Финансовая математика

                                          

 

 

 

                                        Содержание

Введение……………………………………………………...…………………...4 
Основные понятия………………………………………………………………...5 
Учет инфляции…………………………………………………………………….7 
Заключение…………………………………………………………..………….12 
Источники и литература…………………………………………….………...16 

                                              ВВЕДЕНИЕ 
 
Финансовая математика является основой для банковских операций и коммерческих сделок. В предлагаемом пособии рассматривается начисление простых и сложных процентов при одноразовых платежах и потоках платежей, при постоянных и переменных рентах и ставках. Здесь излагается единый подход к решению широкого круга задач определения различных финансовых величин: будущей суммы сделки, текущей (дисконтированной) суммы, процентной ставки, выплат, срока сделки, ее эффективности и т. п. Учтено влияние инфляции на параметры финансовых операций. Формулы финансовой математики применяются в пособии для расчетов кредитных, депозитных, ипотечных операций, учетов векселей, для сравнения эффективности финансовых сделок. Чтобы были понятны операции по лизингу, в пособии излагаются различные методы учета амортизации. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                          Основныепонятия      
               
Инфляция – это обесценивание денег, обусловленное чрезмерным увеличением выпущенной в обращение массы бумажных денег и безналичных выплат по сравнению с реальным предложением платных товаров и услуг.  
Проявляется инфляция в росте цен на товары. На одни товары цены могут расти, на другие – уменьшаться, но если наблюдается устойчивая тенденция массового повышения цен, то это уже инфляция. 
Изменение цен на товары и услуги определяется при помощи индекса цен. Индекс цен численно равен отношению цен на товары, услуги или работы в один период времени к ценам этих же товаров, услуг или работ в другой период времени. Вводят понятие агрегатного индекса цен. Агрегатный индекс цен численно равен отношению цены группы товаров (услуг) за данный период к цене той же группы в базисном периоде. Индекс цен на потребительские и промышленные товары регулярно публикуется. Процентное изменение индекса потребительских цен называется уровнем инфляции.  
Пусть S - некоторая сумма денег, имеющаяся у человека в данный момент; S_t - сумма денег через некоторое время t , покупательная способность которой равна S . Вследствие инфляции S_t >S и S_tS - некоторая сумма денег, которая добавляется к S для сохранения стоимости годовой "потребительской корзины".DS,гдеD=S+ 
Основными показателями инфляции являются.

1.  
   = (Stсредний годовой уровень инфляции _t S/SD- S )/S =
2.  
   годовой индекс инфляции IN= S_tt/S=1+

 
Коэффициент падения покупательной  способности денег определяется как величина, обратная индексу цен. В США за базисный год принят1967 г. Индекс цен в 1967 году считается  за 100%. Индекс цен в 1985 г. равен 322,2%, то есть цены за это время выросли  более, чем в 3 раза. Коэффициент падения  покупательной способности денег  за 1985 г. равен 1/3,222*100%=31,04%. Таким образом, реальная покупательная способность  денег равна 31,04% от уровня 1967 года. Индекс потребительских цен определяется по стоимости "потребительской корзины". Она определяется для трудоспособного  мужчины на месяц: хлеба черного - 7 кг 20 г, белого - 3 кг 60 г, муки пшеничной - 540 г, макаронных изделий - 580 г, крупы - 630 г, картофеля - 15 кг, капусты - 2 кг 480 г, яблок - 1 кг 670 г, говядины - 1 кг, свинины - 1 кг 580 г, колбасных изделий -580 г, молока - 10 литров, масла - 500 г, яиц -26 штук, сахара - 2 кг 130 г, чая - 80 г, соли - 830 г.В России стоимость "потребительской корзины" фиксируется к уровню сентября 1977 года.Годовой индекс инфляции показывает, во сколько раз возрастает цена "потребительской  корзины" за год. При инфляции потребители  ускоренно стараются материализовать  деньги в товары, что в некоторой  степени стимулирует производство, способствует более быстрому обороту  денег и развитию экономики. Поэтому  в последнее время инфляции не приписывают исключительно деструктивных  качеств, так как развитие без  инфляции приводит к накоплению денег  и оттоку их из производства. 

 
 
 
 
 
 
 
                                               Учет инфляции 
 
Простые проценты

Определим годовую процентную ставку r_t, которая бы обеспечила прибыль от наращения по годовой ставке r и покрывала потери от инфляции. Пусть без инфляции будущая сумма  
FV = PV (1+  r). (1.20) 
 
Наращенная сумма с учетом инфляции, имеющая ту же покупательную способность, что и без инфляции  
 
FV_t = PV·(1+  r_t). (1.21) 
 
Естественно, что FV_t больше FV,  
 
FV_t = FV·(1+ ). (1.22)t 
 
Из (1.20)-(1.22) получаем 
 
FV_t = PV·(1+  r_t)= PV (1+  r) (1+ ) (1.23)t 
 
и годовая процентная ставка, покрывающая инфляцию, должна быть больше, чем без инфляции.  
 
r_t+t=r+   (1.24)t×r 
 
Коэффициент наращения с учетом инфляции  
 
К_t=(1+  r) (1+ ). (1.25)t 
 
Он должен быть больше, чем без инфляции К=(1+  r). 
 
. Банк обеспечивает ставку rtПусть клиент делает вклад в размере PV в условиях инфляции с годовым уровнем _t . Какова реальная годовая процентная ставка прибыли r? 
 
И  
з (1.24) получаем  
 
 (1.26) 
 
Следовательно, реальная покупательная стоимость будущего вклада составит 
F  
Пример 1.1 Фирма договорилась с банком о выделении кредита размером 300 тыс. руб. сроком на полгода под 22% годовых без учета инфляции (проценты простые). Ожидаемый годовой уровень инфляции 14%.Какую процентную ставку с учетом инфляции возьмет банк, каков при этом коэффициент наращения и дисконт банка? По (1.24) 
 
Решение. 
 
PV=300 тыс. руб. 
 
r=0,22 
 
=0,14t 
 
t/T=0,5 
 
r_t=? К_t=? D=? 
V=PV·(1+ ). (1.27) 
 
 
 
r_t+t=r+  =0,22+0,14+0,5·0,22·0,14=0,4454, т.е. rt×r_t=44,54% 
 
Согласно (1.25) 
 
К_t=(1+  r) (1+ )=(1+0,5·0,22)·(1+0,5·0,14)= 1,1877t 
 
 
 
 
 
 
пришлось бы вернуть 
 
 
Наращенная сумма 
 
FV=PV·К_t=300·1,1877=356,31 тыс. руб. - такую сумму фирме придется вернуть банку с учетом инфляции. 
 
Дисконт банка 
 
D=FV-PV=356,31-300=56,31 тыс. руб. 
 
Без учета инфляции пришлось бы вернуть 
 
FV=PV(1+r·t/T)=300(1+0,5·0,22)=333 тыс. руб. 
Пример 1.2 Клиент оформляет вклад в размере 10000 руб. на 3 месяца под простые проценты из расчета 24% годовых. Годовой уровень инфляции 15%. Определите реальную годовую ставку банка и реальную покупательную способность будущего вклада 
 
Решение 
 
PV=10000 руб. 
 
t/T=0,25 
 
r_t=0,24 
 
=0,15t 
 
r=? 
В соответствии с (1.26) 
 
=(0,24-0,15)/(1+0,25·0,15)= 0,086747, т.е. r=8,67% 
 
На руки клиент получит 
 
FV=PV·(1+ · r)=10000· (1+0,25·0,24)= 10600 руб. 
 
Их покупательная способность по формуле (1.27) составит 
 
FV=PV·(1+ )=10000· (1+0,25·0,086747)=10216,87 руб. 
 
Инфляция "съела" большую часть дохода. 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                   Заключение 
 
Любые проблемы, связанные с финансами, имеют множество нюансов. И это в полной мере относится к расчетам по формуле (1.1). Причем в практических проблемах, связанных с расчетом процентов, эти нюансы в основном касаются определения длительности займа t. Отметим некоторые из них. Для этого еще раз напомним, что мы договорились считать единицей времени год.

В краткосрочном контракте  по предоставлению кредита срок его  действия естественно измерять днями. Поэтому при выбранной единице  времени длительность займа удобно записывать в виде

t=n/N     (1)

где n - длительность контракта  в днях, а N - число дней в году. При этом оказывается, что в разных странах мира сложилась своя практика, банковская и коммерческая, в отношении  базы времени N . Возможны следующие  четыре варианта:

 

N=360, N=3б5, N=365,25, N = 366.

из которых первый во многих странах называется коммерческим годом.

Но выбор одного из этих вариантов еще не вносит полную ясность в расчет t поскольку не меньше подходов к определению числа n. Так, оно может быть точным числом дней от одной даты до другой, включающим или не включающим в себя границы. Хотя наиболее распространенная практика определения числа дней ссуды по календарю такая: первый день не учитывается, а последний – учитывается1. Но это же число может получаться совсем по-другому. Например, когда рассматриваемый период (ссуды) разбивается на три части, две из которых - первая и третья - выражаются в днях, а средняя - точным числом месяцев, которые берутся равными 30 дням, или семестров, равных 90 дням.Кстати, в Германии, Дании, Швеции год условно считается коммерческим, а месяц - имеющим 30 дней. Также коммерческий год используется во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии, Югославии. Но здесь предпочитают рассчитывать точное число дней контракта по календарю. Наконец, обычный год в 365 дней (или 366) и календарный расчет срока распространен в таких странах, как Португалия, США и Великобритания. При этом, скажем, в Англии, при банковских ссудах полгода приравниваются к 182 дням.

В банковской системе используют три способа расчета процентов:

Точеные проценты с точным числом дней ссуды или 365/365.

Обыкновенные проценты с  точным числом дней ссуды или 365/360.

Обыкновенные проценты с  приближенным числом дней ссуды или 360/360.

Вариант 360/365 на практике не применяется.

 Формула наращения  по простой процентной ставке

Пусть:

I - проценты за весь  срок ссуды;

Р - первоначальная сумма  долга;

S - наращенная сумма, или  сумма в конце срока;

i - ставка  наращения (десятичная дробь);

n - срок  ссуды.

Каждый  год процента составляют Рi.

Начисленные за весь срок проценты:

          I=Pni       (2)

         Наращенная сумма:

         S = Р + I = Р (1+ni)    (3)

Это - формула простых  процентов. Множитель – множитель  наращения проема процентов.

 Переменные  ставки

   Если предусмотрены изменяющиеся во времени процентные ставки, то наращенная сумма будет определяться следующим образом:

S = Р ( 1 +n1i2+ n2i2 + ... +nmim )   (4)

         Где ik – процентная ставка в период k,

nk – продолжительность  периода к.

В ряде практических приложений финансового анализа встает вопрос об определении первоначальной суммы долга по накопленной сунне, в зависимости от используемой ставки он решается путей использования математического дисконтирования или банковского учета.

  Математическое дисконтирование

Математическое  дисконтирование является точным формальным решением обратной задачи.         Р = S/(1+ni)    (5) 

Множитель:

 

   1

1 + ni

называют дисконтным множителем.

Задача 1

Определить сумму, вложенную  в коротко-срочные облигации доходностью 5% годовых на 7 месяцев, которые принесли дивиденды на 19000 рублей.

Решение

          i = 0,05/12 = 0,0041 или 0,42 %

         по формуле (5):

         P= 19000/(1+7*0,0041) = 18464,5 рубля

Процентная ставка (interest rate, discount rate, ссудный процент, годовая ставка, процент, рост, ставка процента, норма прибыли, доходность, ставка наращения) - процентная ставка, которая используется для оценки стоимости денег во времени.Процентная ставка рассчитывается отношением будущей стоимости за 1 период, за вычетом текущей, к текущей стоимости( (FV-PV) /PV).Чем дольше действует инвестиция и чем выше процентная ставка, тем больше будущая стоимость. Для инвестора, при начислении процентов 1 раз в год, более выгодно вкладывать деньги по схеме сложных процентов, чем по схеме простых, если срок больше 1 года.

 
 
 
 
 
 
 
 
                                          Источники и литература                                        

1. Балабанов И.Т. «Основы финансового менеджмента», М: «Финансы и статистика» 2001
2. Жуленев С.В. «Финансовая математика» изд. МГУ 2001
3. Комзолов А.А., Максимов А.К., Миловидов К.Н. «Финансово-математические модели» изд. «РГУНГ им. И.М. Губкина» 1997.

 
 

¹ В России именно такой подход, хотя он и звучит иначе: первый и последний день считаются за один день,