Контрольная работа по "Финансовой математике"

Задание 1.

В каждом варианте приведены  поквартальные единицы о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года). 
Требуется:

1)Построить адаптивную  мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания =0,3; =0,6; =0,3.

2)Оценить точность построенной  модели с использованием средней  относительной ошибки аппроксимации.

3)Оценить адекватность  построенной модели на основе  исследования:

-случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

-независимости уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения =1,10 и =1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении =0,32

-нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4)Построить точечный прогноз  на 4 шага вперёд, т.е. на 1 год.

5)Отразить на графике  фактические, расчётные и прогнозные  данные.

Решение

1)Построить адаптивную  мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания =0,3; =0,6; =0,3.

Для проведения вычислений по формулам Хольта подготовим таблицу:

Этапы расчёта: предварительный, основной, прогнозирование.

На этапе предварительного расчёта (t=-3, -2, -1, 0) определим величины коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года a(0), b(0) и коэффициенты сезонности F(-3), F(-2), F(-1), F(0) за весь предыдущий год.

По первым восьми наблюдениям  построим вспомогательную линейную модель (t)=a+b*t(РЕГРЕССИЯ)

Примем a(0)=a=35,07, b(0)=b=0,93; занесём эти значения в нулевой уровень столбцов a(t) и  b(t) основной расчётной таблицы.

Коэффициентом сезонности называется отношение фактического значения Y к значению , найденному по линейной модели («Предсказанное Y» итогов Регрессии).

Для первого квартала это  в первом году и во втором году. Оценкой коэффициента F(-3)первого квартала предыдущего года служит среднее арифметическое:

F(-3)= =0,86.

Аналогично найдём:

F(-2)==1,08,

F(-1)==1,27,

F(0)==0,79

Заполним соответствующие  уровни столбца «F(t)» расчётной таблицы и перейдём к основному расчёту.

Коэффициенты сглаживания =0,3, =0,6, =0,3; период сезонности L=4

Примем t=0, k=1, по основной формуле модели Хольта рассчитаем

(0+1)=(1)=(a(0)+b(0))F(-3))=30,91.

Перейдём к t=1, уточним коэффициенты

a(1)=+(1-)(a(0)+b(0))=36,03

b(1)=a(1)-a(0))+(1-)b(0)=0,94

F(1)=+(1-)F(-3)=0,86

При t=1,k=1 по основной формуле модели Хольта получим

(1+1)=(2)=(a(1)+b(1))F(-2)=40,03

и т.д. для t=2,3,…16. Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t), F(t), определяется количеством исходных данных n=16.

Результаты вычислений приведём в таблице.

Этап прогнозирования:

По основной формуле модели Хольта-Уинтерса при фиксированном t=n и нарастающем значении периода упреждения k=1,2,3…

(t+k)=(a(t)+kb(t))F(t+k-L)

Для первого квартала будущего пятого года при t=16,k=1 найдём

(16+1)=(17)=(a(16)+1b(16))F(16+1-4)=44,79

Для второго квартала будущего пятого года при t=16,k=2 найдём

(16+2)=(18)=(a(16)+2b(16))F(16+2-4)=56,38

Для третьего квартала будущего пятого года при t=16, k=3 найдём

(16+3)=(19)=(a(19)+3b(19))F(16+3-4)=67,26

Для четвёртого квартала будущего пятого года при t=16, k=4 найдём

(16+4)=(20)=(a(20)+4b(20))F(16+4-4)=42,03

Результаты расчётов занесём  в таблицу.

 

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

Для проверки точности дополним расчётную таблицу столбцами  остатков E(t) и относительных погрешностей (t).

E(1)=Y(1)-(1)и т.д. =100 (функция ABS) и т.д.

Получим:

Средняя относительная погрешность  аппроксимации составит

отн =1,53(%) (функция СРЗНАЧ)

5%<5,30%<15%, следовательно модель точная

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

-случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

-независимости уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения =1,10 и =1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении =0,32

-нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Для использования критерия поворотных точек построим график остатков E(t).

Вы делим на нём поворотные точки и подсчитаем их количество p=9

Вычислим при n=16

====6

P=9>=6, значит свойство случайности ряда остатков выполняется.

Для проверки свойства независимости  остатков используем критерий Дарбина-Уотсона.

d===2,65(функции СУММКВРАЗН;СУММКВ)

 

Полученное значение d=2,65>2, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдём к d’=4-d=1,35 и сравним её с двумя критическими уровнями

d’=1,35 лежит в интервале от до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняется.

Проверим выполнение свойства независимости ряда остатков по первому  коэффициенту автокорреляции

r(1)=== -0,33 (функции СУММПРОИЗ;СУММКВ)

Критическое значение коэффициента автокорреляции составляет =0,32(по условию).

=0,33>0,32,следовательно свойство независимости остаточной компоненты не выполняется.

Для проверки свойства нормального  распределения остатков используем R/S-критерий.

Подготовим =2,43 (функция МАКС),=-1,20 (функция МИН), S(E)=0,96(функция СТАНДОТКЛОН)

Найдём: R/S===3,78

Критический интервал дан по условию от 3 до 4,21.

3,78(3;4,21),значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Таким образом, по точности модель удовлетворительна, но не является адекватной, так как не выполняется  свойство независимости остатков. Прогноз  по этой модели проводить нецелесообразно.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперёд, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчётные и прогнозные данные.

Из графика видно, что  расчетные данные согласуются с  фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Задание 2.

Даны цены (максимальная, минимальная, и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

-экспоненциальную скользящую  среднюю;

-момент;

-скорость изменения цен;

-индекс относительной  силы;

-%R,%K и %D.

Расчёты проводить для  всех дней, для которых эти расчёты  можно выполнить на основании  имеющихся данных.

Решение.

-Найдём экспоненциальную скользящую среднюю:

Результаты расчёта занесём  в таблицу.

При t=n=5(по условию задачи) найдём ==721,6 (функция СРЗНАЧ).

При t6(tn+1; t5+1) по формуле экспоненциальной скользящей средней ==

=k+(1-k)

=744+(1-)721,6=729,07;

=835+(1-)729,07=764,38 и т.д.

Покажем исходные цены закрытия и найденную экспоненциальную среднюю  на графике, проведем анализ.

С 5-го по 9-ый день ЕМА(t) ниже чем  С(t) => рекомендуются покупки.

В 10-ый день графики пересекаются, это сигнал разворота к продажам.

-момент.

Рассчитаем момент по формуле =- , где t>n+1

Расчет выполняем с шестого уровня(n=5(по условию)), т.е.

=-=744-715=29

=-=835-738=97 и т.д.

Результаты вычислений занесем  в соответствующий столбец расчетной  таблицы.

С 6-го по 10-ый день график МОМ  целиком находится в области  выше нулевого уровня, рекомендуется  покупка финансового инструмента. Сигнала разворота нет.

-скорость изменения  цен.

Рассчитаем скорость изменения  цен по следующей формуле

=100, где tn+1;n=5(по условию);t6

=100=104,06;

=100=113,14 и т.д.

Покажем на графике линию  скорости изменения цен.

График скорости изменения  цен целиком находится в области  выше уровня 100%; с 6-го по 10-ый день рекомендуется  покупки. Сигнала разворота нет.

-индекс относительной  силы.

Выполним расчёт по следующему алгоритму:

Найдём изменения цен  закрытия =- для дней t2

Из  выберем положительные(приросты) и модули отрицательных(убыль)- ЕСЛИ.

Для t6 рассчитаем суммы приростов и суммы убыли за 5 дней до дня t –функция СУММ.

Вычислим  по формуле:

RSI=100-=100-=67,90

RSI=100-=82,55 и т.д.

Результаты вычислений занесем  в соответствующий столбец расчетной таблицы.

Рассмотрим график RSI: