Предельная полезность по Вальрасу

     Во-вторых, теперь в расчет берутся ресурсы  производства - труд и земля. Возможно такое рассуждение: если за 20 мер  маиса земледелец получает кружку виски, то, чем больше маиса он произведет, тем больше кружек виски получит. И вот он начнет расширять посевную площадь и соберет значительный урожай, и окажется, что его продукт  от этого просто подешевел и теперь за кружку виски ему приходится отдавать 25 мер зерна. То же самое может  произойти и с дровосеком, и  с винокуром, хотя у них наращивание  продукта потребует увеличения скорее затрат труда, чем площади обработки  земли.

     Что же делать?

     Сокращать производство, чтобы единица продукта стала дороже? Но можно насокращать  до такой степени, что не обеспечишь себя всем необходимым. Значит, требуется  найти некое равновесное количество продукта, при котором предельный расход ресурсов будет равен предельному  доходу от продажи продукта.

     Но  и это еще не все. Хитрый новичок  может задумать комбинацию: наменяю, мол, побольше маиса, сделаю запас, потом  какое-то время смогу получать дрова  за маис, у кукурузника вообще ничего не покупать - и устрою себе безделье.

     Такой поворот вносит в ситуацию элемент  конкуренции: дровосек может выбирать, у кого покупать зерно в обмен  на свои дрова. Правда, для этого  винокуру пришлось бы затратить предварительно много труда.

Однако  земледелец, видя, что винокур покупает у него больше, чем ему нужно  для собственного потребления, начинает припрятывать свой запас, повышая зерновую цену одной кружки виски. И выходит, что винокур лишь удешевил свой продукт и перерасходовал труд.

     Мы  видим, что даже в такой простой  экономике становится очень непросто установить цены и производство на уровне равновесия. 
И что даже при достижении равновесия здесь могут происходить разнообразные колебания с отклонениями и возмущениями. А каким образом это все происходит в современной стране с многомиллионным населением?

     Так ставил задачу Вальрас

 

     Постановка  задач 

     Начнем  по порядку. Дано:

Товары  Ресурсы Кукуруза (К) Земля (3) Дрова (Д) Труд (Т) Виски (В)

     Требуется определить: при каких ценах будет  достигнуто равновесие спроса и предложения  по всем трем товарам и какое количество каждого товара отвечает состоянию  равновесия?

     Важное  уточнение: мы должны принимать во внимание, что и ресурсы производства имеют  свою цену, которая влияет на цены товаров. Когда речь идет о настоящей экономике, цена земли выражается рентой, а  цена труда - заработной платой. В нашей  ситуации нет ни дворянина-землевладельца, ни наемного труда. Но от Адама Смита  и Иог анна фон Тюнена мы уже  знаем, что и рента, и зарплата на острове Тюрго тоже будут существовать, хотя и в скрытом виде. Так что  островная наша экономика в этом отношении не отличается от обычной;

     Настала пора ввести некоторые обозначения:

а - расход любого ресурса на создание единицы  любого продукта;

aij - расход  ресурса i на создание единицы  продукта j, например: аЗК - расход  земли на выращивание одной  меры кукурузы, aTB - расход труда  на изготовление одной кружки  виски и т.д. Такой показатель  имеет название технологического  коэффициента;

xi - количество  единиц продукта i (те. сколько его  производится для обмена);

ri - количество единиц ресурса ; (т.е. сколько его всего используется в производстве всех продуктов);

pi - цена  единицы продукта i;

vi - цена  единицы ресурса i.

     Может возникнуть вопрос чем измеряются цены в этой бартерной экономике? Островитяне  наши долго ломали голову, пока не придумали  измерять „цены трудоднями” Когда  был СССР, а в нем был социализм, такая единица измерения применялась  в колхозах. Как и на нашем острове, трудодень в колхозе имел мало отношения к реальному рабочему дню. 
Они договорились считать 8 часов труда за 1 трудодень независимо от того, сколько в действительности каждый из них трудится.

 

     Уравнение общего равновесия 

     Немного поразмыслив, мы можем записать основные зависимости нашей островной  экономики в виде уравнений.

     Возьмем сперва ограничения по ресурсам. Очевидно, что количество каждого ресурса, которое используется в производстве кукурузы, дров и виски, не может  не быть равно в сумме тому количеству этого ресурса, каким располагает  наше хозяйство. Поэтому:

     Сейчас  возьмемся за цены. Всего их у  нас 5 (цены трех продуктов + цены двух ресурсов).

     Цены  служат аргументами функций спроса. Мы здесь имеем дело не с обычной  кривой спроса, потому что мы теперь знаем, что спрос на каждый отдельный  товар зависит (так или иначе) от цен на все товары и ресурсы  в экономике. Как зависит? Пока это  неважно, потому что мы пока не собираемся заниматься вычислениями. Поэтому мы просто констатируем, что спрос на данный товар есть какая-то функция  от всех цен (функция типа F).

     Далее, мы вспоминаем, что цена товара равна  сумме издержек его производства. Нам известны технологические коэффициенты (которые показывают, сколько каждого  ресурса используется на отдельный  продукт). Умножая технологические  коэффициенты на цены ресурсов, получаем сумму издержек производства по каждому  продукту:

aЗКvЗ+aTKvT=pK (3)

aЗДvЗ+aТДvT=pД

аЗBvЗ+aTBvT=pB

     Нам осталось записать функции предложения  ресурсов (факторов) производства. Как  и с функциями спроса на товары, мы запишем их в общем виде - просто функции типа G: (4)

     Это еще не все. Пока даже непонятно, к  чему все эти уравнения, правда ведь?

     Ну  что же, давайте прибегнем к  испытанному методу. Что нужно  делать, если хочешь что-то понять? Конечно: рассуждать.

 

     Закон Вальраса 

     Доход земледельца проистекает от его  земли и его труда, а выражается в выручке от продажи кукурузы. Иными словами, выручка от продажи  кукурузы распределяется как рента  на его землю и оплата его труда (это и есть то, что мы называли прежде вознаграждением факторов производства). То же самое можно сказать про  двоих других островитян, не так ли?

     А если так, тогда - внимание! - вся суммарная  выручка от продажи всех (трех) продуктов  является суммой вознаграждений всех (двух) факторов, используемых на острове. И вот что получается:

рКхК+рДхД+зВхВ=vЗrЗ+vТrТ (5)

     Знак  тождества мы ставим здесь потому, что левая часть и правая часть, как мы только что установили, - это  одно и то же. Но и тут еще не конец. Мы только что понаписали кучу уравнений.

     В ней есть уравнения спроса (в левой  части стоят иксы) и уравнения  предложения (в левой части стоят  эры). Вот давайте-ка их быстренько подставим  из уравнений (2) и (4) в тождество (5):

PKFK+pДFД+pBFB=v3G3+vTGT (6)

     Вот теперь все. Во-первых, мы пишем просто буквы F и G, помня, что это функции  спроса и предложения. А во-вторых- выражение (6) есть не что иное, как знаменитый Закон Вальраса.

 

Значение  закона Вальраса и  что он дает

     Сперва  укажем, для чего Закон Вальраса не применяется.

     Он  не используется для вычисления цен  и других показателей Нужен Закон  Вальраса для рассуждении. О чем  говорит этот закон? Он говорит о  том, что в состоянии рыночного  равновесия совокупный спрос равен  совокупному предложению. Но это  звучит чересчур общо. Вернемся к тождеству (5).

     О чем оно нам говорит? О том, что совокупные доходы равны совокупным расходам. Сказать (5) - значит сказать (6). И наоборот.

Словесная формулировка выражения (5) напоминает что-то такое, что мы давно уже проходили.

Ну конечно, все уже догадались: тождество  Сэя! Действительно, Закон Вальраса сильно напоминает Закон Сэя в варианте "тождества". Можно сказать больше: если брать Закон Вальраса в том виде, как мы его подали выше, он просто идентичен тождеству Сэя.

     Однако  сам Вальрас, понятное дело, имел в  виду не остров с тремя производителями, а народное хозяйство современной  страны, где многие тысячи производителей поставляют на рынок сотни тысяч  видов товаров, покупаемых миллионами потребителей. Так что Закон Вальраса нужно записать в более общем  виде:

сумма всех pjFj = сумме всех viGi

     Мы  уже раньше условились о том, что ресурс i - это любой ресурс. 
Если всех ресурсов не два, как у нас на острове, a m, тогда i = 1, 2, 3, ..., n (i пробегает все натуральные числа от 1 до m).

     Мы  также условились, что продукт i - это любой продукт. Если всех продуктов  не три, а n, тогда i = 1, 2, 3, ..., n (j пробегает  все натуральные числа от 1 до n).

     Математики, которые не любят писать уравнения  с употреблением слов, придумали  буквенные обозначения; (i = 1, 2. …, m) и (j =1, 2, …, n) называются так: пределы суммирования. И вместо слова "сумма" они договорились писать греческую букву "сигма".

     Теперь - в полном математическом облачении - Закон Вальраса выглядит так:(7)(Сумма piFi. по всем j от 1 до п тождественно равна  сумме viGi, по всем i от 1 до m)

     В таком виде Закон Вальраса еще  не отличается от тождества Сэя. Так  что идем еще немного дальше.

     Для чего мы выписывали уравнения (1) и (З)? Пока что мы о них попросту забыли. Давайте вернемся к ним. В системе (1) умножим первое уравнение на v3, а второе - на vT И перейдем от этого  частного случая к общей формуле (7). В левой части тождества  (7) мы получим теперь aijvixj.

     Затем умножим в системе (3) первое уравнение  на хK, второе - на xД, третье - на хB. И  опять перейдем к обшим обозначениям, Тогда в правой

части тождества (7) получаем pjxj.

     Из  всего, что мы проделали до сих  пор, следует, что в левой части  тождества (7) стоит рыночный спрос  на все продукты и ресурсы, а в  правой части - рыночное предложение  всех продуктов я ресурсов. Так  что вместо буквы v мы можем употребить тоже букву р, приняв ее для обозначения  всех цен в нашей системе. При  таком взгляде на веши ресурсы  уже ничем не отличаются от продуктов - они тоже ведь продаются и покупаются. Поэтому мы объединяем все вместе: m+ n =s, а вместо двух индексов i и j берем  один, i.

     Вальрас включил в перечень товаров не только потребительские блага и  факторы производства, но также и деньги.

     В этом отличие его от Сэя, который, как мы помним, говорил: "Продукты обмениваются на продукты".

Когда Вальрас сформулировал свой закон, возник новый интерес к Закону Сэя. А включив в свое тождество  деньги, Вальрас стимулировал исследование Закона Сэя с точки зрения его  отношения к деньгам, что позволило  выявить неявные допущения в  отношении денег (о чем мы говорили в главе 15).

     Значение  Закона Вальраса, конечно, сказанным  не исчерпывается.

Выражение (8) представляет собой фактически систему  уравнений типа

p1F1=p1G1;

p2F2=p2G2

.............(итд). (9)

     Число неизвестных в системе (9) равно  числу уравнений. Систему (9) можно  решить обычными алгебраическими методами и найти цены, отвечающие условиям равновесия спроса и предложения. Затем  эти равновесные цены можно подставить в уравнения типа (2) и получить такие количества продуктов, которые  удовлетворяют условиям рыночного  равновесия.

     Однако  дело обстоит не так просто.