Для обнаружения мультиколлинеарности вычисляется матрица парных коэффициентов  корреляции, охватывающая все сочетания  независимых переменных. Коэффициенты, близкие по значению к ±1, свидетельствуют о наличии мультиколлинеарности между соответствующими переменными.

   Устранение  проблемы достигается путем пересмотра структуры уравнения регрессии.

   Самый простой способ – исключение из модели одной из двух переменных, находящихся во взаимосвязи. 

   11. Проверка адекватности  модели регрессии 

   Действия, выполняемые в данном случае, представляют собой процесс (этап) верификации модели регрессии, т.е. процесс, в ходе которого подвергается анализу качество полученной модели.

   Допустим, имеется уравнение регрессии  в линейном или нелинейном виде. Значения определяемые уравнением - _i , тогда фактические значения можно представить как:

   где e_i - случайная (остаточная) компонента.

   Анализ  остаточной компоненты (остаточного  ряда) позволяет оценить качество полученнного уравнения регрессии. Качество характеризуется выполнением определенных статистических свойств и точностью, т.е. степенью близости к фактическим данным. Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна. Смысл используемых терминов характеризуют рисунки 6.6 и 6.7.

    

   Оценить адекватность модели позволяет анализ случайной компоненты e_i. Модель считается адекватной исследуемому процессу, если:

   1) математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю;

   2) значения остаточного ряда случайны;

   3) независимы;

   4) подчинены нормальному закону  распределения. 

   Таким образом, анализ адекватности модели разбивается  на несколько этапов. 

   1. Равенство нулю математического ожидания ряда остатков означает выполнение следующего соотношения:

   Однако  в случае применения метода наименьших квадратов такая проверка является излишней, поскольку использование МНК предполагает выполнение равенства , откуда безусловным образом следует равенство нулю математического ожидания значений остаточного ряда. 

   2. Проверка случайности последовательности e_i проводится с помощью критерия пиков (поворотных точек). Каждое значение ряда (e_i) сравнивается с двумя, рядом стоящими. Точка считается поворотной, если она либо больше и предыдущего и последующего значения, либо меньше и предыдущего и последующего значения.

   В случайном ряду должно выполняться  строгое неравенство:

   где p - число поворотных точек;

       [ ] - целая часть результата вычислений. 

   3. При проверке независимости значений e_i определяется отсутствие в остаточном ряду автокорреляции, под которой понимается корреляция между элементами одного и того же числового ряда. В нашем случае автокорреляция - это корреляция ряда e₁, e₂, e₃ ... с рядом e_L+1, e_L+2, e_L+3 ... Число L характеризует запаздывание (лаг). Корреляция между соседними членами ряда (т.е. когда L = 1) называется автокорреляцией первого порядка. Далее для остаточного ряда будем рассматривать зависимость между соседними элементами e_i.

   Значительная  автокорреляция говорит о том, что  спецификация регрессии выполнена  неправильно (неправильно определен  тип зависимости).

   Наличие автокорреляции может быть выявлено при помощи d-критерия Дарбина-Уотсона. Значение критерия вычисляется по формуле:

   Эта величина сравнивается с двумя табличными уровнями: нижним - d₁ и верхним - d₂. Соответствующая статистическая таблица приведена в приложении A. Если полученное значение d больше двух, то перед сопоставлением его нужно преобразовать:

   Если d (или d^') находится в интервале от нуля до d₁ , то значения остаточного ряда сильно автокоррелированы.

   Если  значение d-критерия попадает в интервал от d₂ до 2, то автокорреляция отсутствует.

   Если d₁ < d< d₂ - однозначного вывода об отсутствии или наличии автокорреляции сделать нельзя и необходимо использовать другой критерий, например, коэффициент автокорреляции первого порядка:

   Если |r(1)| окажется меньше табличного (при n<15 r_табл = 0,36), то гипотеза о наличии автокорреляции отвергается. 

   4. Соответствие остаточного ряда  нормальному распределению проще  всего проверить при помощи  RS-критерия:

   где e_max - максимальное значение ряда остатков;

       e_min - минимальное значение ряда остатков;

        - среднеквадратическое отклонение  значений остаточного ряда.

   Если  рассчитанное значение попадает между  табулированными границами с  заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении принимается. Соответствующая статистическая таблица приведена в приложении Б. 

   Для характеристики точности модели наиболее часто вычисляют среднюю относительную ошибку:

   В отношении величины средней относительной  ошибки, как правило, делают следующие  выводы. Величина менее 5% свидетельствует  о хорошем уровне точности, ошибка до 15% считается приемлемой. 

   12. Построение точечных  и интервальных  прогнозов 

   C помощью построенной регрессионной модели можно не только анализировать какой-либо процесс, но и прогнозировать значения зависимой переменной при каких-либо заданных значениях факторов.

   Модель  регрессии позволяет проводить  как экстраполяцию, так и интерполяцию значений. Интерполяция - прогнозирование значений зависимой переменной y для значений фактора x, принадлежащих интервалу [x_min; x_max]. Экстраполяция - прогнозирование значений зависимой переменной y для значений фактора x, выходящих за границы интервала [x_min; x_max], чаще всего, при x > x_max.

   Точечный  прогноз получается путем простой  подстановки соответствующих значений x в уравнение регрессии.

   Зачастую  значения факторов, для которых нужно  сделать прогноз значения зависимой  переменной, получают на основе среднего прироста значений фактора внутри выборочной совокупности:

   где x_max и x_min - соответственно, максимальное и минимальное значение переменной x в выборочной совокупности.

   При выполнении экстраполяции для определения  конкретного значения х, используемого для расчета прогнозного значения y, можно использовать формулу:

   при прогнозе на один шаг k = 1, на два шага - k = 2 и т.д.

   Подставляя  полученное значение в уравнение  регрессии, получим точечный прогноз  величины y.

   Однако  вероятность точного "попадания" значения y в эту точку достаточно мала. Поэтому представляет интерес вычисление перспективных оценок значений y в виде доверительных интервалов.

   Доверительные границы прогноза определяются по формуле:

   где _k - точечный прогноз величины y,

       U_k - величина отклонения от точечного значения, соответствующая исследуемой точке x_k и заданному уровню вероятности.

   Величина U_k для линейной модели рассчитывается по формуле:

   где S - среднеквадратическое отклонение значений остаточного ряда из формулы (6.17),

       k_p - табличное значение t-статистики Стьюдента (соответствующая статистическая таблица приведена в приложении В) для заданной вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала. 

   И если построенная модель регрессии адекватна, то с выбранной вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей функционирования изучаемой системы прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение  А. 
Значения критерия Дарбина-Уотсона 

   В таблице приведены значения критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% (m - число независимых переменных уравнения регрессии).