Основы финансовой математики

                                       ^k=1

                                   = (1+r) *               Ck* FM2(r, k)                                 (2.7) 
 

                                          или: 

P_pre= P_pst * (1+r) 

     Если  в предыдущей задаче предположить, что исходный денежный поток пренумерандо, то его приведённая стоимость  будет равна: P_pre = 44,97*1,12 = 50,37 тыс. руб. 

3. Оценка аннуитетов 

     Аннуитет  представляет собой частный случай денежного потока.

     Известны два подхода к его определению:

     ● первый: аннуитет представляет собой  однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы.

     ● второй: накладывает дополнительные ограничения, а именно элементы потока одинаковы по величине. В дальнейшем мы будем придерживаться именно второго  подхода.

     Если  число временных интервалов ограничено, то аннуитет называется срочным. В этом случае:

                             С₁ = С₂ = …………….. = С_n = A 

     Выделяют  два типа аннуитетов: постнумерандо и пренумерандо.

     Примером  аннуитета постнумерандо являются регулярно поступающие рентные  платежи за пользование сданным  в аренду земельным участком в  случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода.

     В качестве аннуитета пренумерандо выступает  схема периодических денежных вкладов  на банковский счёт в начале каждого  месяца с целью накопления достаточной  суммы для крупной покупки.

     Аннуитет  называют финансовой рентой или рентой. Любое денежное поступление называется членом ренты, а величина постоянного временного интервала между двумя последовательными денежными поступлениями называется периодом аннуитета (периодом ренты). 

3.1. Оценка аннуитета  постнумерандо 

     Прямая  задача. Определение будущей стоимости аннуитета постнумерандо при заданных величинах регулярного поступления А и при процентной ставке r основывается на использовании формулы 2.3, которая трансформируется следующим образом:

                          _n

F^a_pst = A *                (1+r)^n-k   = A * FM3 (r, n),                                            (2.8) 

                          _k=1   

где FM3 (r, n) – мультиплицирующий множитель для аннуитета, или коэффициент наращения аннуитета (ренты):

                                              (1+r)ⁿ  - 1

              FM3 (r, n) =                   r                                                                   (2.9) 

     Экономический смысл мультиплицирующего множителя  FM3 (r, n) заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу к концу срока его действия. Предполагается, что производится только начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Из формулы 2.8 следует, что FM3 (r, n) показывает во сколько раз сумма аннуитета больше денежного поступления А. в связи с этим множитель FM3 (r, n) называют ещё коэффициентом аккумуляции вкладов.

     Пример. Вам предлагают сдать в аренду участок на три года, выбрав один из вариантов оплаты аренды:

                 а) 10 тыс. руб. в конце каждого  года;

                 б) 35 тыс. руб. в конце трехлетнего  периода.

     Какой вариант предпочтительнее, если банк предлагает по вкладам 20% годовых?

     Первый  вариант оплаты – это аннуитет постнумерандо при n = 3 и  А = 10 тыс. руб.

     В этом случае имеется возможность  ежегодного получения арендного  платежа и инвестирования полученных сумм на условиях 20% годовых, если вложить  эти средства в банк. К концу трёхлетнего периода сумма будет равна:

F^a_pst =  A * FM3 (r, n) = 10* FM3 (20%, 3) = 10*3,640 = 36,4 тыс. руб.

     Таким образом, расчёт показывает, что вариант  а) более выгоден. 

     Обратная  задача. Формула для расчёта  текущей стоимости аннуитета постнумерандо P^a_pst выводится из формулы 2.4. и имеет вид:

                                _n

                                       1

    P^a_pst =  A *            (1+r)^k   = A * FM4 (r, n),                                            (2.10)

                          _k=1   
 

где FM4 (r, n) – дисконтирующий множитель для аннуитета, или коэффициент дисконтирования аннуитета (ренты), который рассчитывается по формуле:

                                _n

                                      1        

        FM4(r, n) =              (1+r)^k           

                          _k=1 

или:

                               1 - (1+r)^-n

   FM4(r, n) =               r            .                                                                     (2.11) 

     Экономический смысл дисконтирующего множителя  FM4(r, n) заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы, продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r.

   FM4 (20%, 3) = 2,106; поэтому P^a_pst = 10*2,106 = 21, 06 тыс. руб. 

3.2. Оценка аннуитета  пренумерандо 

     Соответствующие расчётные формулы для аннуитета  пренумерандо можно вывести из формул 2.6 и 2.7.

     Так будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле: 

          F^A_pre =   F^A_pst   * (1+r) = A*FM3(r, n) * (1+r)                                      (2.12)

                                                   (1+r)ⁿ  - 1

       или:          F^A_pre = A *                r                  * (1+r)                                        (2.13)

     Настоящая стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле:

          

            P^A_pre= P^A_pst * (1+r) = A * FM4(r,n)*(1+r)                                         (2.14)

или:

            P^A_pre = A *     1- (1+r) ^–n

                                            r            * (1+r)                                                     (2.15)

 

     Пример. Ежегодно в начале года в банк делается взнос в размере 10 тыс. руб. банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счёте через 3 года?

     Решение. В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо. Нам нужно найти будущую сумму по формуле (2.12):

     F^a_pre = 10*(1+0,2)*FM(20%, 3) = 10*1,2*3,640 = 43,68 тыс. руб. 

     Пример. Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно безопасно депонировать деньги в банк из расчёта 12% годовых?

     Решение. Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. Определим сначала, что получим, если депонируем деньги в банк:

        F₅ = P* (1+r)⁵ = 100*(1+0,12)⁵ = 176,23 тыс.руб.

       При рассмотрении альтернативного варианта, можно предположить, что возвращаемые суммы по 20 тыс.р. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив, то можно депонировать в банк. Предположим, что вложения будем делать в конце периода, т.е. получим аннуитет постнумерандо с А=20, n=5, r=12%.

     F^a_pst =  20 * FM3 (12%, 5)+30 = 20*6,353 + 30 = 157,06 тыс. руб.

     Таким образом, предложение нецелесообразно, так как 176,23 тыс. руб. > 157,06 тыс. руб.  

4. Анализ доступности ресурсов к потреблению в условиях рынка 

     Одной из типовых задач, решаемых на практике с помощью методов дисконтирования, является прогнозный анализ фондов, доступных к потреблению.

     Аналитик  оценивает свои возможные доходы, а также целесообразность предоставления или, наоборот, получения кредита. Анализ производится в условиях свободного рынка, который предполагает существование возможности размещения временно свободных денежных средств путём предоставления кредита или депонирования их в банке на депозитных счетах, а также возможности получения финансовых ресурсов в требуемых объёмах.

     При проведении финансовых и коммерческих расчётов необходимо учитывать следующие  моменты:

1. проводя количественное обоснование той или иной финансовой операции, необходимо контролировать соответствие % ставки продолжительности базисного периода;
2. необходимо отдавать отчёт в том, в каких единицах (% или долях единицы) следует включать в расчёт данные о % ставках;
3. реальная эффективность финансовой сделки характеризуется эффективной годовой % ставкой, но во многих контрактах указывается номинальная ставка, которая отличается от эффективной;
4. заключая контракт, целесообразно уточнять, о какой ставе идёт речь (%, учётной, эффективной);
5. ни одна из схем начисления % не является универсальной и пригодной на все случаи жизни, всё зависит от конкретных обстоятельств;
6. при анализе денежных потоков в большинстве случаев его элементы не могут быть просуммированы непосредственно, должен учитываться фактор времени;
7. начало денежного потока  момент, на который делается оценка, могут не совпадать;
8. приведение денежных потоков в сравнительном анализе в принципе можно делать по отношению к любому моменту времени, однако выбирается либо начало, либо конец периода действия.