Движение тела, брошенного с некоторой высоты под углом к горизонту

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

НИЖНЕВАРТОВСКИЙ ФИЛИАЛ

Кафедра

социально-гуманитарных и естественно-научных  дисциплин

 

 

 

 

 

 

Лабораторная  работа 1-12

Движение  тела, брошенного с некоторой высоты под углом к горизонту.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 выполнил студент группы: ЗЭЭ142НВ

Куранцов А.А.

проверил: Ласица А.М.

 

 

 

1. Основные понятия кинематики материальной точки.

Кинематика - это раздел механики, описывающий  движение тел без выяснения причин, обусловивших это движение. Рассмотрим основные понятия, которыми оперирует кинематика, и взаимосвязь между ними.

Материальная  точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Система отсчета - тело, по отношению к которому рассматривается движение, связанная с ним система координат и прибор для отсчета времени.

Положение материальной точки в данной системе отсчета  в любой момент времени задается радиусом- вектором  , проекции которого на оси декартовой системы координат называются координатами материальной точки х, у, z.

                                                                                       (1)

где - орты декартовых осей координат.

Линия, которую описывает конец радиус-вектора при движении материальной точки, называется траекторией (рис.1).

Расстояние   между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории, называется путем, пройденным материальной точкой. Вектор  , проведенный из начального положения в конечное, называется перемещением.

Тогда  

                    

                                   (2)

 

            

               (3)

 

Очевидно, что при криволинейном движении 

 

                                                       

                                                            (4)

Скорость - кинематическая характеристика, показывающая быстроту движения тела (точки). Различают несколько видов скоростей.

1 .Средняя по модулю скорость (или просто «средняя скорость») - величина, равная отношению пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден:

                                                          

                                                                   (5)

Это скалярная  величина.

2.Средний вектор скорости - величина, равная отношению перемещения тела к промежутку времени за который это перемещение произошло.

                                (6)

Как видно  - вектор, совпадающий по направлению с    (рис. 2). Очевидно, что

          

                              (7)

3. Мгновенная скорость   (или просто "скорость") равна пределу, к которому стремится  средний вектор скорости, когда промежуток времени стремится   к нулю.

                      (8)

 

Таким образом, скорость есть производная радиуса - вектора по времени. При этом скорость характеризует не только быстроту движения тела по траектории, но и направление, в котором оно движется в каждый момент времени. В соответствии с (8) скорость направлена по касательной к траектории в каждой ее точке (рис. 2). При этом, так как  , то модуль мгновенной скорости может быть найден как

                                                       

                                            (9)

Ускорение - векторная  величина, характеризующая быстроту изменения скорости и равная изменению скорости в единицу времени:

                                                                                                      (10)

При криволинейном  движении скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для  того чтобы характеризовать эти  изменения отдельно, ускорение разделяют на две составляющие (рис. 3):

1. тангенциальное  ускорение - составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории и равная изменению модуля скорости в единицу времени:

                                     (11)

2. нормальное ускорение - составляющая ускорения, направленная по нормали к траектории к центру ее кривизны  и показывающая изменение направления скорости в единицу времени:

                                                                     (12)

 

где R - радиус кривизны траектории в данной точке, - единичный вектор нормали. При этом     и так как   , то

                                            (13)

 

 

Основной  задачей кинематики является нахождение закона движения материальной точки, т.е. зависимость ее радиуса- вектора от времени:

                                                   

Зная зависимость  от времени ускорения  и начальные условия (радиус-вектор и скорость точки в некоторый момент времени ), можно решить эту задачу. Из (10) следует, что

                                                 

 

Интегрируя  это выражение, получаем

                                                        

                                                 (14)

Из (8) получаем:

Интегрируя  это равенство, с учетом (14), получим

                    

                  (15)

К вычислению этого интеграла и сводится основная задача кинематики.

 

2. Движение тела в поле силы  тяжести.

 

В лабораторной работе 1-12 проводится модельный эксперимент по исследованию зависимости дальности полета тела в поле силы тяжести от угла бросания в случае, когда точка бросания находится на некоторой высоте над поверхностью Земли.

Рассмотрим  движение тела в поле силы тяжести. Как известно, если пренебречь сопротивлением воздуха и вращением Земли, это равноускоренное движение:  . Если принять = 0, то интегрирование равенства (15) даёт следующее выражение:

а интегрирование равенства (14) приводит к выражению:

Таким образом, параметры состояния материальной точки при таком движении - радиус-вектор и скорость - задаются уравнениями:   

                                              

                                 (16)

Это уравнения  движения в векторной форме.

Известно, что  рассматриваемое движение является плоским (траектория лежит в вертикальной плоскости), поэтому для его описания достаточно системы отсчета с двумя координатными осями х и у. Начало системы отсчета и направление координатных осей выбираются из соображений удобства решения конкретной задачи.

Начальный радиус – вектор  задают с помощью начальных координат и в момент временя t=0; начальный вектор скорости задаётся его модулем  и углом α  между вектором и осью координат х.

B работе № l - 12 точка броска находится на некоторой высоте по отношению к точке падения, поэтому систему отсчета и направление координатных осей рациональнее всего выбрать, как показано на рис. 1. Тогда и первое из уравнений (16) в проекциях на оси х и у будет иметь вид

                                          (17)                                   

                          

Поскольку в  точке падения      , то

         , отсюда

         

 Решение этого уравнения будет таким:

 

                                       

                                   (18)

И подставляя (19) в (18), получим:

                        

                          (19)  

Kaк видно, формула (19) достаточно сложна для анализа, и получить простое выражение для угла , соответствующего максимальной дальности броска, не представляется возможным. Поэтому целью работы   1-12 является экспериментальное исследование зависимости S( ) при постоянных и и определение угла, при котором дальность полета максимальна.

Талица №1

№	t, с	X, м	Y, м	Vx, м/с	Vy, м/с	an, м/с2	aτ, м/с2
1	0,00	0,00	0,00	4,83	-8,37	8,49	4,90
2	0,33	1,58	-2,21	4,83	-5,16	7,16	6,69
3	0,65	3,16	-3,38	4,83	-1,96	3,69	9,08
4	0,98	4,74	-3,49	4,83	1,24	2,44	9,49
5	1,31	6,32	-2,56	4,83	4,45	6,64	7,21
6	1,63	7,90	-0,59	4,83	7,65	8,29	5,23
7	1,96	9,47	2,44	4,83	10,85	8,95	3,99
8	2,29	11,05	6,51	4,83	14,05	9,27	3,19
9	2,61	12,63	11,62	4,83	17,26	9,44	2,64
10	2,94	14,21	17,79	4,83	20,46	9,54	2,25
11	3,27	15,79	25,00	4,83	23,66	9,60	1,96

 

    

Таблица №2

Угол α	-90	-70	-50	-30	-10	10	30	50	70	90
S1	0.00	5.08	10.42	15.08	20.70	25.10	24.41	21.20	12.10	0.00
S2	0.00	5.14	10.45	15.73	21.12	24.36	23.90	20.56	12.05	0.00
S3	0.00	5.23	10.28	16.00	20.41	23.25	23.61	21.19	12.29	0.00
S4	0.00	4.98	10.66	15.27	19.69	24.89	24.42	20.26	12.14	0.00
S5	0.00	5.24	10.65	15.32	21.43	25.17	25.05	20.25	12.12	0.00
<S>	0,00	5,13	10,49	15,48	20,67	24,55	24,28	20,69	12,74	0,00
ΔSi
Sтеор	0,00	5,11	10,4	15,64	20,57	24,06	24,47	20,39	11,67	0,00
V0 =      м/с	α  =     º