Тренд динамического развития экономики

Тренд динамического  развития экономики

1. Динамический ряд.
2. Понятие тенденции (тренда) динамического развития.
3. Проверка гипотезы о существовании тренда.

Литература:

[4, с.281-287;  9, с.185-187;  10, с.13-20;  11, с.148-153]

 

1.2.1 Динамический  ряд

 

Развитие экономических явлений во времени описывается с помощью динамических (временных) рядов.

Динамический  ряд – набор значений экономического показателя для определенных, расположенных в хронологической последовательности периодов времени.

t	t1	t2	…	tk	…	tn
yt	y1	y2	…	yk	…	yn

 

Значение экономического показателя y_k в конкретный момент времени t_k называется уровнем динамического ряда.

Основное отличие динамического  ряда от стационарного: динамика уровней  стационарного ряда такова, что его  средние характеристики не изменяются во времени.

Если средние характеристики ряда изменяются во времени, то такой ряд содержит тренд.

 

1.2.2 Понятие  тенденции (тренда) динамического  развития

 

Прогнозирование может осуществляться лишь при наличии  тренда в ряду динамики.

Тренд – траектория, характеризующая основную закономерность (тенденцию) изменения экономического процесса во времени (рис.1.1). В связи с влиянием на тренд различных, в том числе и случайных, факторов фактические значения показателя процесса отклоняются от тренда.

 

                                                                                                  тренд

                                                    y

 

                                                              e_t

 

 

                                                      y_t

                                                               y^{^}_t

 

                                         0                                               x

Рисунок 1.1 – Уровень  динамического ряда и его составляющие

Отсюда уровень динамического ряда есть сумма:

,

(1.1)

где     y_t – фактическое значение экономического показателя;

– трендовое значение показателя (структурная компонента);

e_t – отклонение фактического значения от трендового (циклическая, сезонная либо случайная компонента).

Таким образом, тренд определяется влиянием постоянно  действующих факторов, а отклонение от него – влиянием различных случайных факторов.

 

1.2.3 Проверка  гипотезы о существовании тренда

 

Отсутствие тренда означает неизменность среднего уровня ряда во времени. Рассмотрим простейший подход к проверке гипотезы о существовании тренда в динамическом ряду – метод разности средних.

1. Динамический ряд делится на две равные части (совокупности):

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8	y9	y10

       

I      II

2. Определяются средние для каждой совокупности:

,

,

n=n1+n2,

(1.2)

 

где    - средняя для первой совокупности;

        - средняя для второй совокупности;

n – общее число наблюдений (длина динамического ряда);

n₁  – число наблюдений (длина) первой совокупности;

n₂  – число наблюдений (длина) второй совокупности.

3. Проверяется однородность дисперсий для двух совокупностей по критерию Фишера (F-критерию):

или  ,

(1.3)

где и – соответственно, дисперсии первой и второй совокупностей.

Дисперсии совокупностей  рассчитываются по формулам:

,

.

(1.4)

 

Расчетное значение F-критерия сравнивается с табличным (приложение А) с числом степеней свободы  n₁ – 1 и n₂ – 1. В таблице А.1 число степеней свободы для большей дисперсии соответствует параметру a (по столбцам), для меньшей – b (по строкам).

• Если , то дисперсии однородны, и расчеты можно продолжать.
• Если , то дисперсии неоднородны, и расчеты следует прекратить.

4. Проверяется существенность разности средних по критерию Стьюдента (t-критерию):

,

(1.5)

 

где и – средние для первой и второй совокупностей;

n₁ и n₂ – число наблюдений в первой и второй совокупностях;

s – среднеквадратическое отклонение разности средних.

Среднеквадратическое отклонение разности средних определяется на основе средневзвешенной величины дисперсий  отдельных совокупностей:

.

(1.6)

 

Расчетное значение t-критерия сравнивается с табличным (приложение Б):

• если , тренд отсутствует;
• если , тренд существует.

Метод разности средних не дает хороших  результатов при слабом абсолютном изменении значений исследуемой величины. Поэтому рассмотрим другой метод, предложенный Ф.Фостером и А.Стюартом.

Метод Фостера - Стюарта. Метод дает более надежные результаты и позволяет обнаружить тренд не только в значении средней, а и в дисперсии уровней. Для его реализации определяются характеристики A и D:

A=SAt;

D=SDt,

(1.7)

где  A_t = U_t + R_t  и  D_t = U_t – R_t.

Значения U_t и R_t определяются путем последовательного сравнения уровней. Если какой либо член ряда превышает по своей величине каждый из предыдущих членов, то величине U_t присваивается 1, в остальных случаях 0.

1, если y_t>y_t-1, y_t-2,....y₁

                  U_t=

0 в противном случае

 

Если какой либо член ряда меньше по своей величине каждого  из предыдущих членов то величине R_t присваивается 1, в остальных случаях 0.

1, если y_t < y_t-1, y_t-2,....y₁

                  R_t=

      0 в противном  случае

Отсюда следует, что

                                   0, если y_t ни наибольший, ни наименьший

A_t принимает

                                   1, если y_t наибольший или наименьший.

При этом величина A принимает значения 0 £ A £ n-1. Если все уровни равны (т.е. дисперсия отсутствует), то A=0. При монотонном возрастании или убывании ряда A = n-1. В свою очередь, величина D_t принимает значения  -1, 0, 1. Одновременно величина D изменяется в пределах

-(n-1) £ D £ (n-1). Нижний предел D = -(n-1)...0 – для монотонно убывающих рядов, а верхний предел  D = 0...(n-1) – для монотонно возрастающих рядов.

Показатель А определяет тенденции в дисперсии, а D определяет тенденции в выборочном среднем.

Для проверки гипотезы о  трендах воспользуемся t-критерием  Стьюдента для каждого из показателей А и D:

;

,

(1.8)

где m – математическое ожидание величины A для случайного расположения уровней во времени;

      s₁– средняя квадратическая ошибка величины A;

      s₂– средняя квадратическая ошибка величины D.

s₁ и s₂ могут быть определены по формулам:

,	(1.9)
.	(1.10)

Вычисленные значения t_D и t_A сравниваются с табличным значением t-критерия Стьюдента. Если  |t_D |> t_α, то это говорит о наличии тренда в выборочном среднем. При этом ряд может возрастать или убывать, что определяется из вышеприведенного условия для параметра D. Если  t_А > t_α , то имеет место тренд в дисперсии. Другими словами, ряд неустойчив, т.к. величина дисперсии постоянно изменяется.