Прогнозирование по мультипликативной и аддитивной моделям

4. Прогнозирование по мультипликативной и аддитивной моделям

4.1. Экономические показатели, на изменение которых влияет фактор сезонности.  Модели их прогнозирования

Когда экономические показатели представляют собой внутригодовые данные, в их изменении обычно наблюдаются устойчивые сезонные колебания. В одних случаях они могут быть вызваны сезонностью производства (сельское хозяйство, транспорт, торговля, сфера обслуживания и т.д.), в других - социально-экономическими факторами.

Уровни таких рядов, как правило, состоят из трех составляющих: трендовая, сезонная и случайная. Это значит, что на основную тенденцию изменения показателя налагается сезонная составляющая. Сезонная компонента представляет такие отклонения уровней ряда от тренда, которые имеют одинаковый характер и повторяются в одни и те же периоды года.

Для оценки воздействия фактора сезонности на изменение экономического показателя обычно достаточно содержательного анализа экономической природы показателя и графического отображения наблюдений за два-три года.

Измерение внутригодовых колебаний показателя может определяться (анализироваться) различными способами. Простейшим является вычисление удельного веса каждого уровня в суммарном годовом объеме. Полученные значения обычно усредняются по одноименным моментам времени (кварталам, месяцам, временам года), что позволяет получить более устойчивые оценки.

Другой способ - сравнение каждого наблюдения со среднегодовым уровнем соответствующего года. В результате такого сравнения получают так называемые коэффициенты сезонности. Если отклонения фактических уровней от среднего вычисляют в виде разности, то коэффициенты называются аддитивными, а если в форме отношения - мультипликативными. Достоинство данного способа - его простота, недостаток - он не учитывает наличие случайных колебаний и тенденцию изменения среднего уровня и сезонной волны. В какой-то мере уменьшает этот недостаток предварительное сглаживание и выделение тенденции при помощи скользящей средней.

Для прогнозирования показателей, на изменение которых оказывает влияние фактор сезонности, могут использоваться различные модели, например, авторегрессионные или модели Бокса-Дженкинса. Когда в уровнях ряда присутствует тенденция и сезонная составляющая, проще всего показатель прогнозировать, скорректировав модель тренда с учетов сезонных колебаний.

Для этих целей используют мультипликативную или аддитивную модели, которые имеют следующий вид:

мультипликативная       

                 (4.1а)

аддитивная                

            (4.1б)

где      -  период времени,  ;

-  фактические уровни ряда;

- составляющая, характеризующая основную тенденцию (тренд);

-  сезонная составляющая;

-  случайная  составляющая.

4.2. Технология прогнозирования

по мультипликативной и аддитивной моделям

Процесс разработки прогнозов по мультипликативной и аддитивной моделям состоит из трех этапов и отличается только некоторыми нюансами.

Первый этап. Сглаживание фактических уровней ряда.

Выполняется для того, чтобы представить тенденцию изменения показателя и выделить сезонную составляющую.

Для сглаживания необходимо определить период сглаживания . Продолжительность этого периода следует принимать равной тому отрезку времени, через который повторяется однотипный эффект сезонности. Его величину определяют в результате качественного анализа экономического показателя и изучения закономерности изменения фактических уровней ряда, представленных графически. Если величина показателя измеряется помесячно, то продолжительность периода сглаживания скорее всего будет равна 12, хотя может быть и иной. Для квартальных данных или данных, собранных по временам года (зима, весна, лето, осень), период сглаживания будет равен 4.

Сглаженные уровни показателя  рассчитывают по формуле:

,    (4.2)

где    равняется ;

           изменяется от до .

Второй этап. Выделение сезонной составляющей.

Вначале выделяют сезонную и случайную составляющие уровней ряда:

           (4.3а)

          (4.3б)

Строго говоря,  в этих формулах характеризует лишь часть случайной составляющей, так как другая ее часть содержится в уровнях ряда . Условность применяемой процедуры выделения сезонной составляющей состоит еще и в том, что при сглаживании теряется часть данных из предыстории.

Затем определяют величину сезонной составляющей уровней ряда для каждого – го периода года .  Для этого по одноименным периодам года рассчитывают значения  (как простую среднюю) и исключают из них . Так как при использовании мультипликативной модели сезонная составляющая колеблется около 1, а при использовании аддитивной модели – около нуля, то можно исключить, выполнив следующие условия:

               (4.4а)

                (4.4б)

Если для расчетов используется табличный процессор Excel, то выполнение условий (4а) и (4б) можно получить, воспользовавшись функцией Сервис - Поиск решения.

Анализируя величину сезонной составляющей, можно делать выводы о том, как сильно влияет сезонный фактор на изменение показателя и одинаково ли это влияние в одноименные периоды года на всей предыстории.

Уровни ряда без учета сезонной составляющей определяют так:

                        (4.5а)

,                      (4.5б)

где ; ; ; для каждого   .

Третий этап. Расчет прогнозов

Точечный и интервальные прогнозы рассчитывают на требуемый период упреждения прогноза . Например, менеджер туристической фирмы желает иметь информацию о том, какие объемы продаж путевок по сезонам года (зима, весна, лето, осень) можно ожидать в следующем году. В этом случае период упреждения прогноза будет равен четырем.

Расчет точечного прогноза состоит из расчета трендовой составляющей уровней ряда для периода и учета влияния сезонного фактора.

Параметры уравнения тренда находят по  . Вид уравнения тренда подбирается таким образом, чтобы оно как можно точнее описывало изменение уровней ряда . В пакете Exсel для расчета параметров уравнения можно использовать функцию Сервис – Анализ данных – Регрессия.

Далее значение показателя, рассчитанное по уравнению тренда для периода , корректируют на соответствующую величину  сезонной составляющей. Если сезонная составляющая не меняется от  года к году в периоде предыстории, то корректировку проводят по формулам:

          (4.6а)

         (4.6б)

В противном случае величину для периода нужно определять по уравнениям тренда или по методу экспоненциального сглаживания.

Интервальный прогноз определяют так:

левая граница                                        (4.7)

правая граница ,                                   (4.8)

где - доверительный полуинтервал.

Доверительный полуинтервал рассчитывают по формуле:

                        (4.9)

где - табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы ;

        – остаточное среднеквадратическое отклонение.

,      (4.10)

где  – остаточные отклонения,

        - среднее значение остаточного отклонения;

         – длина периода предыстории.

Остаточные отклонения  определяют так:

              (4.11а)

           (4.11б)

Если в периоде предыстории значения сезонной составляющей очень сильно колеблются от года к году, то для прогнозирования лучше использовать мультипликативную модель. В этом случае интервальный прогноз (при одной и той же доверительной вероятности) будет уже, чем при использовании аддитивной модели.

Контрольные вопросы

1. Когда в уровнях динамического ряда появляется сезонная составляющая?

2. Какие методы могут использоваться для прогнозирования экономических показателей, на изменение которых влияет фактор сезонности?

3. Раскройте сущность мультипликативной и аддитивной моделей прогнозирования

4. Назовите этапы прогнозирования экономических показателей по мультипликативной и аддитивной моделям. В чем их различие?

5. На что следует обращать внимание при выборе периода сглаживания?

6. Какие выводы можно сделать,  анализируя величину сезонной составляющей?

7. Для чего определяют параметры уравнения тренда при прогнозировании показателей, на изменение которых влияет фактор сезонности?

8. Что нужно знать, чтобы рассчитать точеный и интервальный прогнозы по мультипликативной (аддитивной) модели?

Литература,  рекомендуемая  к  изучению:

1. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели: Учеб. пособие для ВУЗов. – М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995. – 136 с., C. 70 –73

2. Кендэл М. Временные ряды. – Пер. с англ. и предисл. Ю.П. Лукашина. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 199 с., ил., С. 63