Портфельная теория Марковица

Наибольшей  проблемой, препятствующей активным менеджерам, является недостаток информации. Даже наиболее способные из них совершают  многочисленное количество ошибок при  выборе ценных бумаг. Менеджеры, работающие на рынке обыкновенных акций, которые превышают эталонную доходность (после всех выплат и издержек) на 1-2 процентных пункта ежегодно, рассматриваются как исключительно эффективные исполнители. Менеджеры с недостатком квалификации (под квалификацией в данном случае подразумевается умение точно прогнозировать доходность ценных бумаг) будут в проигрыше по сравнению с эталоном, т.к. их гонорары и операционные издержки уменьшают доходность. Так как результаты инвестиционных решений активного менеджера являются неопределенными, их доходность относительно эталонной меняется в течение времени. Активный риск и активная ожидаемая доходность может быть исключен, если включить в портфель все ценные бумаги в тех же долях, в которых они входят в установленный эталонный портфель. Пассивные менеджеры следуют этому подходу. Активные менеджеры принимают на себя активный риск, когда их портфель отличается от эталонного. Рациональные и искусные активные менеджеры идут на активный риск когда они ожидают роста активной доходности.

Теперь становится ясной суть проблемы выбора портфеля для активного менеджера. Его  не волнует соотношение ожидаемой  доходности портфеля и стандартного отклонения. Скорее менеджер выбирает между более высокой ожидаемой  активной доходностью и более  низким активным риском. Данный процесс требует предположений о способностях менеджера к предсказанию доходности ценных бумаг. Имея такую информацию, можно построить для данного менеджера эффективное множество (исходя из ожидаемой активной доходности и активного риска), которое показывает комбинации наивысшей активной доходности на единицу активного риска и наименьшего активного риска на единицу ожидаемой активной доходности. Эффективное множество более искусных менеджеров будет находиться выше и левее эффективного множества их менее квалифицированных коллег.

Кривые безразличия, аналогичные рассматриваемым в  классической теории выбора портфеля, отражают различные комбинации активного  риска и активной доходности, которые  менеджер считает равноценными. Крутизна наклона кривых безразличия отражает степень избегания риска инвестором и имеет непосредственное отношение к оценке менеджером реакции клиентов на различные результаты своей деятельности.

Оптимальной комбинацией  активного риска и активной доходности менеджера является та точка на эффективном множестве, в которой одна из кривых безразличия касается данного множества. Мы можем рассматривать данную точку как желаемый уровень агрессивности менеджера в реализации его прогнозов доходности ценных бумаг. Менеджеры (и их клиенты) с большей степенью избегания риска выберут портфель с меньшим уровнем активного риска, а менеджеры и их клиенты, в меньшей степени избегающие риска, выберут портфель с более высоким уровнем активного риска.

2.3 Определение  структуры и местоположения эффективного множества

 

Ранее было отмечено, что существует бесконечное число  портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, которые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Марковица представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие бесконечного числа точек на ней. Это означает, что существует бесконечное количество эффективных портфелей! Как может быть использован подход Марковица, если инвестору необходимо определить структуру каждого из бесконечного числа эффективных портфелей? К счастью, Марковиц видел эти потенциальные проблемы и внес основной вклад в их преодоление, представив метод их решения. Он включает в себя алгоритм квадратического программирования, известный как метод критических линий.

Для начала инвестор должен оценить вектор ожидаемых  доходностей и ковариационную матрицу. Затем через алгоритм определяется количество "угловых" портфелей, которые связаны с ценными  бумагами и полностью описывают  эффективное множество. "Угловой" портфель - это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных "угловых" портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя "угловыми" портфелями.

Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей ожидаемой доходностью. Данный портфель является эффективным портфелем. Он состоит только из одной ценной бумаги с наибольшей ожидаемой доходностью. То есть если инвестор хочет приобрести данный портфель, все, что он должен сделать, это купить акции компании с наивысшей ожидаемой доходностью. Любой другой портфель будет иметь меньшую ожидаемую доходность, так как в конечном счете часть фондов инвестора будет помещена в акции других компаний, имеющих ожидаемую доходность ниже.

Затем алгоритм определяет второй "угловой" портфель. Данный портфель располагается на эффективном  множестве ниже первого "углового" портфеля. Говоря о первом и втором "угловых" портфелях, важно отметить, что они являются смежными эффективными портфелями и любой эффективный портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя данными, будет представлять собой просто комбинацию их составов.

Определив второй "угловой" портфель, алгоритм затем  определяет третий. Как и два предыдущих, данный "угловой" портфель является эффективным. Поскольку второй и третий портфели являются смежными, то любая их комбинация является эффективным портфелем, лежащим в эффективном множестве между двумя данными.

Ранее отмечалось, что только комбинация "угловых" смежных портфелей может дать эффективный портфель. Это означает, что портфели, представляющие собой комбинацию двух несмежных "угловых" портфелей, не будут принадлежать эффективному множеству. Например, первый и третий "угловые" портфели не являются смежными, следовательно, любой портфель, представляющий собой комбинацию двух данных, не будет являться эффективным. Далее алгоритм определяет состав четвертого "углового" портфеля. Определив данный портфель, имеющий наименьшее стандартное отклонение из всех достижимых портфелей, алгоритм останавливается. Четыре "угловых" портфеля полностью описывают эффективное множество, связанное с предложенными акциями. После того как были определены структура и местоположение эффективного множества Марковица, можно определить состав оптимального портфеля инвестора. Портфель соответствует точке касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством. Процедура определения состава оптимального портфеля начинается с графического определения инвестором уровня его ожидаемой доходности.

Проведя данную операцию, инвестор теперь может определить два "угловых" портфеля с ожидаемыми доходностями, "окружающими" данный уровень. То есть инвестор может определить "угловой" портфель, который имеет  ближайшую ожидаемую доходность, большую, чем у данного портфеля и "угловой" портфель с ближайшей, меньшей ожидаемой доходностью.

Таким образом:

1. Эффективное  множество содержит те портфели, которые одновременно обеспечивают  и максимальную ожидаемую доходность  при фиксированном уровне риска,  и минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности.

2. Предполагается, что инвестор выбирает оптимальный  портфель из портфелей, составляющих  эффективное множество.

3. Оптимальный  портфель инвестора идентифицируется  с точкой касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством.

4. Предположение  о вогнутости эффективного множества  следует из определения стандартного  отклонения портфеля и из существования  финансовых активов, доходности  которых не являются совершенно  положительно или совершенно  отрицательно коррелированными.

5. Диверсификация  обычно приводит к уменьшению  риска, так как стандартное  отклонение портфеля в общем  случае будет меньше, чем средневзвешенные  стандартные отклонения ценных  бумаг, входящих в портфель.

6. Соотношение  доходности ценной бумаги и доходности на индекс рынка известно как рыночная модель.

7. Доходность  на индекс рынка не отражает  доходности ценной бумаги полностью.  Необъясненные элементы включаются  в случайную погрешность рыночной  модели.

8. Уровень наклона  в рыночной модели измеряет чувствительность доходности ценной бумаги к доходности на индекс рынка. Коэффициент наклона носит название "бета"-коэффициент ценной бумаги.

9. В соответствии  с рыночной моделью общий риск  ценной бумаги состоит из рыночного  риска и собственного риска.

10. Вертикальное  смещение, "бета"-коэффициент и  случайная погрешность портфеля  являются средневзвешенными значениями  смещений, "бета"-коэффициентов  и случайных погрешностей ценных  бумаг, входящих в портфель, причем  вес каждой бумаги равен ее  доле в общей стоимости портфеля.

11. Диверсификация  приводит к усреднению рыночного  риска.

12. Диверсификация  может значительно снизить собственный  риск.

 

Заключение

 

Инвестиционная  деятельность всегда связана с рисками. Ее успешное осуществление во многом зависит от того, насколько удастся выполнить задачу нахождения оптимального соотношения доходности и риска, квалифицированно управлять рисками.

Последовательность  действий по регулированию риска  включает: идентификацию рисков, возникающих  в связи с инвестиционной деятельностью; выявление источников и объемов информации, необходимых для оценки уровня инвестиционных рисков; определение критериев и способов анализа рисков; разработку мероприятий по снижению рисков и выбор форм их страхования; мониторинг рисков с целью осуществления необходимой корректировки их значений; ретроспективный анализ регулирования рисков.

Портфельные инвестиции - основной источник средств для  финансирования акций, выпускаемых  предприятиями, крупными корпорациями и частными банками. В последнее время объем таких инвестиций растет, что свидетельствует об увеличении количества частных инвесторов. Посредниками же при зарубежных портфельных инвестициях в основном выступают инвестиционные банки. На движение данного вида инвестиций оказывает влияние разница в норме процентных ставок, выплачиваемых по различным ценным бумагам.

В начале 50-х  годов Гарри Марковиц описал решение  данных проблем. Используя математический метод, известный как квадратичное программирование, инвестор может обработать ожидаемые доходности, стандартные отклонения и ковариации для определения эффективного множества. Имея оценку своих кривых безразличия, отражающую их индивидуальный допустимый риск он может затем выбрать портфель из эффективного множества.

 

Расчетная (практическая) часть

 

Задача:

Облигация со сроком погашения через 15 лет (n=15) и ставкой купона 3% (k = 0,03) была куплена через 2 года после выпуска.

По какой  цене была куплена облигация, если норма  доходности инвестора была равна 12% (r=0,12). Какова будет стоимость этой облигации через год, если рыночная ставка (норма доходности) упадет до 8%.

Решение:

1. Определим  цену облигации, купленной через  2 года после выпуска, принимая  номинал за 1 (N=1).

 

PV = = 0,415 или 41,5%,

 

2. Определим  цену облигации, купленной через 3 года после выпуска, принимая номинал за 1 (N=1) при r1=0,08.

 

PV = = 0,6113 или 61,13%,

 

Задача:

По акции "Р" выплачен текущий дивиденд в размере 3,00 (D=3,0). Ожидается, что со следующего года рост дивидендов в течение 3 лет составит 20%, после чего снизится до среднеотраслевого уровня в 8%.

Определите  стоимость акции на текущий момент, если норма доходности равна: а) 15%; б) 20%.

Решение:

1. Определим  стоимость акции при Y=0.15 применяя  комбинацию модели дисконтирования дивидендов и модели постоянного роста Гордона-Шапиро:

 

Р= ;

Р = 30,4

 

2. Определим  стоимость акции при Y=0.2 применяя  комбинацию модели дисконтирования  дивидендов и модели постоянного  роста Гордона-Шапиро:

 

Р = 30,0

 

Задача:

Предположим, что  текущая рыночная доходность составляет Е (Rм) =16%, а безрисковая ставка RF=10%. Ниже приведены доходности и бета-коэффициенты акций А, В и С.

 

Вид актива	Доходность (в%)
А	16%	1,2
В	19%	1,4
С	13%	0,75

 

а) Какие из акций  являются переоцененными согласно САРМ;

б) Какие из акций  являются недооцененными согласно САРМ;

в) Дайте графическую  иллюстрацию ответу.

Решение:

1. Рассмотрим  значение доходности акции по  модели САРМ в виде уравнения характерной линии ценной бумаги: Е (Rt) = RF + i [Е (RM) - RF]

2. Ожидаемая  доходность акции А: Е (RА) = 10 + 1,2 [16 - 10] = 17,2; заявленная доходность акции А - 16%, следовательно акция является недооцененной согласно САРМ;