1. получить наилучшие оценки неизвестных параметров и ;
2. проверить статистические гипотезы о параметрах модели;
3. проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными.

     Парная  линейная регрессия - это причинная модель статистической связи линейной между двумя количественными переменными «x» и «у», представленная уравнением , где х - переменная независимая, y - переменная зависимая. Коэффициент регрессии «b» и свободный член уравнения регрессии «a» вычисляются по формулам: 

     где r - коэффициент линейной корреляции Пирсона для переменных x и y; s_x и s_y - стандартные отклонения для переменных x и y; x,y - средние арифметические для переменных x и y.

     Существуют  два подхода к интерпретации  коэффициента регрессии b. Согласно первому из них, b представляет собой величину, на которую изменяется предсказанное по модели значение ŷ_i = a + bx_i при увеличении значения независимой переменной x на одну единицу измерения, согласно второй - величину, на которую в среднем изменяется значение переменной y_i при увеличении независимой переменной x на единицу. На диаграмме рассеяния коэффициент b представляет тангенс угла наклона линии регрессии y = a + bx к оси абсцисс. Знак коэффициента регрессии совпадает со знаком коэффициента линейной корреляции: значение b>0 свидетельствует о прямой линейной связи, значение b < 0 - об обратной. Если b = 0, линейная связь между переменными отсутствует (линия регрессии параллельна оси абсцисс).

     Свободный член уравнения регрессии a интерпретируется, если для независимой переменной значение x = 0 имеет смысл. В этом случае y = a, если x = 0. Качество (объясняющая способность) уравнения парной линейной регрессии оценивается с помощью коэффициента детерминации.

     После построения уравнения регрессии  необходима интерпретация и анализ, а также словесное описание полученных результатов с трактовкой найденных  коэффициентов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.2. Множественная линейная регрессия

     На  любой экономический показатель чаще всего оказывает влияние  не один, а несколько факторов. В  этом случае вместо парной регрессии  рассматривается множественная. В общем случае в регрессионный анализ вовлекаются несколько независимых переменных. Это, конечно же, наносит ущерб наглядности получаемых результатов, так как подобные множественные связи в конце концов становится невозможно представить графически. Переменные, объявленные независимыми, могут сами коррелировать между собой; этот факт необходимо обязательно учитывать при определении коэффициентов уравнения регрессии для того, чтобы избежать ложных корреляций.

     Заданием  множественного регрессионного анализа  является построение такого уравнения  прямой k-мерном пространстве, отклонение результатов наблюдений от которой были бы минимальными. Используя для этого метод наименьших квадратов, получается система нормальных уравнений, которую можно представить и в матричной форме.

     Множественная линейная регрессия - причинная модель статистической связи линейной  между переменной зависимой y и переменными независимыми  x₁,x₂,...,x_k, представленная уравнением y = b₁x₁ + b₂x₂ + ... + b_kx_k + a = ∑ b_ix_i + a . Коэффициенты b₁,b₂,...,b_k называются нестандартизированными коэффициентами, а - свободным членом уравнения регрессии. Уравнение регрессии существует также в стандартизированном виде, когда вместо исходных переменных используются их z-оценки: z_y = ∑ β_iz_i. Здесь z_y - z-оценка переменной у; z₁,z₂,...,z_k - z-оценки переменных x₁,x₂,...,x_k; β₁,β₂,...,β_k - стандартизированные коэффициенты регрессии (свободный член отсутствует).

     Для того чтобы найти стандартизированные  коэффициенты, необходимо решить систему  линейных уравнений: 

     β₁ + r₁₂β₂ + r₁₃β₃ + ... + r_1kβ_k = r_1y,

     r₂₁β₁ + β₂ + r₂₃β₃ + ... + r_2kβ_k = r_2y,

     r₃₁β₁ + r₃₂β₂ + β₃ + ... + r_3kβ_k = r_3y,

     ...

     r_k1β₁ + r_k2β₂ + r_k3β₃ + ... + β_k = r_ky,

     в которой r_ij - коэффициенты линейной корреляции Пирсона для переменных x_i и x_j; r_iy - коэффициент корреляции Пирсона для переменных x_i и y. [8]

     Нестандартизированные коэффициенты регрессии вычисляются  по формуле b_i = β_i ∙ s_y / s_i, где s_y - стандартное отклонение переменной y; s_i - стандартное отклонение переменной х_i. Свободный член уравнения регрессии находится по формуле a = y - ∑ b_ix_i, где y - среднее арифметическое переменной y, x_i - средние арифметические для переменных x_i.

     В настоящее время используются два  подхода к интерпретации нестандартизированных  коэффициентов линейной регрессии  b_i. Согласно первому из них, b_i представляет собой величину, на которую изменится предсказанное по модели значение ŷ = ∑ b_ix_i при увеличении значения независимой переменной x_i на единицу измерения; согласно второму - величину, на которую в среднем изменяется значение переменной y при увеличении независимой переменной x_i на единицу. Значения коэффициентов b_i существенно зависят от масштаба шкал, по которым измеряются переменные y и x_i, поэтому по ним нельзя судить о степени влияния независимых переменных на зависимую. Свободный член уравнения регрессии a равен предсказанному значению зависимой переменной ŷ в случае, когда все независимые переменные x_i = 0. [8]

     Стандартизированные коэффициенты β_i являются показателями степени влияния независимых переменных x_i на зависимую переменную y. Они интерпретируются как "вклад" соответствующей независимой переменной в дисперсию (изменчивость) зависимой переменной.

     Качество (объясняющая способность) уравнения  множественной линейной регрессии  измеряется коэффициентом множественной  детерминации, который равен квадрату коэффициента корреляции множественной R².

     Предполагается, что все переменные  в уравнении  множественной линейной регрессии  являются количественными. При необходимости  включить в модель номинальные переменные используется техника dummy-кодирования. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     При наличии нескольких показателей  задача регрессионного анализа решается независимо для каждого из них. Анализируя сущность уравнения регрессии, следует  отметить следующие положения. Изменение значений других. Полученные коэффициенты не следует рассматривать как вклад соответствующего параметра в значение показателя. Уравнение регрессии является всего лишь хорошим аналитическим описанием имеющихся экономических данных, а не законом, описывающим взаимосвязи параметров и показателя. Это уравнение применяют для расчета значений показателя в заданном диапазоне изменения параметров. Оно ограниченно пригодно для расчета вне этого диапазона, т.е. его можно применять для решения задач интерполяции и в ограниченной степени для экстраполяции.

     Главной причиной неточности прогноза является не столько неопределенность экстраполяции  линии регрессии, сколько значительная вариация показателя за счет неучтенных в модели факторов. Ограничением возможности  прогнозирования служит условие  стабильности неучтенных в модели параметров и характера влияния учтенных факторов модели. Если резко меняется внешняя среда, то составленное уравнение регрессии потеряет свой смысл. Нельзя подставлять в уравнение регрессии такие значения факторов, которые значительно отличаются от представленных/ Рекомендуется не выходить за пределы одной трети размаха вариации параметра как за максимальное, так и за минимальное значения фактора.