Метод непосредственного применения правил Кирхгофа

1. Метод непосредственного  применения правил Кирхгофа.

Расставим произвольно направления  токов в цепи, и выберем произвольным образом направления обхода контура (рис. 1). Составим уравнения для контуров:

контур ABEF: E₁ = I₁(R₁ + R₃) + I₇R₇ - I₄R₄

контур EFGH:  E₅ = I₄R₄ + I₅R₅ + I₆R₆

контур BCHI:  E₁₅ = I₁₅R₁₅ + I₁₀(R₁₀+R₁₁) – I₇R₇ – I₆R₆ + I₈(R₈ + R₁₃)

контур CDIJ:  E₁₆ – E₁₅ = I₁₆(R₁₆ + R₁₄) – I₁₅R₁₅

Подставив значения, получим:

60I₁ + 3I₇ – 8I₄ = 20

8I₄ + 16I₅ + 5I₆ = 18

12I₁₅ + 33I₁₀ – 3I₇ – 5I₆ + 75I₈ = 11

23I₁₆ – 12I₁₅ = 2

Составим пять уравнений для узлов:

узел B:  I₁ – I₇ – I₁₀

узел C:  I₁₀ – I₁₅ – I₁₆

узел E:  I₅ – I₄ – I₁

узел H:  I₆ + I₈ – I₅

узел I:  I₁₅ + I₁₆ – I₈

Решаем систему из девяти линейных уравнений методом Гаусса и находим токи, текущие в цепи.

   I₁          I₄           I₅          I₆           I₇          I₈        I₁₀           I₁₅         I₁₆

 

I₁ = 0,37 А; I₄ = 0,37 А;  I₅ = 0,75 А;  I₆ = 0,61 А;   I₇ = 0,24 А;   I₈ = 0,13 А;

I₁₀ = 0,13 А; I₁₅ = 0,03 А;   I₁₆ = 0,10 А

2. Метод контурных токов.

Имеем четыре контура: ABEF, EFGH, BCHI, CDIJ. Расставим произвольно направление токов в этих контурах (рис. 2). Составим уравнения для контуров:

контур ABEF:  E₁ = I_I(R₁ + R₃) + (I₁ – I_II)R₄ + (I_I – I_III)R₇

контур EFGH: E₅ = I_IIR₅ + (I_II – I_I)R₄ + (I_II – I_III)R₆

контур BCHI:  E₁₅ = I_III(R₁₀ + R₁₁ + R₈ + R₁₃) + (I_III – I_II)R₆ + (I_III – I_I)R₇ + (I_III – I_IV)R₁₅

контур CDIJ:  E₁₆ – E₁₅ = I_IV(R₁₄ + R₁₆) + (I_IV – I_III)R₁₅

Подставив значения, получим:

60I_I + 8I_I – 8I_II + 3I_I – 3I_III = 20

16I_II + 8I_II – 8I_I + 5I_II – 5I_III = 18

108I_III + 5I_III – 5I_II + 3I_III – 3I_I + 12I_III – 12I_IV = 11

23I_IV + 12I_IV – 12I_III = 2

     71I_I – 8I_II – 3I_III = 20

     –8I_I + 29I_II – 5I_III = 18

     –3I_I – 5I_II + 128I_III – 12I_IV = 11

     –12I_III + 35I_IV = 2

Решаем систему из четырех линейных уравнений методом Гаусса и находим значения контурных токов.

    I_I       I_II       I_III        I_IV 

 

I_I = 0,37 А;   I_II = 0,75 A;   I_III = 0,13 A;    I_IV = 0,10 A

Определим значения токов  в ветвях цепи.

I₁ = I_I = 0,37 A

I₄ = I_II – I_I = 0,38 A

I₅ = I_I = 0,75 A

I₆ = I_II – I_III = 0,62 A

I₇ = I_I – I_III = 0,24 A

I₈ = I_III = 0,13 A

I₁₀ = I_III = 0,13 A

I₁₅ = I_III – I_IV = 0,03 A

I₁₆ = I_IV = 0,10 A

 

 

3. Метод эквивалентного  генератора.

Найдем ток в ветви  №1(рис. 3), используя соотношение:

 

где:   E_H – ЭДС нагрузки

Е_Г – ЭДС генератора

R_Н – сопротивление нагрузки

R_Г – сопротивление генератора

Правая часть схемы, обозначенная пунктиром, есть эквивалентный генератор.

E_H = E₁ = 20 В

R_Н = R₁ + R₃ = 60 Ом

Найдем сопротивление  эквивалентного генератора (рис. 4).

 

 

 

Найдем ЭДС эквивалентного генератора. Для этого найдем токи в ветви с сопротивлением R₄ и ветви с сопротивлением R₇ (рис.5), используя метод контурных токов.

контур DFE:  E₅ = I_I(R₄ + R₆ + R₅) – I_IIR₆

контур ABFG:  E₁₅ = I_II(R₁₀ + R₁₁ + R₁₅ + R₁₃ + R₈ + R₆ + R₇) – I_IR₆ – I_IIIR₁₅

контур BCGH:  E₁₆ –E₁₅ = I_III(R₁₅ + R₁₄ +R₁₆) – I_IIR₁₅

     29I_I – 5I_II = 18

     128I_II - 5I_I – 12I_III = 11

     35I_III – 12I_II = 2

Решаем систему из трех линейных уравнений методом Гаусса и находим значения контурных токов.

     I_I      I_II       I_III

 

I_I = 0,64 А;   I_II = 0,12 A;  I_III = 0,10 A;   

Е_Г = I₄·R₄ + I₇·R₇ = I_I·R₄ + I_II·R₇ = 0,64·8 + 0,12·3 = 5,48 B

Тогда при R₁ = 0

 

 при R₁ = 20 Ом

 

при R₁ = 40 Ом

 

4. Проверим правильность  расчета при помощи уравнения  баланса мощностей.

E₁·I₁ + E₅·I₅ + E₁₅·I₁₅ + E₁₆·I₁₆ = I₁²·(R₁ + R₃) + I₄²·R₄ + I₅²·R₅ + I₆²·R₆ + I₇²·R₇ +               + I₁₀²·R₁₀ + I₁₁²·R₁₁ + I₁₅²·R₁₅ + I₈²·R₈ + I₁₃²·R₁₃ + I₁₄²·R₁₄ + I₁₆²·R₁₆

20·0,38 + 18·0,75 + 11·0,03 + 13·0,1 = 0,39²·60 + 0,37²·8 + 0,75²·16 + 0,61²·5 + 0,24²·3+        + 0,13²·24 + 0,13²·9 + 0,03²·12 + 0,13²·22 + 0,13²·53 + 0,1²·13 + 0,1²·10

23 = 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5