Методы и модели в экономике

Это параметрическая  задача, в которой параметр  S  . Решим ее графически и определим зависимость максимального стоимостного выпуска от объема ресурса S в системе, то есть

3.2. Для графического  решения задачи построим множество  допустимых решений, определяемое  только постоянными ограничениями  Т  и М  (см. рис. 3). Это многоугольник ОАBD. Теперь будем изменять величину объема сырья S и для каждого его значения отыскивать оптимальный план и значения целевой функции. Результаты будем заносить в таблицу 2.

Таблица 2.

Объем сырья (т) S	Оптимальный план	Максимум стоимости  выпуска (тыс. руб.) F (S)	Потребный объем Т (т.чел.-т)	Потребный объем  материалов М (т)	Обозначения точки  на графике
0 4 6 16 24	0    ,    0 2    ,    0 3   ,    0 2    ,    3 6    ,    0	0 60 90 150 150	0 6 9 12 24	0 12 18 18 18	0 К А В D

 

3.3. Пусть  S = 0. В этом случае в нашей задаче выпуск продукции невозможен, так как сырье необходимо для производства обеих ее видов. Оптимальный план  х₀ = (0,0). Зададим небольшую величину объема сырья, например, S = 4. Ограничение по сырью примет вид:

,

и может быть построено  на графике (рис.3).

Множество допустимых планов OKL определяется лишь данным ограничением, остальные ресурсы M  и Т  при  S = 4 избыточны.

 

Рис.3. Графическое решение  параметрической задачи.

 

Перемещая линию стоимости  С  параллельно себе, находим точку, в которой С  принимает максимальное значение. Это точка К. Оптимальный план  = (2   ,   0). Подставляя значения  х₁ = 2  и  х₂ = 0   в соответствующие ограничения, находим потребные объемы ресурсов и значение целевой функции С_К = 60 (тыс. руб.). Результаты заносим в таблицу 2.

Заметим, что при изменении  S  от  0  и  до  4 (т), точка оптимума перемещается по оси  х₂  вверх (на  рис.3 изображено стрелкой). Это движение продолжается до точки А, в которой начинает действовать ограничение по материалам М. То есть с увеличением S точка оптимума обязательно совпадет с точкой А. Теперь подстановкой находим значение   Результаты заносим в таблицу 2.

Таким образом, при графическом  решении параметрической задачи необходимо проследить траекторию движения оптимальной точки по границам области допустимых решений  OABD . Так, при S > 6 (см.  рис. 3, линия HN), область допустимых планов OAHN, оптимальный план .

То есть точка оптимума движется по ограничению  М  из точки А  в точку В  и обязательно попадает в точку  В. Как и ранее, заносим оптимальный план в таблицу 2 и пересчитываем значение ресурса S, целевой функции и потребные значения прочих ресурсов  М  и Т.

При достижении каждой вершины  многоугольника  OABD  необходимо проверить, сдвинется ли точка оптимума при дальнейшем увеличении ресурса  S. Так точка В ,  S = 16, соответствует исходной задаче (см. задание 1). При дальнейшем увеличении ресурса S  > 16  в конечном счете точка оптимума  попадет в точку D, что соответствует условиям задания 2 и S = 24.  Если S  > 24, например, S = 36, то ресурс сырья является избыточным и оптимальная точка все равно остается в точке D.

 

3.4. На основании таблицы  2 и рис.3 построим график зависимости  оптимального значения стоимости  выпуска от величины ресурса  сырья S (см. рис. 4).

Поскольку для каждого  значения ресурса сырья мы искали максимальное (а не произвольное) значение стоимости выпуска, полученный график отражает закономерность соотношения  результатов и затрат в заданных условиях. Полученная на рис.4 зависимость называется линией не возрастающей эффективности и в упрощенном виде отображает закон, сформулированный известным экономистом В.В. Новожиловым (1) для условий нейтрального научно-технического прогресса (неизменная производительность труда, материало- и фондоемкость продукции). Суть этого закона состоит в следующем. Число эффективных способов использования дефицитного ресурса всегда ограничено. Поэтому при вовлечении ресурса в производственную систему каждая его дополнительная единица будет использоваться с невозрастающей эффективностью (прежней или меньшей). Следствием этого закона является то, что экстенсивное развитие, в конечном счете, приведет к снижению темпов экономического роста, дефицитной экономике.

В нашем примере для  роста стоимости выпуска от 0 до 90 тыс. руб. требуется вовлечение в производство 6 тонн сырья (точка А), а для прироста стоимости еще на 60 тыс. руб., то есть до 150 тыс. руб., необходимо вовлечь еще дополнительно 16 тонн сырья, доведя общий его объем до 24 тонн. Дальнейшее увеличение выпуска при постоянных прочих ограничениях невозможно.

 

3.5. Рассчитаем количественные  характеристики эффективности. Это  можно сделать двумя способами.

Абсолютные коэффициенты эффективности считаются как отношение абсолютных величин результата и затрат:

и показывает среднее  значение результата на единицу затрат. Они малочувствительны к пролеживанию ресурсов. Так, при S = 24  E_D = 6,25 (см. рис.4). Вместе с тем из рисунка видно, что при S = 36 вообще не используется 36 – 24 = 12 (т) ресурса. Учитывая характер линии эффективности, видно, что абсолютные показатели не годятся для прогнозных расчетов дополнительного вовлечения ресурсов.

 

Рис.4. Линия  эффективности использования ресурса S.

 

Приростные коэффициенты эффективности рассчитываются как отношение приростов результата и затрат:

и показывают, как изменится  результат при дополнительном вовлечении единицы ресурса. Они могут быть рассчитаны лишь в процессе моделирования  объекта и соответствуют двойственным оценкам ресурсов при заданных их объемах.

В реальной экономике  показатели эффективности строятся как абсолютные или приростные.

Итак, в нашем  примере при малых объемах S < 6 сырье – единственный дефицитный ресурс и в оптимальный план входит продукция 1, самая эффективная с точки зрения его использования. и не входит продукция 3 . В точке А в силу вступает ограничение по материалам М. Для дальнейшего увеличения выпуска при дополнительном вовлечении сырья S > 6 в план включается третий вид продукции, более выгодный с точки зрения использования материалов

(т.р./т.Ч-Час), ;  ,

(т.р./т), ;  ,

(т.р./т), ;  .

3.6. Используя  график не возрастающей эффективности,  можно оценить переход от исходного  плана  к новому , как предлагалось в задании 2.

При подобном переходе эффективность использования дополнительно  вовлекаемых 8 т сырья составит , тогда как в исходном плане она составляла еще (см. рис. 4), то есть сырье будет использоваться менее эффективно, чем в исходном плане. Если данный ресурс является дефицитным с точки зрения народного хозяйства (отрасли), на него может быть установлен норматив эффективности. Так, если бы в нашем примере был установлен, например, норматив , предприятие не имело бы права дополнительно вовлекать ресурс и переходить к новому плану, потому что эффективность его использования была бы ниже нормативной .

Часть II. Декомпозиция моделей оптимального планирования.

Задание 1. Построение и декомпозиция исходной модели.

1. Предположим, что в объединение входят два предприятия, условия функционирования которых представлены в табл. 4 и табл. 5 соответственно. Цены, нормы расходов и объемы ресурсов приведены в условных единицах.

Таблица 4.

 

Данные по первому  предприятию

 

Продукция	Нормы расхода			Цена единицы продукции
	1-ый собственный ресурс	2-ый собственный ресурс	Централизованный ресурс
А В	2 1	1 -	2 3	3 2
Объем ресурса	12	4

Таблица 5.

Данные по второму  предприятию

Продукция	Нормы расхода			Цена единицы продукции
	1-ый собственный ресурс	2-ый собственный ресурс	Централизованный ресурс
С D	1 2	- 1	2 1	2 3
Объем ресурса	12	3

 

Для каждого предприятия необходимо определить оптимальный объем выпуска продукции в стоимостном  выражении, если известно, что объем централизованного ресурса, распределяемого между предприятиями, составляет 36 условных единиц. Обозначим:

х₁₁ , х₁₂  - количество изделий 1-го и 2-го типа 1-ой подсистемы¹;

х₂₁ , х₂₂  - количество изделий 1-го и 2-го типа 2-ой подсистемы¹.

Тогда общая модель системы  будет иметь следующий вид:

3 х₁₁ + 2 х₁₂  + 2 х₂₁ + 3х₂₂    max

2 х₁₁ + 3 х₁₂  + 2 х₂₁ + 1х₂₂ 36

2 х₁₁ + 1 х₁₂                          12

1 х₁₁                                                       4

                   1 х₂₁ +    2 х₂₂      12

            х₂₂     3

                   х₁₁, х₁₂, х₂₁, х₂₂ 0

Декомпозиция этой модели приводится на схеме:

 

                                    

              

Задание 2. Решение задач подсистем.

 Подсистемы решают собственные  параметрические задачи при раз-личных значениях параметров и и сообщают вид функций             и

            в центр. Рассмотрим процесс  решения задач в каждой подсистеме.

2.1. Решение  задачи первой подсистемы.

Модель первой подсистемы имеет вид:

 

3 х₁₁ + 2 х₁₂      max  

2 х₁₁ + 3 х₁₂    36   (1)

2 х₁₁ + 1 х₁₂    12   (2)

1 х₁₁                     4   (3)

Решение параметрической  задачи  будем приводить графически. Для этого построим область допустимых решений  (ОДР), состоящую из уравнений  собственных ресурсов подсистемы, то есть неравенства (2) и (3) (см. рис. 7). На этой области исследуем поведение ЦФ от различных значений ЦР.

Рис. 7. Решение  задачи 1 п/с.

 

При значении U₁ = 0,  f₁ (U₁) = 0, начнем увеличивать значение ЦР. Пусть U₁ = 12 (область ОАС¹). На этом множестве ЦФ достигает своего оптимального значения в точке А, то есть  при увеличении ЦР от  0  до  12  оптимальный план скользит по ребру ОА. А при увеличении U₁ от  от  12  до  20  оптимальный план скользит по ребру АВ. А при изменении U₁ от  20 до  36  оптимальный план скользит по ребру ВС. Таким образом, при изменении ресурса от  0  до  36 оптимальный план первой подсистемы движется по траектории  ОАВС. При увеличении U₁  сверх 36  данный ресурс уже не является лимитирующим, и оптимальный план остается в точке  С. При этом значение ЦФ в точке С  f₁ (U₁) = 24.

Для выражения  зависимости координат оптимального плана от величины U₁  необходимо решить систему уравнений. Первое уравнение является ограничением ЦР, а второе – гранью ОДР, по которой скользит оптимальный план. Последовательно рассмотрим поведение функции на отрезках [ОА], [АВ], [ВС].