Методы экстраполяции и их характеристика

Формулы расчета  а₀ и а₁ имею вид:

(2.14)

или

Прогнозируемые значения показателя у определяется по формуле:

=а₀+а₁(t+L), где L=1,2,…,(2.15)

если фактором-аргументом является время t. В случае, когда фактор-аргумент – независимая переменная (любой показатель х) то необходимо найти его прогнозируемые значения. Тогда:

=а₀+а₁х_t+L, где L=1,2,… (2.16)

Для оценки качества и надежности анализа регрессии  используются следующие показатели: корреляционное отношение (η), коэффициент парной корреляции (r), коэффициент детерминации (r²), средняя ошибка предвидения (S_с), средняя ошибка коэффициента регрессии (S_аj, j=0, 1,2, …).

Корреляционное  отношение (η) указывает на степень взаимозависимости между у и х. Принимает значения между 0 и 1:

(2.17)

Коэффициент парной корреляции может быть определен  по формуле:

(2.18)

где S₁₁, S₂₂, S₁₂ – соответственно остаточные дисперсии для функции, фактора-аргумента и их произведения: определяются по формулам:

;

;

.

Коэффициент корреляции, рассчитывается по формуле (2.18) и принимает  значения от -1 до +1. Чем ближе значения коэффициента к единице, тем большая связь существует между функцией и аргументом.

Для проверки гипотезы о наличии связи определим  критерий Стьюдента:

(2.19)

Если t_r>t_табл, то принимаем гипотезу о наличии связи, в противном случае – она отсутствует.

Коэффициент детерминации (r²) показывает, насколько уравнение регрессии подходит к значениям временного ряда или какой процент составляют учтенные факторы в уравнении регрессии.

Точность регрессионной модели определяется с помощью средней ошибки предвидения или среднего отклонения по формуле:

(2.20)

Средняя ошибка коэффициентов регрессии определяется по формуле:

(2.21)

или

,

где j=1, 2, … , m; m –  число факторов;

t=1, 2, … , n; n –  число данных.

Оценка Стьюдента  (t_аj) показывает удельный вес фактора-аргумента х при объяснении у. Она вычисляется делением коэффициентов a_j на их средние ошибки S_aj:

(2.22)

Оценка Стьюдента  показывает, во сколько раз значения j-го коэффициента превосходят его среднюю ошибку. Любое значение t_aj больше 2 или меньше -2 считается приемлемым. Чем больше величина t_aj, тем больше значимость коэффициентов регрессии, тем надежнее уравнение регрессии.

Статистическая  надежность аппроксимирующей функции или коэффициента парной корреляции устанавливается также с помощью критерия Стьюдента (2.19).

С вероятностью ошибки р и с (n-2) степенями свободы выбранная функция признается статистически надежной, если рассчитанное значение критерия t_r превышает табличное.

Ошибкой прогноза называется отклонение предсказанного значения от наблюдаемого (фактического). Для оценки совокупной ошибки прогноза используются два показателя: средняя  абсолютная ошибка ( ) и средняя относительная ошибка ( ), которые определяются по формулам:

(2.23)

(2.24)

С помощью метода наименьших квадратов могут быть определены а₀ и а₁ во всех однофакторных прогнозирующих функциях, если эти функции предварительно линеаризовать, т.е. преобразовать в линейную модель. Линеаризация достигается логарифмированием или получением обратных значений функции, а также заменой переменных, представляющих собой преобразованные значения показателей у и t.

Многофакторные прогнозирующие функции

Каждый прогнозируемый показатель у_t (t=1,2…,n) можно рассматривать не только как функцию одного фактора-аргумента, но и от нескольких:

- в виде линейной  многофакторной модели:

у_t=а₀+а₁х_1t+а₂х_2t+…+а_jх_jt+…+а_mх_mt(2.25)

где а₀, а_j – коэффициенты модели при j=1, 2, … , k;

х_jt – факторы-аргументы, влияющие на прогнозируемый показатель у_t, при j=1, 2, … , m; t=1,2,…, n;

- в виде нелинейной  многофакторной модели (степенного  типа):

(2.26)

которая путем  логарифмирования преобразуется в  линейную. Более сложные виды нелинейных многофакторных моделей редко используются в практике прогнозирования и  планирования.

Коэффициенты  а₀, а_j в моделях типа (2.25) и (2.26) определяются с помощью метода наименьших квадратов (2.13) из системы нормальных уравнений, представляющих собой частные производные по а₀, а_j равные нулю:

 

В результате решения  данной системы уравнений находятся  такие а₀ и а_j, при которых (2.13) стремится к нулю.

Факторы-аргументы должны отвечать следующим условиям: во-первых, иметь количественное измерение и отражаться в отчетах или, по крайней мере, определяться на основе специального анализа отчетных данных; во-вторых, иметь перспективные оценки значений на прогнозируемый период; в-третьих, число включаемых в модель факторов должно быть меньше числа данных ряда в три раза; в-четвертых, быть линейно независимыми.

Факторы считаются  зависимыми (мультиколлинеарными), если линейный (парный) коэффициент корреляции (см. формулу 2.18) двух факторов более 0,8. Из них в модели оставляют тот, который имеет больший коэффициент корреляции с функцией у.

Оптимальное количество факторов-аргументов можно установить с помощью так называемого  метода исключений. Сущность его заключается  в следующем.

В модель типа (2.25) включают все возможные факторы, удовлетворяющие указанным выше условиям и строят эту модель. Для  каждого j-го фактора-аргумента по формуле (2.22) находят оценки Стьюдента. Выбирают наименьшую величину оценки min t_a1 и сравнивают с табличным значением – t_p при (n-k-1) – степенях свободы и выбранном уровне значимости р (обычно принимают р=0,05 или 5%). Если минимальная из рассчитанных оценок t_a>t_p, то модель оставляют в полученном виде. Если же t_ap, то фактор а₁ исключается из модели как незначимый. Затем с оставшимися факторами строят новую модель, определяют новое значение оценок Стьюдента, находят минимальную из них и т.д. до тех пор, пока в модели останутся все значимые факторы.

Тесноту связей между функцией и факторами-аргументами можно установить с помощью квадрата коэффициента множественной корреляции:

(2.27)

где

Квадрат коэффициента множественной корреляции показывает, какая часть общего рассеяния зависимой переменной может быть объяснена функцией вида (2.25) или вида (2.26).

Статистическая  надежность многофакторной регрессионной  модели (или коэффициента детерминации) устанавливается с помощью критерия Фишера:

(2.28)

где n – число  данных;

m – число  факторов-аргументов в модели;

R² – квадрат коэффициента множественной корреляции.

Если расчетное  значение критерия Фишера превышает табличное при (n-m) и (m-1) степенях свободы и принятом р – уровне значимости то модель признается статистически надежной и значимой. Многофакторная регрессионная модель может быть использована для прогнозирования не более трехлетнего периода упреждения. Ошибки прогноза определяются по формулам (2.23-2.24).

      Метод экспоненциального сглаживания

Сущность этого  метода заключается в том, что  прогноз ожидаемых величин (объемов, продаж и т.д.) определяется путем  взвешенных средних величин текущего периода и сглаженных значений, сделанных в предшествующий. Такой процесс продолжается назад к началу временного ряда и представляет собой простую экспоненциальную модель для временных рядов с устойчивым трендом и малыми (независимыми) периодическими колебаниями. Для многих временных рядов (показателей) наблюдается очевидная картина периодичности и случайности. Поэтому простая экспоненциальная модель расширяется с включением в нее двух последних компонент.

а) С устойчивым трендом

Пусть глаженное значение в момент времени t определяется по рекуррентной формуле:

(2.29)

где у_t – фактическое значение в момент времени t; ;

а – параметр сглаживания, определяется по формуле (2.11)

Тогда сглаженное значение в момент времени (t-1) равно:

(2.30)

Подставив в  выражение (2.29), получим:

(2.31)

Продолжая этот процесс, прогноз может быть выражен  в величинах прошлых значений временного ряда, т.е.:

, (2.32)

где L – период предсказания, но не более трех-пяти лет.

При t=1,2,…, n сглаженные значения в момент времени t определяются по формуле (2.29). Для этого же периода  времени определяется среднее квадратическое отклонение (см. формулу 2.9) и коэффициент вариации (см. формулу 2.12), чтобы оценить точность выбранного параметра сглаживания. При t=1

.

В случае если коэффициент  вариации превышает 10%, то необходимо изменить интервал сглаживания, а следовательно, и параметр сглаживания .

При ,…, n прогнозы в момент времени t определяются по формуле (2.32) для оценки точности предсказания по среднему квадратическому отклонению и коэффициенту вариации.

При t=n+1, n+2, …  определяются соответственно прогнозы данного показателя, в предположении, что текущее значение в момент времени t=n+1 совпадает с прогнозным в момент времени t=n.

б) С периодической компонентой

Пусть - сглаженное значение в момент времени t с учетом периодической компоненты. Периодичность совпадает с периодом предсказания. На практике обычно рассматриваются годовые или месячные изменения. Тогда оценка сглаженного значения запишется так:

(2.33)

.

где f_t-T – оценка периодической компоненты в предшествующем периоде; Т – длина периода.

В момент времени t периодическая компонента определяется по формуле:

(2.34)

.

Весовые параметры  α и β подбираются либо с  учетом текущих значений , либо с учетом прошлых значений . Оптимальные их значения устанавливаются по минимуму среднего квадратического отклонения.

Прогноз ожидаемых  значений для оценки выбранных параметров α и β может быть определен  мультипликативным образом по формуле:

(2.35)

где

.

При t=n+1, n+2,…, N определяются собственно прогнозы по формуле:

(2.36)

где - прогноз сглаженного значения определяемый по формуле (2.32).

в) С периодической и случайной компонентами

Пусть оценка сглаженного значения с учетом периодической и случайной компоненты имеет вид: