Исследование решения дифференциального уравнения параболического типа с использованием разностных схем

 

Министерство  образования и науки

 «ПЕНЗЕНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ  И УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра «Экономической кибернетики »

 

 КУРСОВАЯ РАБОТА

 

По дисциплине

«Численные методы»

 На тему:  

«Исследование решения дифференциального уравнения параболического типа с использованием разностных схем»

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент 3 курса 

гр. 09БЭ2

Дроздкова Ю.С.

______________

   Проверил:

старший преподаватель

Катков С.Н

Пенза 2011

 

 

Содержание

 

Введение 

Глава 1 Теоретическая  часть

1. Явная разностная схема
2. Схема Кранка-Николсона

Глава 2 Постановка задачи

Глава 3 Расчетная  часть

3.1 Математическое описание решения  задачи 

3.2 Алгоритм решения задачи

3.3 Решение задачи в MatLab

Заключение 

Список используемой литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

К дифференциальным уравнениям с частными производными приходим при решении  самых разнообразных задач. Например, при помощи дифференциальных уравнений  с частными производными можно решать задачи теплопроводности, диффузии, многих физических и химических процессов.

Как правило, найти точное решение этих уравнений не удается, поэтому наиболее широкое применение получили приближенные методы их решения. В данной работе ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, а точнее дифференциальными  уравнениями с частными производными второго порядка параболического  типа, когда эти уравнения являются линейными, а искомая функция  зависит от двух переменных

Для решения дифференциальных уравнений  параболического типа существует несколько  методов их численного решения на ЭВМ, однако особое положение занимает метод сеток, так как он обеспечивает наилучшие соотношения скорости, точности полученного решения и  простоты реализации вычислительного  алгоритма. Метод сеток еще называют методом конечных разностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Теоретическая часть

1.1.Явная разностная схема

Одним из наиболее  распространенных численных  методов решения уравнений в  частных производных является метод  сеток  или метод конечных разностей. В методе сеток  область Ω, в  которой необходимо  найти решение  уравнения, прямыми, параллельными осями t=t и x=x, разобьём  на прямоугольные области (рис.1), где x=x+ih, h=x-x/n,  i=0, 1, 2,…,n, t= t+j∆, ∆=t-t/k, j= 0, 1, …,k. Точки, которые лежат на границе Г области Ω называются внешними, остальные точки- внутренними.  Совокупность всех точек называется сеткой Ω величины h  и ∆ - шагами  сетки по x  и t  соответственно.

    Сетка может состоять из клеток разной конфигурации: квадратных, прямоугольных, треугольных и других. После построения сетки исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением во всех внутренних узлах сетки. Затем на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах. Присоединяя граничные условия сеточной задачи к разностным уравнениям, записанных для внутренних узлов, получаем систему уравнений, из которой определяем значения искомого решения во всех узлах сетки.

Нанесем на пространственно-временную область  , конечно разностную сетку ω_h,τ:

 

(10)

 

с пространственным шагом h=l/N и шагом по времени τ=T/K.

 

Рисунок 1 – Сетка Ω для области Ω с границей Г

 

Введем  два временных слоя : нижний ,на котором распределение искомой функции u(x_j,t^k), , известно (при к = 0 распределение определяется начальным условием u(x_j,t^k)=ψ(x_j)), и верхний временной слой t^k+1=(k+1) τ, на котором распределение искомой функции u(x_j,t^k+1), .

Сеточной  функцией задачи называют однозначное отображение целых аргументов j,k в значения функции .

На  введенной сетке вводят сеточные функции  , первая из которых известна, вторая подлежит определению. Для определения в задаче заменяют (аппроксимируют) дифференциальные операторы отношением конечных разностей (более подробно это рассматривают в разделах численных методов «Численное дифференцирование»), получают

 

,(1)

, (2)

 

Подставляя  эти уравнения в задачу, получим явную разностную схему для этой задачи в форме:

 

(3)

В каждом уравнении этой задачи все  значения сеточной функции известны, за исключением одного, , которое может быть определено явно из соотношений (1). В соотношения (3) краевые условия входят при значениях j=1 и j=N-l, a начальное условие – при k = 0.

 

Шаблоном  конечно-разностной схемы называют ее геометрическую интерпретацию на конечно-разностной сетке. На рисунке  приведены шаблоны для явной  и неявной конечно-разностных схем при аппроксимации задачи.

 

Рисунок 2 - Шаблон явной  двухслойной разностной схемы

В случае явных схем значения функции  в узле очередного слоя можно найти, зная значения в узлах предыдущих слоев. Для проведения вычислений самой  простой схемой оказывается первая: достаточно на основании начального условия найти значения функции  в узлах слоя , чтобы в дальнейшем последовательно определять значения решения в узлах слоев и т.д. В случае второй схемы, которая является неявной, обязательно приходится решать систему уравнений для нахождения решения сеточной задачи. В любом случае согласно методу сеток будем иметь столько уравнений, сколько имеется неизвестных (значения искомой функции в узлах). Число неизвестных равно числу всех узлов сетки. Решая систему уравнений, получаем решение поставленной задачи.

Разрешимость  этой системы для явных схем вопросов не вызывает, так как все действия выполняются в явно определенной последовательности. Важным вопросом является вопрос о том, на сколько найденные решения хорошо (адекватно) отражают точные решения, и можно ли неограниченно сгущая сетку (уменьшая шаг по осям) получить приближенные решения, сколь угодно близкие к точным решениям? Это вопрос о сходимости метода сеток. При решении параболических уравнений с помощью явной разностной схемы основной проблемой    является устойчивость решения и правильный выбор шага по t , удовлетворяющего соотношению.

 

1.2.Схема Кранка-Николсона

Для  решения одномерных( по пространственной координате)  уравнений можно использовать метод конечных разностей, однако применимость данного метода ограничена из-за его условий устойчивости. Поэтому на практике  гораздо чаще используется безусловно устойчивая неявная схема Кранка- Николсона, основанная на численных приближениях для решений в промежуточной точке (x, t + t/2), где t -  шаг по времени. Постановка задачи в общем виде включает уравнение

  u = (x,t)= D u (x,t)+ g( x,t),  0≤ x≤ L, 0≤t <t (1) c начальным условием  u (x, 0)= f(x), 0≤x≤ L, t=0 (2)я решения параболическое дифференциальное уравнение конечная разность

Явная разностная схема, записанная в форме

 

 (3)

 

обладает  тем достоинством, что решение  на верхнем временном слое t_k+l получается сразу (без решения СЛАУ) по значениям сеточной функции на нижнем временном слое t^k, где решение известно (при k = 0 значения сеточной функции формируются из начального условия). Но эта же схема обладает существенным недостатком, поскольку она является условно устойчивой. С другой стороны, неявная конечно-разностная схема, записанная форме

       (4)

приводит  к необходимости решать СЛАУ, но зато эта схема абсолютно устойчива.

Проанализируем  схемы (21) и (22). Пусть точное решение, которое неизвестно, возрастает по времени, т.е. . Тогда, в соответствии с явной схемой (3), разностное решение будет заниженным по сравнению с точным, так как определяется по меньшим значениям сеточной функции на предыдущем временном слое, поскольку решение является возрастающим по времени.

Для неявной схемы (4) на возрастающем решении, наоборот, решение завышено по сравнению с точным, поскольку оно определяется по значениям сеточной функции на верхнем временном слое.

На  убывающем решении картина изменяется противоположным образом: явная  конечно-разностная схема завышает решения, а неявная - занижает (Рисунок 4).

На  основе этого анализа возникла идея о построении более точной неявно-явной  конечно-разностной схемы с весами при пространственных конечно-разностных операторах, причем при измельчении  шагов тик точное (неизвестное) решение  может быть взято в «вилку»  сколь угодно узкую, так как если явная и неявная схемы аппроксимируют дифференциальную задачу и эти схемы  устойчивы, то при стремлении сеточных характеристик τ и h к нулю решения по явной и неявной схемам стремятся к точному решению с разных сторон.

Рисунок 4 – Двусторонний метод аппроксимации

 

Проведенный анализ дал блестящий пример так  называемых двусторонних методов, исследованных  В. К. Саульевым

Рассмотрим  неявно-явную схему с весами для простейшего уравнения:

 

  (5)

 

где θ – вес неявной части конечно-разностной схемы,

θ-1 – вес для явной части

Причем  . При θ=1 имеем полностью неявную схему, при θ=0 – полностью явную схему, а при θ=1/2 – схему Кранка- Николсона.

В соответствии с гармоническим анализом для схемы (5) получаем неравенство

 

,

 

откуда

(6)

 

причем  правое неравенство выполнено всегда.

Левое неравенство имеет место для  любых значений σ, если . Если же вес θ лежит в пределах , то между σ и θ из левого неравенства устанавливается связь

 

  (7)

 

являющаяся условием устойчивости неявно-явной схемы с весами (5), когда вес находится в пределах .

Таким образом, неявно-явная схема с  весами абсолютно устойчива при и условно устойчива с условием (7) при .

Рассмотрим  порядок аппроксимации неявно-явной  схемы с весами, для чего разложим в ряд Тейлора в окрестности  узла (x^j,t_k) на точном решении значения сеточных функций по переменной t, , по переменной х и полученные разложения подставим в (5):

 

 

В этом выражении дифференциальный оператор от квадратной скобки в соответствии с дифференциальным уравнением равен дифференциальному оператору , в соответствии с чем вышеприведенное равенство приобретает вид

 

 

После упрощения получаем

 

,

 

откуда  видно, что для схемы Кранка-Николсона (θ = 1/2) порядок аппроксимации схемы (23) составляет , т.е. на один порядок по времени выше, чем для обычных явных или неявных схем. Таким образом, схема Кранка-Николсона при θ = 1/2 абсолютно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации по времени и пространственной переменной х.

Используем  в уравнение (5) подстановку r=a^2k/h². Но в то же время его нужно решить для трех "еще не вычисленных" значений , , и . Это возможно, если все значения перенести в левую часть уравнения. Затем упорядочим члены уравнения (5) и в результате получим неявную разностную формулу

 

   (8)

для i=2,3,…,n-1. Члены в правой части формулы (8) известны. Таким образом, формула (26) имеет вид линейной трехдиагональной системы АХ=В. Шесть точек, используемых в формуле Кранка-Николсона (8), вместе с промежуточной точкой решетки, на которой основаны численные приближения, показаны на рисунке 5.

 

Рисунок 5 – Шаблон (схема) метода Кранка-Николсона

 

Иногда  в формуле (8) используется значение r=1. В этом случае приращение по оси t равно , формула (8) упрощается и принимает вид

 

, (9)

 

для i=2,3,…,n-1. Граничные условия используются в первом и последнем уравнениях (т. е. в и соответственно).

Уравнения (9) особенно привлекательны при записи в форме трехдиагональной матрицы АХ = В.

Если  метод Кранка-Николсона реализуется  на компьютере, то линейную систему  АХ = В можно решить либо прямым методом, либо итерационным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Постановка задачи

 

Исследовать численное решение уравнения вида:

при начальном и краевых условиях:

 

 

Исследовать устойчивость явной разностной схемы при шагах сетки h = 0,1 и менее  различных временных шагах t.

Сравнить с результатом решения по схеме Кранка-Николсона. Контрольное решение задачи имеет вид: ,

и(x,t) = е~^7г2'.

Шаг по пространственной переменной выбирать от 0,1. Исследовать точность и устойчивость явной разностной cхемы.