Контрольная работа по "Экономике"

  Задача 1 

    Условие задачи

    Цех предприятия выпускает 2 вида изделий  А и В, для изготовление которых требуются ресурсы трёх видов: R1, R2, R3. Данные о наличии ресурсов, наличии ресурсов каждого вида, необходимое для изготовления тысячи изделий (нормы расходов), а также прибыль от реализации тысячи изделий каждого вида, приведенные в табл 1. 

                                               Таблица 1

 

    Определить  объем выпуска изделий А и В максимизирующие прибыль предприятия. 

    Построение  математической модели.

    Пусть за плановый период выпускаются Х1 (тыс.шт.) изделий А и Х2  (тыс.шт.) изделий В. По условию задачи прибыль, получаемая от реализации 1000 шт. изделия А, составляет 6 у.е., а 1000 шт. изделий В – 7 у.е.

    Тогда прибыль, получаемая от реализации Х1 изделий А и Х2 изделий В, выпущенных за плановый период, может быть записан в виде выражения             Z=6Х1+7Х2.

    Отрицательные значения Х1 и Х2 не имеют смысла, т.е.    Х1>=0, Х2 >=0.

    Величины  Х1  и Х2 нельзя выбирать произвольно, т.к. на них накладываются ограничения, определяемые наличием ресурсов R1, R2, R3. Как видно из табл. 1, Для изготовления 1000 шт. изделия А, требуется 4 (ед) ресурса R1, а для изготовления 1000 шт. изделия В требуется 10 (ед) ресурса R1. Следовательно, расход ресурса R1 для выпуска Х1 (тыс. шт.) изделий А составит 4Х1  (ед) , а для выпуска Х2 (тыс. шт.) изделий В - 10Х2 (ед). Таким образом, для планового выпуска изделий А и В потребуется 4Х1 + 10Х2 (ед) ресурса R1. В связи с тем, что запас ресурса R1 составляет 400 ед., ограничение по нему будет иметь вид:

    4Х₁ + 10Х₂ <=400.

    Аналогично  рассуждая, можно составить ограничения для ресурсов R2 и R3:

    R2:  6Х₁ +9Х₂ <=540

    R3: 8Х₁ +6Х₂ <=480 

    Получили  математическую модель задачи.

    Имеем целевую функцию линейной формы

     Z=6Х₁+7Х₂.              max,    (1)

    Систему линейных ограничений:

    4Х₁ + 10Х₂ <=400

             6Х₁ + 9Х₂ <=540   (2)

    8Х₁ + 6Х₂ <=480 

    и граничные условия: Х₁ >=0, X₂ >=0       (3) 

    Задача  формулируется следующим образом:

    Найти такие неотрицательные Х₁ и Х₂, которые будут удовлетворять системе ограничений (2) и обращать в максимум целевую функцию (1)

    Целевая функция и ограничения имеют линейную форму, поэтому данная задача относится к  классу ЗЛП и для решения можно использовать симплекс-метод. Т.к. задача имеет только две переменные, она может быть решена графическим методом.

    Графический метод решения  задачи

    Область допустимых решений определяется граничными условиями (3) и системой неравенств (2). Граничные условия Х₁>=0, X₂>=0 указывают на то, что область допустимых решений находится в I-ом квадранте.

    Построим  систему неравенств (2). Каждое неравенство  геометрически определяет полуплоскость с граничными прямыми

    4Х₁ + 10Х₂ =400

               6Х₁ + 9Х₂ =540       (4)

    8Х₁ + 6Х₂ =480

    Построим  эти прямые. Каждая из них делит  плоскость на две полуплоскости. Решение следует искать в той  полуплоскости, все точки которой  удовлетворяют неравенству. Чтобы определить эту полуплоскость, возьмем какую-нибудь точку на плоскости, например точку с координатами (0;0). Если приравнять к нулю значения Х₁ и Х₂ в левой части соответствующих неравенств, получим соотношение 0<= const,  значит точка с координатами (0;0) входит в полуплоскость, соответствующую рассматриваемому неравенству. Во все полуплоскости, соответствующие ограничениям (2) входит начало координат ( при Х₁=Х₂=0, 4Х₁ + 10Х₂ <400,  6Х₁ + 9Х₂ <540, 8Х₁ + 6Х₂ <480). Т.к. система (2) совместна, то полуплоскости, пересекаясь, образуют общую для всех полуплоскостей часть, которая представляет собой многогранник. Таким образом, определили область, удовлетворяющую всем ограничениям и граничным условиям, т.е.область допустимых решений (многогранник решений). Известно, что решение должно находиться на границе этой области, и, если решение единственное, в одной из его вершин. Точка с координатами (Х₁;Х₂), в которой значение целевой функции достигает максимума, должна находится в одной из вершин многоугольника. 

    Проведем   линию уровня ЦФ. Проходящую через  начало координат: Z=6Х₁+7Х₂=0 
 

    Значение  Z возрастает в направлении нормального вектора n= {6;7}. Будем передвигать прямую параллельно самой себе в направлении вектора n до тех пор,  пока многоугольник решений не будет находится с одной стороны от неё, и прямая не будет иметь с ним, по крайней мере, одну общую точку. Этой точкой будет точка С с координатами Х₁ =42,8  Х₂=22,88, в которых ЦФ Z принимает максимальное значение. Подставив значения Х₁ = 42,8  Х₂=22,88 в целевую функцию Z =6Х₁ +7Х₂, получим её максимальное значение Z= 6 * 42,8 + 7 * 22,88 = 417

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      

    ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИМПЛЕКС-МЕТОДА ДЛЯ  РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Определение базисного (допустимого) решения

    Перейдем  от неравенств (2) к равенствам (5), введя дополнительные неотрицательные переменные Х₃, Х₄ , Х₅. Тогда система ограничений будет иметь вид:

    4Х₁ + 10Х₂  + Х ₃ =400

           6Х₁ + 9Х₂  + Х₄ =540    (5)

                       8Х₁ + 6Х₂ + Х₅ =480,

где    Х₁,Х₂, Х₃, Х₄,Х₅>=0.

 Дополнительные  переменные войдут в целевую функцию    Z    с нулевыми коэффициентами:

      

(6)

      Z =6Х₁ + 7Х₂ + 0Х₃ + 0Х₄ + 0Х₅

      Перепишем систему (5) и (6) в виде:

Х₃ = 400-(4Х₁ +10Х₂) 
Х₄=540-(6Х₁ + 9Х₂) (7)

Х₅ = 480 –(8Х₁ + 6Х₂)

Z = 0 - (- 6Х₁ - 7Х₂ - 0Х₃ - 0Х₄ - 0Х₅)

    Переменные  Х₃, Х₄, Х₅ - базисные, X₁, Х₂ - небазисные (свободные). Положив Х₁= Х₂= 0, получим значения базисных неизвестных:      Х₃=400, Х4= 540,Х₅ = 480.                                                                          Таким образом, базисное решение системы (О, О, 400, 540, 400). Для этих значений переменных целевая функция примет значение    Z = 0.

Определение оптимального решения.           Систему (7) представим в виде симплекс-таблицы С-Т1 (табл. 3). 

Таблица 3

    После заполнения (С-Т1) начнем подготовку к  составлению второй симплекс-таблицы (С-Т2). Для этого выполним следующие действия.

1. Выбираем из Z максимальное по модулю  число.
2. Делим столбец свободных членов на столбец с максимальным значением.

400/10=40,   540/9=60,    480/6=80,  и выбираем наименьшее (40).

3.  Элементы  этой строки разделим на разрешающий  элемент. Получим 1-ю строчку  С-Т2.

4.  Элементы  полученной 1-й строки С-Т 2 умножаем  на  коэффициент  первого элемента  и вычтем из соответствующего  элемента первой строки С-Т1. Получили  вторую строку С-Т 2.

Таким же образом, получим четвертую строку С-Т2 - строку целевой функции (табл. 4).

Таблица 4

5. Определим, является ли полученное решение допустимым.

В   столбце   свободных   членов   все   величины   неотрицательные, следовательно, полученное решение является допустимым.

6. Определим, является ли полученное решение оптимальным. 
Целевая функция имеет максимальное значение в том случае, когда все элементы в строке целевой функции будут положительными. В нашем   случае   не    все   элементы   в   строке   целевой   функции  положительны, поэтому оптимальный план не найден.  Продолжим решение. Перейдем к  построению новой симплекс-таблицы  С-ТЗ (табл. 5).

Таблица 5