Основы финансовой математики

Тема 2. Основы финансовой математики

1. Виды денежных потоков

 

     Рассмотрим  денежный поток С₁, С₂, ……., С_n,  генерируемый в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования какого-либо вида актива. Элементы потока могут быть независимыми, либо связанными между собой определёнными алгоритмом.

       Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Для простоты изложения материала предполагается, что все элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттоков  и притоков денежных средств.

     Денежный  поток пренумерандо (или авансовый) – это денежный поток, у которого все поступления, генерируемые в рамках одного временного периода, сконцентрированы в его начале (рис. 2.1).

     Денежный  поток постнумерандо – это денежный поток, у которого все поступления сконцентрированы в его конце, т.е. денежные потоки сконцентрированы на одной из границ, а не распределены внутри (рис. 2.1). 

   

  0      1         2        3        4       5      6          0     1       2         3        4        5        6    

 Поток пренумерандо                                              Поток постнумерандо   

     (авансовый) 
 

Рис 2.1.    Виды денежных потоков 

     На  практике наибольшее распространение  получил поток постнумерандо, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов.  Объяснение этому можно дать исходя из общих принципов бухгалтерского учёта, согласно которым принято производить итоги и оценивать финансовый результат по окончании отчётного периода.

     Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

     Оценка  денежного потока может выполняться  в рамках решения двух задач:

     1. Прямой, т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения).

     Данная  задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в его основе лежит будущая  стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления % на вложенный капитал (Р) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула:    

                                        

                                            F_n = Р * (1+r) ⁿ,                                                 (2.1) 

где     F_n – будущая стоимость;

           Р – текущая стоимость;

           r – норма доходности;

           n – количество лет вложения капитала.  

     2. Обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

     Данная  задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведённого) денежного  потока.

     Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные  интервалы, а деньги имеют временную  ценность, непосредственное их суммирование невозможно. Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется с помощью формулы:

                                           F_n

                      Р_n      =                                                                                              (2.2)                                                                                                                                                                                                

                                          (1 + r)ⁿ   , 

где r – ставка дисконтирования (в долях единицы). 

2. Оценка денежных  потоков с неравными  поступлениями 

     Ситуация, когда денежные потоки по годам варьируют, является наиболее распространенной.

       Пусть С₁, С₂,…………., С_n – денежный поток;

        r – ставка дисконтирования.

     Поток все элементы которого с помощью  дисконтирующих множителей приведены  к одному моменту времени, называется приведённым.

     Требуется найти будущую стоимость данного  денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.

2.1. Оценка потока постнумерандо

     Прямая  задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода n, когда реализуется схема наращения:     

             

     С₁ *(1+r)ⁿ‾¹, С₂ *(1+r)ⁿ‾²,…………С_n-1 * (1+r),  С_n     

     И  будущая стоимость F_pst исходного денежного потока постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений:

                                  ⁿ                        

                 F_pst =               Ck  * (1+r)ⁿ‾ ^k                                                                                     (2.3)

                                 k = 1                                                                                       

     Обратная     задача подразумевает   оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода О. в этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчёты необходимо вести по приведённому потоку.

           Приведённый денежный поток для  исходного потока постнумерандо  имеет вид: 

                        С₁             С₂                             С_n

                        1+r   ,      (1+r)² , ……………,  (1+r)ⁿ 
 

     Приведённая стоимость денежного потока постнумерандо Р_pst может быть рассчитана следующим образом: 
 

                                     ⁿ                   

                 Р_pst =                        С _k                                                                     (2.4)                                          

                                                (1+r)^k                                                                  

                                                 k = 1              

     Если  использовать дисконтирующий множитель, то формулу (2.4) можно представить  в следующем виде:

                                 ⁿ                   

                 Р_pst =                    С _k * FM2 (r, k) ,                                               (2.5)                                          

                                                                                                                 

                                                 k = 1      

     

где     FM2 (r, k) – дисконтирующий множитель 2, который равен:

                                                   1

                      FM2 (r, k) =    (1+r)^k        

     Пример. Рассчитать приведённую стоимость денежного потока постнумерандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25., если ставка дисконтирования r = 12% годовых.

     Для решения воспользуемся данными  специальной таблицы, которые можно  найти в учебниках и практикумах  по финансовому менеджменту (Ковалёв В.В. Введение в финансовый менеджмент и др.). Подставим данные из таблицы в формулу 2.5 и получим приведённый денежный поток.

 

2.2. Оценка потока  пренумерандо 

     Логика  оценки денежного потока в этом случае аналогична рассмотренной выше. Некоторое расхождение в вычислительных формулах объясняется сдвигом элементов потока к началу соответствующих подинтервалов.

     Для прямой задачи  расчёт будущей стоимости исходного денежного потока пренумерандо будет осуществляться по формуле:

                     F_pre =                  C_k* (1+r)^n-k+1                                                                              (2.6) 
 

                                             или: 

                                  F_pre = F_pst *(1+r) 

     Для обратной задачи расчёт приведённой стоимости потока пренумерандо в общем виде может быть определена по формуле:

                                    

                                        ⁿ

                    P_pre =                     Ck            =                     

                                                            (1+r)^k-1