Застосування математичних лінійних моделей та крутого сходження з метою підвищення властивостей сталі 25ХГМ

1. Для вычисления дисперсии sy2 воспроизводимости эксперимента выполняют несколько параллельных опытов в нулевой точке (в центре плана). При постановке опытов в нулевой точке все факторы находятся на нулевых уровнях. По результатам опытов в центре плана вычисляют дисперсию sy2 воспроизводимости эксперимента

где n0 -число параллельных опытов в нулевой точке; уu - значение параметра оптимизации в u-м опыте; у — среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n0 параллельных опытах.

2. Закончив эксперимент, вычисляют  коэффициенты модели. 
Свободный член bo определяют по формуле

Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты, 
вычисляют по выражению

Коэффиценты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия, определяют по формуле

где i, l — номера факторов; j — номер строки или опыта в матрице планирования; уj — значение параметра оптимизации в j- м опыте; xij xlj кодированные значения (±1) факторов i и l в j-м опыте.

3. Проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. Проверку значимости коэффициентов можно производить двумя способами: 1) сравнением абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом; 2) с помощью (критерия.

При проверке значимости коэффициентов первым способом для 
определения доверительного интервала вычисляют дисперсии коэффициентов регрессии по выражению

где s2{bi] — дисперсия i-го коэффициента регрессии; N - число 
строк или опытов в матрице планирования.

Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала. При проверке значимости коэффициентов вторым 
способом вычисляют критерий tp

4. Определяют дисперсию S2а   адекватности по формуле

где yi - наблюденное значение параметра оптимизации в j- м  опыте;              уj -значение параметра оптимизации, вычисленное по модели 
для условий j- го опыта; f— число степеней свободы, которое для 
линейной модели определяется по выражению f=N-(к+1), где к — число факторов.

5. Проверяют гипотезу адекватности  модели по F-критерию.

Если FР<FТ для принятого уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы, то модель считают адекватной. При FР>FТ гипотеза адекватности отвергается. В этом случае для получения адекватной модели принимают одно из следующих решений: 1) переходят к планированию второго или более высокого порядка; 2) уменьшают интервалы варьирования и ставят новый эксперимент, повторяя эти действия до получения адекватной линейной модели.

Если линейная модель адекватна, то переходят к методу крутого восхождения. Необходимо заметить, что крутое восхождение эффективно тогда, когда все коэффициенты при факторах значимы. Незначимость некоторых коэффициентов может получиться вследствие неудачно выбранных интервалов варьирования; включения факторов, не влияющих на параметр оптимизации: большой ошибки опыта.

Принятие решения в данной ситуации зависит от того, какая их трех гипотез выбрана. Если принята первая гипотеза, то изменяю интервалы варьирования по незначимым факторам и ставят новую серию опытов. Если принята вторая, то не влияющие факторы стабилизируют и исключают из опытов. Если принята третья гипотеза, то увеличивают число параллельных опытов.   Увеличение числа этих опытов приводит к уменьшению дисперсии коэффициентов и величины доверительного интервала, в результате все или часть коэффициентов могут оказаться значимыми. Возможен случай, когда 
все коэффициенты, кроме b0, незначимы, а модель адекватна. Такая ситуация чаше всего возникает из-за слишком узких интервалов варьирования или вследствие большой ошибки опыта. В этой ситуации возможны два решения; 1) расширение интервалов варьирования или 2) повышение точности эксперимента путем улучшения методики проведения опытов и увеличения числа параллельных опытов.

 

3.ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Причинами  для проведения оптимизации состава стали с использованием методик математического моделирования являются:

1) повышение точности химического состава выплавки;

2) оптимизация химического состава  материала;

3) зависимость химического состава  и механических свойств от  условий эксплуатации;

4) возможность получения прибыли  за счет повышения качества  стали.

В таблице 3.1 приведены условия проведения эксперимента. Факторы выбирают с учетом их влияния на характеристику, которую определяют, то есть предел текучести. Нулевой уровень определяют как среднее значение интервала варьирования

Таблиця 3.1 –Условия проведения эксперимента

Фактори	Код	-1	0	+1	Предел текучести, МПа
Концентрація вуглецю, %	X1	0,23	0,26	0,29	1079
Температура гартування, °С	X2	850	860	870	1080
Температура відпуску, °С	X3	180	190	200	1077
Міцність, Мпа	X4	1100	1150	1200	1076

 

Разрабатываем математическую модель, в которой отображается зависимость между факторами и пределом текучести. Поскольку для оптимизации стали было выбрано 4 фактора, то можна определить, что для выполнения полного факторного эксперимента необходимо провести 24 = 16 опытов. В дальнейших расчетах используем только половину реплик, полагаясь, что эффекты взаимодействия не значимы.

Матрица проведения эксперимента приведена в таблице 3.2

Таблица 3.2. - Матрица проведения эксперимента

№	X0	X1	X2	X3	X4	X1X2	X1X3	X2X3	X1X2X3	X1X2X3 X4	Y
1	+	-	-	+	+	+	-	-	+	+	1071
2	+	+	-	+	-	-	+	-	-	+	1080
3	+	-	+	+	-	-	-	+	-	+	1074
4	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	1105
5	+	-	-	-	-	+	+	+	-	+	1052
6	+	+	-	-	+	-	-	+	+	+	1080
7	+	-	+	-	+	-	+	-	+	+	1078
8	+	+	+	-	-	+	-	-	-	+	1081

 

Проверяем адекватность модели, соответствующими расчетами:

Y = (1071+1080+1074+1105+1052+1080+1078+1081)/8 =1077,63 – середнє значення теплостійкості на нульовому рівні.

S²y = 1/(n-1)Ʃ(Y-Yn)² = 1/(4-1)*((1077,63-1071)²+ (1077,63-1080)²+ (1077,63-1074)²+ (1077,63-1105)²+ (1077,63-1052)²+ (1077,63-1080)²+ (1077,63-1078)²+ (1077,63-1081)²) = 3,520833333

 

Sy=√ S²y=√3,520833333= 1,87

 

S{bi}=(S²y/N)= (3,520833333/8)= 0,440104167

 

 

∆bi =tg*S{bi}=3.18*√0,440104167= 2,109623041

 

 

bo=1/N Ʃxo yi=(1/8)*( 1071+1080+1074+1105+1052+1080+1078+1081)    =1077,63

 

b1 =1/8*(-1071+1080-1074+1105-1052+1080-1078+1081) = 8,875

 

b 2 =1/8*(-1071-1080+1074+1105-1052-1080+1078+1081) = 6,875

 

b3 =1/8*(1071+1080+1074+1105-1052-1080-1078-1081) = 4,875

 

b4 =1/8*(1071-1080-1074+1105-1052+1080+1078-1081) = 5,875

        b12 =1/8*(1071-1080-1074+1105+1052-1080-1078+1081) = -0,375

 

 

        b23= 1/8*(-1071-1080+1074+1105+1052+1080-1078-1081) = 0,125

 

 

        b123 =1/8*(1071-1080-1074+1105-1052+1080+1078-1081) = 5,875

 

        b1234 =1/8*(1071+1080+1074+1105+1052+1080+1078+1081) = 134,7031

 

Сравниваем полученные коэффициенты с доверительным интервалом   эксперимента ∆bi   для того чтобы определить их значимость. Если bi<∆bi , то коэффициент является незначимым. Определяем что  b12,  b23 – незначимы коэффициенты, а b1, b2, b3, b4, b123, b1234 - значимы коэффициенты. Исходя из этого получим уравнение:

y = bo+ b1 x1+ b2 x2+ b3 x3+ b4 x4 + b123х1 х2 х3+ b1234 х1 х2 х3 х4 = 1077,63 +

8,875x1+ 6,875x2+ 4,875x3+ 5,875x4 + 5,875х1 х2 х3+ 134,7031х1 х2 х3 х4

у1 = 1077,63 - 8,875- 6,875+ 4,875+ 5,875 + 5,875+ 134,7031= 1072,63

у2 = 1077,63 + 8,875- 6,875+ 4,875- 5,875 - 5,875+ 134,7031= 1078,63

у3 = 1077,63 - 8,875+ 6,875+ 4,875- 5,875 - 5,875+ 134,7031= 1074,63

у4 = 1077,63 +8,875+ 6,875+ 4,875+ 5,875 + 5,875+ 134,7031= 1104,13

у5 = 1077,63 - 8,875- 6,875- 4,875- 5,875 - 5,875+ 134,7031= 1051,13

у6 = 1077,63 +8,875- 6,875- 4,875+ 5,875 + 5,875+ 134,7031= 1080,63

у7 = 1077,63 - 8,875+ 6,875- 4,875+ 5,875 + 5,875+ 134,7031= 1076,63

у8 = 1077,63 +8,875+ 6,875- 4,875-5,875 - 5,875+ 134,7031= 1082,63

Проверим адекватность модели:

S²ад=1/(N-(k+1))Ʃ(Y-Yj)² = 1474,50/ (8-5)= 491,50

 

Fр = S2ад/S2y = 491,50/3,520833333= 139,5976521

 

Значение рассчитанного критерия Фишера Fр = 139,5976521 больше табличного значения Fт = 9,3 – модель не адекватна.

 

 

Вывод

Для получения адекватной модели принимают одно из следующих решений: 1) переходят к планированию второго или более высокого порядка; 2) уменьшают интервалы варьирования и ставят новый эксперимент, повторяя эти действия до получения адекватной линейной модели.

Используя данную математическую модель, можно контролировать значение предела текучести, путем изменения значений факторов, которые на него влияют.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1.Геллер Ю.А. Инструментальные стали.– М.:Металлургия,1983.

2. Методичні вказівки до лабораторних  робіт із дисципліни «Термічна  обробка»/Укл.: Бабицька Г.М., Грабовський  В.Я., Лазечний І.М. – Запоріжжя: ЗНТУ,2002. – 88с.

3. Материаловедение/ под  ред.  Б.Н.  Арзамасова. –  М.: Машиностроение, 1986. – 384 с. 4. Лахтин  Ю.М.,  Леонтьева  В.П.  Материаловедение. –  М.: Машиностроение, 1980. – 528 с.

5. Марочник сталей и сплавов: Справочник /Под ред. В.Г. Сорокина. – М.: Машиностроение, 1989. – 640 с.

6. Конструкционные  материалы:  Справочник /Под  ред.  Б.Н. Арзамасова. – М.: Машиностроение, 1990. – 688 с.

7. Смольников  В.А.  Термическая  и химико-термическая  обработка инструментов  в  соляных  ваннах. –  М.:  Машиностроение, 1989. – 312 с.

8. Башнин Ю.А., Ушаков  Б.К., Секей  А.Г. Технология термической обработки стали. – М.: Металлургия, 1986. – 424 с.

9.Сергейчев И.М.,Печковский А.М. Термическая обработка режущего и измерительного инструмента М.:Машиностроение,1967