Состоятельность оценок

Теоретическая часть

1. Состоятельность оценок. Обратимся к основам МНК, обоснованности его применения (в т.ч. к задачам множественной регрессии) и важнейшим свойствам оценок, получаемых с помощью МНК. Начнем с того, что наряду с аналитической зависимостью в правой части регрессионного уравнения важную роль играет еще случайный член. Эта случайная компонента является ненаблюдаемой величиной. Сами статистические проверки параметров регрессии и показателей корреляции основаны на непроверяемых предпосылках о распределении этой случайной составляющей множественной регрессии.

Эти предположения носят  всего лишь предварительный характер. Только после построения уравнения  регрессии проверяют наличие  у оценок случайных остатков (эмпирические аналоги случайной составляющей), предполагавшихся априори свойств. По существу, когда оценены параметры  модели, то рассчитывают разности теоретических  и фактических значений результативного  признака, чтобы таким образом  оценить саму случайную составляющую. Важно иметь в виду, что это  всего лишь выборочная реализация неизвестного остатка заданного уравнения.

Коэффициенты регрессии, полученные из системы нормальных уравнений, — это выборочные оценки силы связи. Понятно, что практическое значение они имеют только тогда, когда  являются несмещенными. Напомним, что  в этом случае среднее остатков равно  нулю или, что то же, среднее оценки равно самому оцениваемому параметру. Тогда остатки не будут накапливаться  при большом числе выборочных оцениваний, а сам найденный параметр регрессии можно рассматривать в качестве среднего из большого количества несмещенных оценок.

Кроме того, оценки должны иметь  наименьшую дисперсию, т.е. являться эффективными, и тогда появляется возможность перехода от практически малопригодных точечных оценок к интервальному оцениванию. Наконец, доверительные интервалы применимы с большой степенью эффективности, когда вероятность получения оценки на заданном расстоянии от истинного (неизвестного) значения параметра близка к единице. Такие оценки называются состоятельными, и свойство состоятельности характеризуется увеличением их точности с увеличением объема выборки.

Однако условие состоятельности  не выполняется автоматически и  существенно зависит от выполнения следующих двух важных требований. Во-первых, сами остатки должны быть стохастическими с максимально  выраженной случайностью, т.е. все явно функциональные зависимости должны быть включены именно в аналитическую  компоненту множественной регрессии, к тому же значения остатков должны быть распределены независимо друг от друга для различных выборок (отсутствие автокорреляции остатков). Второе, не менее важное требование заключается в одинаковости дисперсии каждого отклонения (остатка) для всех значений переменных х (гомоскедастичность), т.е. гомоскедастичность выражается постоянством дисперсии для всех наблюдений: .

2. Этап параметризации. Можно выделить шесть основных этапов эконометрического моделирования: постановочный, априорный, этап параметризации, информационный, этапы идентификации и верификации модели. Рассмотрим этап параметризации. На 3-ий этапе (параметризации) осуществляется непосредственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, выявление входящих в нее связей.

Основная задача, решаемая на этом этапе, - выбор вида функции  f(X) в эконометрической модели Y=f(X)+ , в частности, возможность использования линейной модели как наиболее простой и надежной. Весьма важной проблемой на этом этапе эконометрического моделирования является проблема спецификации модели. К проблемам спецификации традиционно относят два типа задач. Первый – это выбор структуры уравнения модели. Второй – это определение набора объясняющих переменных. В частности: выражение в математической форме обнаруженных связей и соотношений; установление состава экзогенных(задаваемых извне) и эндогенных(формирующихся внутри функционирования объекта) переменных, в том числе лаговых(взятые в предыдущий момент времени); формулировка исходных предпосылок и ограничений модели. От того, насколько удачно решена проблема спецификации модели, в значительной степени зависит успех всего эконометрического моделирования.