Модель Солоу

  Введение.

  С течением времени реальный доход  страны, как правило, растет. Бывают периоды, когда он падает, но в целом  тренд  в долгосрочной перспективе  указывает на постоянный рост. Колебания  вокруг тренда обычно интерпретируются как экономические циклы. Одна из задач макроэкономики - понять причины  этих краткосрочных колебаний. Однако не менее важная задача – объяснить  причины роста реального выпуска  и в долгосрочном периоде проанализировать различные сценарии этого роста, определить показатели, влияющие на рост, и выявить причины межстрановых различий в уровне жизни.

  Перечисленные проблемы рассматриваются в теории экономического роста. В современной экономической науке рост трактуется двояко: в узком и широком смыслах. В узком смысле — как рост основных показателей конечной продукции: ВВП, национального дохода или потребления на душу населения. В широком смысле — как процесс изменений в социальных институтах: в структуре прав собственности, формах организации производства и распределения и в других институтах, которые обусловливают переход от одной стадии роста к другой.

  В соответствие с  этим подходом выделяются 3 направления в теориях роста:

• неокейнсианское
• неоклассическое
• историко-социологическое.

  Первые  два направления анализируют  рост в узком смысле. Для историко-социологического направления характерно рассмотрение роста в широком смысле.

  Одной из моделей экономического роста  неоклассического направления является модель Р. Солоу. Впервые эта модель была изложена Р. Солоу в статье «Вклад в теорию экономического роста» (1956 г.), а затем развита в работе 1957 г. «Технический прогресс и агрегативная производственная функция». В 1987 г. за ее разработку автору была присуждена Нобелевская премия по экономике.

  Модель  построена на неоклассической предпосылке  господства совершенной конкуренции на рынках факторов производства, обеспечивающей полную занятость ресурсов. Выпуск продукции — функция не только капитала, но и труда, которые являются хорошими субститутами, и сумма коэффициентов эластичности выпуска по этим факторам равна единице. Сначала модель описывает равновесие экономической системы при нейтральности технического прогресса и постоянной отдаче от масштаба, в дальнейшем в нее вводятся технологические сдвиги посредством изменения нормы накопления и убывающей отдачи от масштаба. 

 

Глава 1. Сущность модели экономического роста Р. Солоу.

1.1.Основные положения модели.

  Основные положения модели Р. Солоу состоят в следующем:

  1.Необходимое условие равновесия экономики – равенство совокупного спроса и совокупного предложения.

  Совокупное  предложение определяется на основе производственной функции Кобба – Дугласа, которая выражает функциональную зависимость между объемом производства и используемыми в определенной пропорции факторами. В модели Р. Солоу рассматривается экономика с совершенной конкуренцией, производящая однородную продукцию на базе двух факторов производства – труда (L) и капитала (K):

  Y =  F(K, L) и ΔY =  F(ΔK, ΔL)

  Величины Y и K можно соотнести с количеством  используемых единиц труда L, т.е. определить их в расчете на одного работника:  y  =  Y/L , где y – выпуск продукции на одного работника (производительность труда); k  =  K/L , где k – капиталовооруженность труда.

  При L =1 производственная функция примет следующий вид: y = f(k) , где f (k) = F (k, 1). Выражение y= f(k) означает, что объем продукции на одного работника определяется капиталовооруженностью труда. Указанную зависимость можно представить в графической форме (см. рис. 1).

  

  График  наглядно иллюстрирует, что капиталовооруженность k определяет размер выпуска продукции на одного работника: y  =  f(k). Тангенс угла наклона касательной h равен предельной производительности капитала: если k увеличивается на единицу, то y возрастает на MPK единиц: MPK  =  f(k +1) – f(k).

    С ростом капиталовооруженности труда его производительность увеличивается, но с убывающей скоростью, т.е. каждая дополнительная единица капитала позволяет производить меньше продукта, нежели предыдущая (понижающаяся предельная производительность капитала).

  Совокупный  спрос в модели Р. Солоу включает два элемента: потребительский и инвестиционный спрос. Соответственно, выпуск всей продукции в расчете на одного работника можно определить следующим образом: y  =  c + i , где c и i – потребление и инвестиции в расчете на одного работника.

  Если  учесть, что доход используется на потребление и сбережения, то функцию  потребления можно записать следующим  образом: c  =   (1– s) × y , где s – норма сбережения (накопления), которая 0< s <1.

  Подставляя  полученное выражение в равенство, получим: y  =  c + i = (1 – s )×y + i .

  Если  мы раскроем скобки и приведем подобные, то получим следующее равенство: i  =  s ×y .

  В конечном итоге мы получаем два выражения, которые характеризуют условие  равновесия спроса и предложения: f(k) = c + i или f(k) = i/s .

    2.Первый фактор экономического роста в модели Р. Солоу – накопление капитала. Объем капитала меняется под воздействием инвестиций и выбытия: инвестиции увеличивают запас капитала, выбытие – уменьшает.

  Подставляя  вместо y выражение производственной функции, получим уравнение инвестиций как функцию от капиталовооруженности: i  =  s × f(k) 

  Следовательно, чем выше уровень капиталовооруженности k , тем выше уровень производства f(k) и больше инвестиции i. Налицо связь между существующими запасами капитала k и накоплением нового капитала i (см. рис. 2).

  

  Если  инвестиции увеличивают капиталовооруженность труда, то выбытие (износ) приводят к ее снижению.

  Пусть ежегодно выбывает определенная доля капитала d (норма амортизации). Например, если капитал эксплуатируется 10 лет, то норма выбытия будет равна 10 % в год ( d = 0,1).

  Количество  капитала, которое выбывает каждый год, равно ( d × k ). Выбывающая ежегодно часть капитала пропорциональна общим его запасам, что можно представить в графической форме (см. рис. 3).

  

  Влияние инвестиций и выбытия на запасы капитала можно выразить следующим образом: Δk = i – d × k =  s × f(k) – d × k .

  Величина  капитала в стране возрастает (Δk >0), если валовые инвестиции превышают  уровень выбытия капитала. Если валовые  инвестиции равны уровню выбытия  капитала, то величина применяемого в  стране капитала остается стабильной, неизменной (Δk =0 и s × f(k) = d × k ).

  Если  рассматривать соотношения инвестиций и выбытия при различных уровнях  k , то можно найти единственное значение k*, при котором инвестиции равны величине износа (точка E). Такую ситуацию Р. Солоу назвал состоянием устойчивой (равновесной) капиталовооруженности (см. рис. 4).

  

  Считается, что независимо от первоначального  объема капитала, с которым экономика  начинает развиваться, в долгосрочном периоде она достигает устойчивого  состояния. Если запасы капитала ниже устойчивого уровня (k1 < k*), инвестиции превышают выбытие (износ), капиталовооруженность растет вместе с производством, пока не достигнет k*. Напротив, если k2 > k*, то инвестиции меньше выбытия (износа), поэтому капиталовооруженность падает.

  Ключевой  фактор, определяющий уровень устойчивой капиталовооруженности, – это норма накопления (сбережения).

  

  Более высокая норма сбережения обеспечивает больший запас капитала и более  высокий уровень производства (см. рис. 5).

  Следует учесть, что высокие сбережения приводят к более быстрому росту, но ускорение  длится не вечно – только до достижения нового устойчивого состояния. Таким образом, процесс накопления как результат увеличения нормы сбережения не объясняет механизма экономического роста, а лишь обусловливает переход от одного равновесного состояния к другому.

  3.В развитие анализа экономического роста Р. Солоу рассматривает фактор численности населения. Если население растет с постоянным темпом n , то при прочих равных условиях это приведет к снижению капиталовооруженности труда.

  При росте численности работников изменение  запаса капитала на каждого из них  составит: Δk = i – d × k – n × k = i – k × (d + n) = s × f(k) – k × (d + n) .

  Таким образом, эффекты выбытия капитала и роста населения объединяются. Следовательно, для поддержания  запаса капитала на прежнем уровне необходим объем инвестиций, покрывающий  не только выбытие капитала, но также  обеспечивающий капиталом новых  работников в том же объеме, что и старых.

  

  Составляющая  k × (d + n) является критической величиной инвестиций. Она показывает такой их объем, который необходим для поддержания капитала, приходящегося на одного работника, на постоянном (неизменном) уровне.

  Для того чтобы экономика находилась в устойчивом состоянии, инвестиции s × f(k) должны компенсировать последствия выбытия капитала и роста населения k × (d + n). В этом случае капиталовооруженность k и производительность труда y останутся неизменными (см. рис. 6).

  Постоянство капиталовооруженности при росте населения означает, что капитал должен возрастать с тем же темпом, что и население, т.е. n (ΔY/Y =ΔL/L =ΔK/K = n).

  Рост  населения – одна из причин непрерывного экономического роста в условиях устойчивого состояния экономики. Однако если рост населения не сопровождается увеличением инвестиций, то это ведет  к уменьшению запаса капитала на одного работника. Отсюда следует вывод: страны с более высокими темпами роста  населения имеют меньшую капиталовооруженность и, следовательно, более низкие доходы.

  4.Третий фактор экономического роста в модели Р. Солоу – технический прогресс. В неоклассической теории под техническим прогрессом понимается не машинизация, а качественные изменения в производстве. По расчетам Р. Солоу, с середины ХХ века за счет технического прогресса экономический рост происходил на 80 %, в то время как за счет роста численности населения и роста инвестиций – на 20 %.

  Если  принять во внимание технический  прогресс, то исходную производственную функцию можно записать следующим  образом: Y =  F( K, L×Δ) ,

  где Δ – переменная, характеризующая  эффективность труда одного работника; L×Δ- численность эффективных единиц труда.

  В модели предполагается, что технический  прогресс вызывает прирост эффективности  ε с постоянным темпом g . Это форма трудосберегающего технического прогресса, а g – темп трудосберегающего технического прогресса.

  Общее количество эффективных единиц труда L×Δ растет с темпом n+g. С учетом этого уравнение изменения K во времени примет теперь вид:

  Δk = i – k × (d + n + g) = s × f(k) – k × (d + n + g) .

  

  Нетрудно  увидеть, что существует только один уровень капиталовооруженности k1*, при котором капитал и выпуск, приходящиеся на единицу труда с неизменной эффективностью, постоянны. Такое устойчивое состояние есть долгосрочное равновесие экономики (см. рис. 8).

  Таким образом, в устойчивом состоянии  при наличии технического прогресса  общий объем капитала K и выпуск Y будут расти с темпом n + g. В расчете на одного работника капиталовооруженность (K/L) и выпуск (Y/L) будут расти с темпом g. Следовательно, технический прогресс – единственное условие непрерывного роста уровня жизни.

1.2.Модель Р. Солоу и «золотое правило накопления» Э. Фелпса.

  Модель  Р. Солоу позволяет дать практические рекомендации по государственной политике регулирования экономического роста. Оно может осуществляться через воздействие на норму сбережения и скорость технического прогресса. Равновесный экономический рост совместим с различными нормами сбережения, но оптимальной будет только та, которая обеспечивает экономический рост с максимальным уровнем потребления. Оптимальная норма накопления соответствует “золотому правилу”.

  Вообще, ответ на вопрос о том, каковы условия  оптимального для общества экономического роста, дали сразу несколько экономистов  в начале 1960-х гг., но первым опубликовал его американский экономист Эдмунд Фелпс. Ему же принадлежит и термин “золотое правило накопления капитала”, вошедший с тех пор в широкое употребление.