Министерство  образования и  науки Российской Федерации

Томский государственный  университет систем управления и 

радиоэлектроники (ТУСУР)

 
 
 
 
 
 
 
 

Лабораторная работа №1.

Наращение и дисконтирование. Потоки платежей. Ренты.

(Математическая экономика", Мицель А.А., Ефремова Е.А. - Томск: ТМЦДО, 2007)

V=04*30 div 100 = 1

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила:

Студентка ТМЦ  ДО

 
 
 
 
 
 
 

Бийск 2010

Лабораторная  работа №1. Наращение  и дисконтирование. Потоки платежей. Ренты.

Вариант 1

    Вопрос 1.  Понятие ставки процента. Сложные  проценты.

    Под процентными деньгами или процентами понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в  любой форме, а именно: выдача денежных ссуд, продажа в кредит, помещение  денег на сберегательный счет, покупка  облигаций и т.д.

    При заключении финансового соглашения стороны договариваются о размере процентной ставки.

    Под процентной ставкой понимают отношение  суммы процентных денег, выплачиваемых  за фиксированный промежуток времени, к величине ссуды.

    Пусть P – первоначальная сумма денег (ссуда); S – сумма денег через некоторый интервал времени (например, год); r – ставка процентов.

    Тогда сумма процентных денег равна  (S - P), а процентная ставка

     .

    Здесь r определяется в виде десятичной дроби. Чтобы выразить ставку в процентах, необходимо умножить ее на 100.

    Процесс увеличения суммы денег в связи  с присоединением процентов к  первоначальной сумме называется наращением или ростом первоначальной суммы.

    Первоначальная  сумма с начисленными на нее процентами называется наращенной суммой.

    Существуют  различные способы начисления процентов. Соответственно, применяются различные  виды процентных ставок. Основное отличие  связано с выбором исходной суммы (базы) для начисления. В связи  с этим различают простые и  сложные проценты. При начислении простых процентов базой для начисления служит начальная сумма на протяжении всего срока ссуды. При начислении сложных процентов базой служит сумма с начисленными в предыдущем периоде процентами.

 

    Вопрос 2. Каким образом учитывается инфляция при вычислении наращенной суммы?

    Существует  множество различных способов учета  инфляции при наращении сложных  процентов. Рассмотрим один из них, основанный на применении формулы Фишера.  Пусть  h – ожидаемый годовой темп инфляции в виде ставки сложных процентов, I – ставка процентов без учета инфляции, r – реальная ставка с учетом инфляции. Тогда реальная ставка определяется из уравнения, которое называется уравнение Фишера:

     .

    Решая это уравнение относительно r, получим

     .

    Ставка  без учета инфляции (которую также называют номинальной ставкой) . При малых значениях h используют приближенную формулу , а для реальной ставки: .

 

    Вопрос 3. Современная величина дискретной ренты при непрерывном начислении процентов.

    Современная величина дискретной ренты при непрерывном  начислении процентов

    Ряд дискретных платежей, дисконтированных на начало срока ренты:

     .

    Имеем геометрическую прогрессию с первым членом, равным , и знаменателем . Использование формулы для суммы членов такой прогрессии позволяет получить соотношение для современной величины:

     , где  .

    Аналогично  для  -срочной ренты получим

     , где  .

 

    Вопрос 4. Дисконтирование на основе непрерывных  процентных ставок. Переменная сила роста.

    Дисконтирование на основе непрерывных  процентных ставок

    Формула дисконтирования по непрерывной  ставке имеет вид

     .

    Переменная  сила роста

    Пусть сила роста меняется во времени и  принимает значения в интервалах времени . Тогда за лет первоначальная сумма станет равна . Так как ставка сложная, за следующие лет первоначальная сумма вырастет до . Продолжая рассуждения, получим, что наращенная сумма за весь срок будет равна

     .

    Мы  рассмотрели случай, когда сила роста  изменяется во времени дискретно.

    Предположим, что сила роста меняется непрерывно и описывается некоторой непрерывной  функцией времени . Тогда наращенная сумма

     .

    Формула дисконтирования:

     .

 

    Задача 1. Найти современную и наращенную величины годовой ренты с , .

    Решение:

    Найдем  наращенную величину годовой ренты:

    

    

    

    

    Найдем  современную величину годовой ренты:

    

    

    

 

    

 

    Задача 2. Вычислить - годичную ссуду покупки квартиры за A рублей с годовой ставкой процентов и начальным взносом процентов. Сделать расчет для ежемесячных и ежегодных выплат.

    Расчет  провести для следующих данных: ; руб.; .

    Решение:

 

    Задача 3. Какая сумма предпочтительнее при ставке сложных процентов 12% : $1000 сегодня или $1500 через 3 года?

    Решение.

    Найдем  современную величину $1500 через 3 года при ставке 12%:

    

    

    Итак, А=1067,67>1000. Следовательно, надо предпочесть  сумму $1500 через 3 года.

 

    Задача 4. Найдите ренту, которая представляет собой сумму для двух годовых рент: одна длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, и другая — 8 лет и платежом 800. Годовая ставка процента 8%.

    Решение:

    Общее правило объединения рент очень просто: находятся современные величины рент-слагаемых и складываются, а затем подбирается рента-сумма с такой современной величиной и нужными остальными параметрами.

    Современная величина находится по формуле:

    

    

    

    

    

    Теперь  можно задать либо длительность ренты-суммы, либо годовой платеж и затем второй из этих параметров определится.

    Пусть длительность ренты будет равно 6 лет, тогда найдем годовой платеж.

    

    

    Ответ: у нас получилась рента с длительностью 6 лет с годовым платежом 1858.154 и годовой ставкой 8%.

 

    Задача 5. Найдите ренту, которая представляет собой сумму для двух годовых рент: одна длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, и другая — 8 лет и платежом 800. Годовая ставка процента 8%.

    Решение:

    Общее правило объединения рент очень  просто: находятся современные величины рент-слагаемых и складываются, а затем подбирается рента-сумма с такой современной величиной и нужными остальными параметрами.

    Современная величина находится по формуле:

    

    

    

    

    

    Теперь  можно задать либо длительность ренты-суммы, либо годовой платеж и затем второй из этих параметров определится.

    Пусть длительность ренты будет равно 6 лет, тогда найдем годовой платеж.

    

    

    Ответ: у нас получилась рента с длительностью 6 лет с годовым платежом 1858.154 и годовой ставкой 8%.