Уравнение Дуффинга (аттрактор Холмса)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Институт информатики и телекоммуникаций

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Физика. Методы обработки физических данных»

на тему: Уравнение Дуффинга (аттрактор Холмса)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Красноярск 2013

Содержание

 

постановка задачи

 

Пусть дан объект или процесс физической, химической или биологической природы, описывающийся уравнением Дуффинга. Примером таких процессов могут служить движение частицы в плазме, дефект в твёрдом теле или динамика продольного изгиба балки.

 

В этом случае уравнение движения будет иметь вид:

 

.       (1)

 

Цель работы: провести исследование поведения системы при d=0,15; w=0,8 и 0,1£ f £ 0,3.

 

 Данная  область представляет интерес  для исследования, т.к. в ней происходит смена режима движения от периодического к хаотическому.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реализация

Для того чтобы исследовать систему, необходимо решить ее дифференциальное уравнение движение. Аналитически решить такое уравнение невозможно. Преобразуем уравнение так, чтобы его можно было решить известными нам численными методами.

В уравнении (1) сделаем замену:

,          (2)

тогда получим следующую систему уравнений:

.     (3)

Мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Систему такого типа можно решать различными численными методами.

В данной работе использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Его формула в векторной форме представлена ниже:

      (4)

Где h – шаг сетки.

Систему (3) можно записать в виде автономной системы третьего порядка, если ввести . Тогда система примет вид:

.      (5)

Решая задачу Коши численным методом, зафиксируем параметры и . Параметр f  будем варьировать в пределах от 0,1 до 0,3.

Разумно предположить, что, т.к. мы решаем задачу Коши, необходимо состояние системы при начальном времени. Но задача, поставленная исследованием, не ограничивает нас в выборе начальных условий.

Таким образом, исследование заключается в многократном решении задачи Коши, произвольно выбирая начальные условия и границы интервала и варьируя в заданных пределах параметр f.

 

Результаты

  Алгоритм вычислений реализован в среде Mathcad 14.

Первым шагом определим границы переходов между режимами периодического и хаотического движений. Для этого сначала определим начальные условия и границы исследуемого интервала. Я взяла следующие:

 

	a-начало интервала	b- конец интервала	N-количество точек	f	Начальные  условия
Рис.1	-1000	1000	3000	0.1	(0;0)
Рис.2	-1000	1000	3000	0.11	(0;0)
Рис.3	-1000	1000	3000	0.15	(0;0)
Рис.4	-1000	1000	3000	0.2	(0;0)
Рис.5	-1000	1000	3000	0.25	(0;0)
Рис.6	-1000	1000	3000	0.3	(0;0)

 

На рис.1 для получили периодическое движение. Аттрактор имеет вид двойной капли.

 

 

Рисунок 1 – Периодическое движение

 

Стоит немного отойти от заданного значения параметра, мы получим хаотическое движение (рис.2 ). Хаос в движении точки по фазовому пространству наиболее заметен при (рис.3). При таком движении мы имеем странный аттрактор.

 

 

Рисунок 2 –Хаотическое движение

 

 

Рисунок 3 – Странный аттрактор

Наиболее приближенное к периодическому мы имеем движение при (рис.4). Но, при значении опять имеем хаотическое движение.

 

 

Рисунок 4 –

 

 

 

 

Рисунок 5 -

 

При (рис.6) мы снова получили периодическое движение.

 

 

Рисунок 5 -

 

           Теперь посмотрим, как поведение  системы зависит от шага. Будем  варьировать  количество точек на интервале. Зафиксируем .

 

Рисунок 7 -

 

Рисунок 8 -

 

 

Рисунок 9 -

 

Вывод

 

Проведя исследование можно сделать несколько выводов:

 

• На интервале [0.1;0.3] по параметру f  при зафиксированных остальных параметрах система имеет четыре точки перехода между хаотическим и периодическим движениями.

 

 

• Слишком большой шаг ведет к неустойчивости системы и выбросам.

 

 

• При малом по модулю значении мы получаем устойчивый фокус.

 

 

• При отрицательных значениях параметра f, будем получать симметричную относительно оси ординат картину исследований при положительном f.

 

 

• Если мы будем задавать большие значения параметра f ,то снова будем наблюдать хаотическое движение и странный аттрактор.

 

 

 

список литературы

 

1. Попов Е. А. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Физика. Методы обработки физических данных» 2010г.

Интернет источники:

2. http://stu.sernam.ru/book_ex.php?id=115
3. http://www.math.rsu.ru/mexmat/kvm/mme/dsarch/DH.html