Контрольная работа по "Экономике"

 

 

 

Задача № 16

Используя данные, приведенные  в таблице: построить линейное уравнение  множественной регрессии;

1. оценить значимость параметров данного уравнения и построить доверительные интервалы для каждого из параметров, оценить значимость уравнения в целом, пояснить экономический смысл полученных результатов;
2. рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной детерминации, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними;
3. вычислить прогнозное значение y при уменьшении вектора x на 6 % от максимального уровня, оценить ошибку прогноза  и построить доверительный интервал прогноза;

 

Номер наблюдения, i	y	x1	x2
1	40,0	5,1	18,1
2	29,2	3,1	12,9
3	41,1	2,6	19,0
4	30,2	1,8	14,0
5	42,8	9,2	16,7
6	29,0	7,7	10,5
7	52,0	6,6	22,4
8	37,0	3,7	16,3
9	48,2	8,6	18,4
10	24,6	2,5	10,3

 

Решение:

1) Предполагается, что  объясняемая переменная Y зависит от двух факторов X₁ и X₂, поэтому уравнение регрессии будем искать в виде

,

где – параметры модели. Переходя к матричному описанию задачи, обозначим

,  ,

при этом необходимо найти  матрицу параметров модели B

по формуле  .

Найдем матрицу

.

Матрицу , обратную к матрице , найдем по схеме

,

где Δ – определитель матрицы  , – алгебраические дополнения к элементам матрицы , вычисляемые по формуле , – определитель матрицы, получаемой вычеркиванием из матрицы i –ой строки и j-го столбца.

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы

.

Определители второго порядка вычисляются по формуле

,

тогда

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,  , 

 

 

Определитель матрицы 

можно найти путем разложения по строке (столбцу), например

В итоге искомая обратная матрица имеет вид

.

Найдем произведение матриц

Найдем матрицу параметров модели B

,

т.о. уравнение регрессии  имеет вид

.

2) Оценим значимость параметров данного уравнения и построим доверительные интервалы для каждого из параметров, оценим значимость уравнения в целом, поясним экономический смысл полученных результатов.

Используя начальные  данные и полученное уравнение, заполним следующую таблицу:

 

i
1	40	41,84635	3,409024
2	29,2	29,42692	0,051492
3	41,1	40,94243	0,024828
4	30,2	30,20554	3,06E-05
5	42,8	43,47895	0,460967
6	29	29,6202	0,384646
7	52	51,95122	0,002379
8	37	36,78808	0,044908
9	48,2	46,19398	4,024113
10	24,6	23,64633	0,909483
∑	374,1		9,3119

Остаточная дисперсия  определяется выражением

,

а дисперсии параметров уравнения регрессии равны

,

,

,

 где  – диагональные элементы матрицы .

Доверительный интервал для параметра b₀ найдем по формуле

,

Коэффициент Стьюдента  , следовательно

,

.

Аналогично получим

,

.

Для оценки значимости параметров уравнения регрессии сравним  с наблюдаемыми критериями

, ,

.

Анализ показывает, что при надежности 95% коэффициенты  b₁ и b₂ значимы. Несмотря на полученную незначимость коэффициента b₀, принято оставлять константу в уравнении регрессии для поглощения неучтенных в модели факторов.

Оценим общее качество уравнения регрессии. Используя  начальные данные и полученное уравнение, заполним следующую таблицу:

 

i
1	40	41,84635	6,7081	19,68124
2	29,2	29,42692	67,4041	63,72961
3	41,1	40,94243	13,6161	12,47806
4	30,2	30,20554	51,9841	51,90431
5	42,8	43,47895	29,0521	36,8321
6	29	29,6202	70,7281	60,68101
7	52	51,95122	212,8681	211,4471
8	37	36,78808	0,1681	0,386779
9	48,2	46,19398	116,4241	77,15832
10	24,6	23,64633	164,0961	189,4386
∑	374,1		733,049	723,7371

 

Найдем индекс корреляции

,

при этом скорректированный  коэффициент детерминации равен

.

Проверим значимость уравнения регрессии, при этом должно выполняться неравенство

.

Наблюдаемый критерий равен  , а , следовательно, уравнение регрессии значимо при α = 0,05.

 

3. Рассчитаем линейные  коэффициенты частной корреляции и сравним их с линейными коэффициентами парной корреляции

.

Рассмотрев межфакторный коэффициент корреляции r_x1x2 = 0,272305, приходим к выводу: явная линейная связь между факторами x₁ и x₂ не выявлена, что подтверждает правомочность введения их как двух отдельных регрессоров в модель. Парные коэффициенты у с каждым из факторов и показывают наличие положительной линейной связи, при этом можно сделать вывод о наличии более сильной связи со вторым фактором.

Частные коэффициенты корреляции найдем по формулам

,

,

их значения показывают, что при отсутствии влияния других факторов, связь с рассматриваемым фактором усиливается.

4. Рассчитаем прогнозное  значение результата, если прогнозные  значения факторов составляют 30% от их максимального значения. Для этого в полученное уравнение  регрессии подставим  ; :

.

Доверительный интервал прогноза найдем по формуле

,

где ,

, , т.о. 95% доверительный интервал прогноза имеет вид

,

.

Построенная линейная модель выявила положительную зависимость  объясняемой переменной Y от объясняющих факторов, т.е. увеличение значения  первого фактора на 1 единицу (при условии неизменности второго фактора),  приводит к увеличению Y в среднем на 1,9177 единиц, а увеличение  значения  второго фактора на 1 единицу (при условии неизменности первого фактора),  приводит к увеличению Y в среднем на 1,0723 единиц.