Прикладная математика

Содержание

 

 

1. Выравнивание статистических данных и математическое прогнозирование на автотранспорте методом Чебышева 3
2. Построение сетевого графика на автотранспорте и его числовой расчет 7

Список литературы 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Выравнивание статистических данных и математическое прогнозирование на автотранспорте методом Чебышева.

    Основными математическими предпосылками эконометрического моделирования являются теоремы Чебышева, Бернулли и Ляпунова. Совокупность этих теорем носит общее название закона больших чисел.

На практике исследователи часто сталкиваются с таким комплексом условий, при осуществлении которого совокупное поведение достаточно большого количества случайных величин почти утрачивает случайный характер и приобретает определённые закономерности. Поэтому для решения подобных задач необходимо знать данный подобный комплекс условий, вследствие которого результат совокупного воздействия количества случайных факторов почти не зависит от случая. В этом случае опираются на закон больших чисел.

Для рассмотрения теоремы Чебышева вначале необходимо доказать неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева справедливо как для дискретных, так непрерывных случайных величин. Рассмотрим его на примере дискретных случайных величин.

Предположим, что случайная дискретная величина X подчиняется закону распределения вида:

 

Задача состоит в оценке вероятности того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания М(Х) не превышает по абсолютной величине положительного числа β. Если число β достаточно мало, то задача будет состоять в оценке вероятности того, что случайная величина Х примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию М(Х). Данная задача решается с применением неравенства П.Л. Чебышева.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания М(Х) по абсолютной величине меньше положительного числа β не меньше, чем

т. е.

Доказательство. Так как события |Х-М(Х)|‹ε и |Х-М(Х)|≥ε являются противоположными, то на основании теоремы сложения вероятностей сумма их вероятностей равна единице:

P(|Х-М(Х)|‹ε)+P(|Х-М(Х)|≥ε)=1.

Выразим из полученного равенства вероятность |Х-М(Х)|‹ε:

P(|Х-М(Х)|‹ε)=1– P(|Х-М(Х)|≥ε). (1)

Дисперсия случайной величины Х определяется по формуле:

D(X)=(x1–M(X))2*p1+(x2–M(X))2*p2+…+(xn–M(X))2*pn.

Если отбросить первые k+1 слагаемые, для которых выполняется условие |xj-M(X)|‹ ε, то получим следующее неравенство:

D(X)≥(xk+1–M(X))2*pk+1+(xk+2–M(X))2*pk+2+…+(xn–M(X))2*pn.

Возведя обе части неравенства

в квадрат, получим равносильное неравенство |xj–M(X)|2≥ε2.  Если заменить в оставшейся сумме каждый из множителей |xj–M(X)|2 числом β2, то получим следующее выражение:

D(X)≥ ε2(pk+1+ pk+2+…+ pn).

Так как сумма в скобках (pk+1+ pk+2+…+ pn) является выражением вероятности P(|Х-М(Х)|≥ε), то справедливо неравенство (2):

D(X)≥ ε2P(|Х-М(Х)|≥ε),

или

Если подставить неравенство (2) в выражение (1), то получим:

что и требовалось доказать.

Теорема Чебышева. Если величины X1, X2, …, Xnявляются последовательностью попарно независимых случайных величин, имеющих дисперсии, ограниченные одной и той же постояннойС (D(Xi)≤C), то, как бы ни было мало положительное число ε, вероятность неравенства

ε будет приближаться к единице, если число случайных величин достаточно мало. Другими словами, для любого положительного числа существует предел:

Доказательство. В силу второго свойства дисперсии (постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат) и оценки D(Xi)≤C получим:

Таким образом,

Из данного соотношения и неравенства Чебышева вытекает, что

Отсюда, переходя к пределу при n›ε, получим

Учитывая, что вероятность не может быть больше единицы, окончательно запишем:

что и требовалось доказать.

Если для рассматриваемых случайных величин математическое ожидание одинаково и дисперсии данных величин ограничены, то к ним применима теорема Чебышева. В этом случае считается справедливым утверждение, что среднее арифметическое достаточно большого количества попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной, утрачивает характер случайной величины.

 

 

 

 

2. Построение сетевого графика на автотранспорте и его числовой расчет

 

Основу сетевой модели составляет сетевой график – наглядное отображение плана работ. Главными элементами сетевого графика являются события и работы. Событие – состояние, момент достижения промежуточной или конечной цели разработки. Событие не имеет протяжённости во времени. Работа – протяжённый во времени процесс, необходимый для совершения события.

События на сетевом графике (или на графе) изображаются кружками (вершинами графа), а работы – стрелками (ориентированными дугами), показывающими связь между работами.

При построении сетевого графика необходимо соблюдать ряд правил.

1. В сетевой модели не должно быть «тупиковых» событий, т. е. событий, из которых не выходит ни одна работа, за исключением завершающего события.

2. В сетевом графике не должно быть «хвостовых» событий (кроме исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа.

3.  В сети не должно быть замкнутых контуров и петель, т. е. путей соединяющих некоторые события с ними же самими.

При возникновении контура необходимо вернуться к исходным данным и путем пересмотра состава работ добиться его устранения

4.  Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой-стрелкой.

5. В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее событие.

6. Длина стрелки не  зависит от времени выполнения  работы.

7. Каждая операция должна быть представлена только одной стрелкой.

8. Следует избегать пересечения  стрелок.

9. Не должно быть стрелок, направленных справа налево.

10. Номер начального события должен быть меньше номера конечного события.

 

Расчет параметров сетевого графика

 Временные  параметры сетевых графиков

 

Начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями. Поэтому для указания конкретной работы используют код работы Рi,j, состоящий из номеров начального (i-го) и конечного (j-го) событий (рис. 3.1, а).

На рис. 3.1, б изображен пример кодирования работ и событий в принятых обозначениях: tij – продолжительность работы Рi,j, t – ранний срок (ожидаемый момент) осуществления события, t* – поздний срок (предельный момент) осуществления события, n – номер события, nсм – номер предшествующего (смежного) события.

На рис. 3.1 в приведён пример изображения события в принятых выше обозначениях.

Обозначим через множество работ, входящих в j-е событие, а через – множество работ, выходящих из  i-го события.

Раннийсрок (ожидаемый момент) осуществления j-го события представляет собой момент времени, раньше которого событие произойти не может и рассчитывается по формуле

 

.                                       (3.1)

 

Поздний срок (предельный момент) осуществления i-го события показывает максимальную задержку во времени наступления данного события:

 

.                                      (3.2)

 

Одно из важнейших понятий сетевого графика – понятие пути L.

Критический путь – последовательность работ между начальными и конечными событиями сети, имеющих наибольшую продолжительность во времени. Минимальное время, необходимое для выполнения проекта, запланированного сетевым графиком, равно длине критического пути. Сетевой график может содержать не один, а несколько критических путей. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути. Резервный интервал от t до t* для событий, лежащих на критическом пути, равен 0. Для завершающего события сетевого графика поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку, т. е. tп = t*п.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события, т. е. tкр = tп= t*п.

Любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Среди резервов времени работ наиболее часто используют полный и свободный резервы времени работ.

Полный резерв времени работы Pi,j показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв определяется по формуле

 

. (3.3)

 

Свободный резерв времени работы Pi,j представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. находится по формуле

 

. (3.4)

 

Работы, лежащие на критическом пути, так же, как и критические события, резервов времени не имеют.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Афанасьев, М.Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения [Текст] : учеб.пособие для экономических вузов / М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. – М. : ИНФРА-М, 2003. – 444 с.

2. Вентцель, Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология [Текст] : учеб.пособие для вузов / Е.С. Вентцель. – 4-е изд., стер. – М. : Дрофа, 2006. – 206 с. – (Высшее образование).

3. Галушко В. Г. Аналитические зависимости к моделированию движения автомобиля на ЭЦВМ. В сб.: «Автомобильный транспорт», № 7, К., «Техника», 1970.

4. Ильченко, А.Н. Экономико-математические методы [Текст] : учеб.пособие / А.Н. Ильченко. – М. : Финансы и статистика, 2006. – 288 с.