Введение в классическую электродинамику

      В различных формулах электродинамики  встречаются то верхние, то нижние индексы. Операция поднятия и опускания индексов производится посредством соответствующих  метрических коэффициентов или  метрики:

.

. Рассмотрим особый случай, когда интервал равен нулю. Для этого источник света поместим в начало координат, и тогда распространение луча света будет описываться уравнением:

      С математической точки зрения это  есть уравнение конуса в четырехмерном  пространстве, вершина которого лежит  в начале координат – так называемый световой конус (рис. 1.7). Рассмотрим сечение четырехмерного пространства: .

 Образующая конуса есть траектория луча света или его мировая  линия в четырехмерном пространстве.

      Рассмотрим  сечение конуса двухмерной плоскостью: и произвольную мировую линию (рис. 1.8). Разобьём линию на такие участки, на каждом из которых линия может считаться прямой. Тогда будем иметь несколько случаев, в зависимости от характера движения частицы.

1. Мировая линия идёт круче чем 45⁰. Тогда , что противоречит первому постулату Эйнштейна.
2. Мировая линия распространяется под углом, меньшим, чем 45⁰. Тогда ; таким образом, частица, которая находится в начале координат, не может проникнуть внутрь светового конуса.
3. Предельный случай: направление распространения составляет 45⁰ с осью координат. Тогда .
4. Частица не движется. Тогда x=const, мировой линией будет являться ось ct.

      Таким образом, любая мировая линия, описывающая любой реальный процесс, лежит строго внутри светового конуса. Вне светового конуса никакие процессы с частицами невозможны. С течением времени частица может только удаляться от поверхности светового конуса: - область абсолютного прошлого; - область абсолютного будущего. 

§1.3. Преобразование Лоренца  для координат  и времени. 

      В предыдущем параграфе было введено  понятие интервала. Его квадрат  можно представить как  . Покажем, что преобразования Галилея не удовлетворяют этому условию. Для этого распишем координаты в соответствии с этим преобразованием: .

      Будем считать эти преобразования промежуточными (~). Подставим это преобразование в выражение для квадрата интервала: . Инвариантность интервала при таком преобразовании не сохраняется, что противоречит утверждению об инвариантности интервала. Преобразуем теперь правую часть этого выражения:

.

      В последнем выражении была произведена  замена:  

      Если  теперь выразить и подставить в преобразование Галилея, получим в итоге преобразования

      Согласно  преобразованиям Галилея  : .

      Это и есть преобразование Лоренца для  времени. Получим теперь преобразование Лоренца для координаты: Окончательно, .

      В итоге преобразование Лоренца для  координат и времени выглядят следующим образом:

      Для обратного преобразования, то есть перехода от к , следует только изменить знак у на и штрихованные величины сменить на нештрихованные. Несложно показать, что обратное преобразование Лоренца оставляет интервал инвариантом.

В нерелятивистском приближении преобразования Лоренца  переходят в преобразование Галилея. Видно, что преобразования Галилея являются предельным случаем преобразования Лоренца, когда . То есть принцип соответствия между двумя теориями соблюден.

Если  в системе  частица покоится, то ее скорость относительно системы равна скорости системы относительно этой системы. То есть преобразование Лоренца выполняется для частиц, движущихся с релятивистскими скоростями.

Также нетрудно показать, что в нерелятивистском приближении выражение:  

§1.4. Преобразования Лоренца  для скоростей  и углов. 

      Преобразования  Лоренца для скоростей и углов  могут быть получены из преобразований Лоренца для координат и времени, если продифференцировать эти преобразования, полагая . Тогда . Исходя из определения для скорости , получаем для проекций скоростей: .

      Эти выражения есть преобразования Лоренца  для скоростей. В нерелятивистском приближении мы получим вновь преобразования Галилея, пренебрегая выражением

 Убедимся также, что преобразования Лоренца для скоростей не приводят к парадоксу как в преобразованиях  Галилея:

.

      Перейдем  теперь к преобразованиям Лоренца  для углов. Рассмотрим движение частицы с большой скоростью в произвольном направлении. Пусть в системе частица покоится (рис. 1.9). Тогда скорость в проекциях на оси и можно представить как:

 

      То  же в  системе:

      Задача  состоит в том, чтобы определить связь между и , для чего следует определить :

.

      Будем считать теперь, что  (это условие определения углов). Тогда .

      Отсюда  можно получить:

      Преобразования  Лоренца для телесного угла выглядят так: ,

откуда  можно напрямую записать, что , где . 

§1.5. Кинематические «парадоксы» СТО. 

      1. Эффект прожектора.

      Это реально наблюдаемый эффект, связанный  с излучением электромагнитных волн в современных ускорителях. В  настоящее время излучение электронов таково, что оно попадает в видимый  диапазон электромагнитных волн, т.е. электроны  становятся светящимися (синхротронное  излучение). Электроны движутся  в ускорителях по окружности. Если бы он двигался с  , то он излучал бы равномерно по всем направлениям.

      Но  если , то . Т.е., при поворачивании электрона, поворачивается ниточка света, которую он излучает. – угол между лучом света и направлением движения.

                

      Луч света идет почти параллельно  скорости, например, в случае наблюдения света звезд через иллюминатор ракеты (рис. 1.10).

      2. Аберрация света.

      Аберрация – отклонение направления кажущегося луча света от истинного.

 Этот эффект впервые наблюдался в 1727 году английским астрономом Джеймсом Брадлеем, еще задолго до создания СТО (1904-1905). Наблюдая положение звезд на небесной сфере в направлении, перпендикулярном к плоскости орбиты (рис. 1.5.1), Брадлей обнаружил, что, по мере движения Земли, эти звезды описывают маленькие окружности на небесной сфере. Он связал этот эффект со скоростью движения Земли и с конечностью распространения света.

        – это угол между направлением телескопа на звезду и направлением скорости движения телескопа за счет вращения Земли: . Угол Y¢ – тупой.

, .

      Посчитаем a в угловых секундах, где – отклонение звезды от истинного направления:

, ,

, .

Т.к. при малых углах, то .

      Открытие  Брадлея – это первое подтверждение теории Коперника о гелиоцентрическом строении мира.

 3. Замедление времени в движущейся системе координат (парадокс близнецов).

        Пусть некоторая частица находится  в начале координат системы  и неподвижна относительно этой системы. (рис. 1.18) Тогда ее скорость относительно системы будет равна . Время, которое отсчитывается по часам в системе , где частица покоится, будем называть собственным временем и обозначать через . Время, которое отсчитывается наблюдателем в системе будем тогда называть лабораторным временем и обозначать через .

      Если  записать преобразования координат  и времени, то получим:

      будем считать, что  , так как в системе частица покоится. Подставит выражение для в первую формулу: ,

 что  естественно для равномерно и  прямолинейно движущейся в  -системе частицы.

      Из  формулы преобразования времени  тогда получаем: .

.

      Эта формула описывает замедление времени: . Физический смысл этого выражения заключается в том, что в движущейся системе координат время течет медленнее, чем в неподвижной системе наблюдателя (рис. 1.19). Отметим, что если частица движется с ускорением , то для малых отрезков времени это соотношение также будет выполняться и формула будет справедлива:

      Если  в начальный момент времени  часы были синхронизированы, то уже через некоторое время движущиеся со скоростью часы будут запаздывать по отношению к неподвижным часам.

      Имеется множество прямых и косвенных  подтверждений эффекта замедления времени или, как более популярно, эффекта близнецов. Наиболее убедительный способ – с использованием времени жизни космических частиц.

Космические лучи были открыты Гессом  в 1912 г. Гесс рассматривал проблему ионизации в воздухе. Он наблюдал изменения в степени ионизации воздуха с высотой. С увеличением высоты ионизация увеличивалась.

Свинцовый ящик, в который был помещен  электроскоп, поднимали на различную высоту. Подняв ящик на высоту 1400 метров и открыв его, Гесс он увидел, что листочки электроскопа опали. Чем больше высота, тем больше космических лучей разряжают электроскоп.

      Эти лучи состоят в основном из протонов (~90%) и частично из -частиц. Время жизни -мезона . Время жизни -мезона . У поверхности земли или даже под землей обнаруживаются только -мезоны (рис. 1.20). -мезоны сильно взаимодействуют с атомами атмосферы. Длина пробега см. за счет того, что имеет место эффект замедления времени, время жизни у -мезонов увеличивается.

      Ашер в 1972 г. проводил опыт с двумя самолетами, на борту которых были установлены сверхточные часы. В результате у самолета, летящего на восток, часы отставали от тех, которые были на земле.