумма  будет та же)

P_n = 10 000 000 (1 + 2*0,8) = 26000000 руб.

Сложные проценты:

P_t = P(1 + i)^t,

процентная ставка за квартал t = 80/4 = 20%

P_t = 10 000 000 (1 + 0,2)^2*4 = 42 998 169,6 руб.

 

Задача №5.

За какой срок наращенная стоимость финансового инструмента  номиналом 125000 рублей достигнет 140000 рублей при условии начисления сложных  процентов по ставке 8% раз в году и поквартально? Расчеты выполнить  по процентной и учетной ставкам.

n = log2(14000 / 125000) / log2(1 + 0,08) = 5 лет.

Если начисление процентов при  этих же условиях будет производиться  ежемесячно, то в соответствии с  формулой:

n = log2(140000 / 125000) / log2(1 + 0.08 / 6)6 = 4,6 года.

 

 

Задача №6.

Простая процентная ставка по векселю равна 10%. Определить значение эквивалентной ставки, если вексель выдан:

а) на 2 года;

б) на 250 дней.

При сроке 250 дней рассмотреть  варианты:

временная база ставок одинакова  – 360 дней,

временная база процентной ставки - 365 дней, учетной – 360 дней.

Обозначим ставку d, ставку процентов i, тогда имеем уравнение 1/(1–d)==1+i, отсюда i=d/(1–d). По данным примера получаем i=0,1/0,8=0,125. Итак, по своей доходности учетная ставка 10% эквивалентна наращению  простых процентов по ставке 12,5%.

 

Задача №7.

Вексель погашается через 3 года за 5 тыс. руб. Определить дисконтную цену векселя по простым и сложным  процентам.

По-видимому, в условии  пропущена ставка процентов. Примем ставку процентов за 10% годовых.

Тогда:

P = S(1 - dt)

P = 5 000 (1 – 0,1*5) = 2500 – при простых процентах

P = S(1 - d)ⁿ

P = 5000 (1 – 0,1)⁵ = 2952 – при сложных процентах

 

Задача №8.

Ставка по облигации номиналом 3500 рублей составляет 7%. Определить число  лет, необходимое для удвоения стоимости  облигации, применив простые и сложные  проценты:

а) используя антисипативные проценты,

б) используя декурсивные  проценты.

(S = P · (1 + ni)),

(3500 * 1 / (1 – 90 / 360 * 0,07)=424

а) t = (2 – 1) / 0,07*365 = 1825 дней (5 лет);

б) t = (1 – 1 / 2) / 0,07*365 = 912,5 дней (2,5 года).

 

 

 

Задача №9.

Определить число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15 % годовых.

Решение

Сначала определим число  лет при начислении простых процентов.

Формула простых процентов:

P_n = P(1+ni), где

P_n – наращенная сумма,

i - ставка процента,

P – изначальная  сумма,

n - число периодов начисления.

Составим уравнение.

Первоначальный капитал  увеличится в 5 раз, следовательно Pn = 5P

5P = P(1 + n*0,15)

1 + n*0,15 = 5

0,15n = 4

n = 26,6 т.е. примерно через 26,5 лет капитал увеличится в 5 раз при простых процентах.

Формула сложных процентов:

P_t = P(1 + i)^t, где

t - количество периодов наращения,

i - ставка процента,

P – изначальная  сумма,

P_t – наращенная сумма.

Первоначальный капитал  увеличится в 5 раз, следовательно Pn = 5P

5P = P(1 + 0,15)^t

(1,15)^t = 5

t = 11,5 т.е. через 11,5 лет капитал увеличится в 5 раз при сложных процентах

 

Задача №10.

Депозитный сертификат номиналом 100 руб. выдан 5 мая с погашением 7 ноября под 25% годовых. Определить сумму  начисленных процентов и сумму  погашения долгового обязательства (3-мя способами).

Сумму погашения можно представить в виде двух слагаемых: номинала и суммы процентов :

,

где - срок ссуды в долях года;

- число дней в году (временная  база);

- срок операции в днях.

Рассмотрим  различные варианты расчета:

Точные  проценты с точным числом дней депозита

Точное  количество дней определим по таблице  порядковых номеров дней в году: 5 мая – это 125 день в году, а 7 ноября – 311 день. Следовательно, точное количество дней: дней

Временная база дней

 руб.

 руб.

Обыкновенные  проценты с точным числом дней депозита

Точное  количество дней , временная база дней

 руб.

 руб.

Обыкновенные  проценты с приближенным числом дней депозита

Найдем  приближенно число дней, считая, что в мае по ноябрь содержится по 30 дней:

5 мес.  · 30 дн. + (30 дн. – 5 дн.) + 7 дн. = 182 дн.

Временная база дней

 руб.

 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ задачи	Результаты (с единицами  измерения)
1.	112,64 руб.
2.	4,6 года
3.	12,5 %
4.	2,5 года
5.	25,84 %
6.	1)31200руб.; 3)154304 руб.
7.	11,5 лет
8.	80 %
9.	2500;2952
10.	42 998 169,6 руб.

 Размещено на Allbest.ru