Парная регрессия и корреляция

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования

«ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математических методов и информационных технологий 
в экономике

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 
по дисциплине 
"Эконометрика" 
на тему 
ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

 

 

 

 

 

Выполнил ст. гр. ЗЭК-311

__________Н.С. Минеева

"____"___________2013 г.

Принял

__________Е. Т. Гегечкори

"____"___________2013 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Омск 2013

По семи территориям района известны значения двух признаков (табл. 1).

Таблица 1

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, y	Среднедневная заработная плата  одного работающего,  руб., x
1	68,8	45,1
2	61,2	59,0
3	59,9	57,2
4	56,7	61,8
5	55,0	58,8
6	54,3	47,2
7	49,3	55,2

Требуется:

1. Для характеристики зависимости y от x рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы.

2. Оценить каждую модель с  помощью средней ошибки аппроксимации и F-критерия Фишера.

Решение

1а. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y = a + b×x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

По исходным данным рассчитываем å у, å х, å yх, å х2, å y2 (табл. 2).

 

 

 

 

Таблица 2

	y	x	yx	y2	х2		y–	Ai
1	68,8	45,1	3102,9	4733,4	2034,0	61,3	7,5	10,9
2	61,2	59,0	3610,8	3745,4	3481,0	56,5	4,7	7,7
3	59,9	57,2	3426,3	3588,0	3271,8	57,1	2,8	4,7
4	56,7	61,8	3504,1	3214,9	3819,2	55,5	1,2	2,1
5	55,0	58,8	3234,0	3025,0	3457,4	56,5	–1,5	2,8
6	54,3	47,2	2563,0	2948,5	2227,8	60,5	–6,2	11,5
7	49,3	55,2	2721,4	2430,5	3047,0	57,8	–8,5	17,2
Итого	405,2	384,3	22162,3	23685,8	21338,4	405,2	0,0	57,0
Ср. зн.	57,9	54,9	3166,0	3383,7	3048,3	–	–	8,1
s	5,74	5,86	b	–0,35	rxy	–0,353	Fфакт	0,7
s2	32,92	34,34	a	76,88	r2xy	0,127	Fтабл	6,61

Уравнение регрессии: = 76,88 – 0,35×x. С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35-процентныхных пункта.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

 

.

 

Связь слабая, обратная (табл. 3).

Таблица 3

Количественные критерии оценки тесноты связи

Величина коэффициента корреляции	Характер связи
До |±0,3| |±0,3| - |±0,5| |±0,5| - |±0,7| |±0,7| - |±1,0|	практически отсутствует слабая умеренная сильная

 

Для оценки качества подбора линейной функции определим коэффициент детерминации, который характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

 

 

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора x (табл. 4).

 

 

 

 

Таблица 4

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного  коэффициента связи	Характер  связи	Интерпретация  связи
r = 0	Отсутствует	-
0 < r < 1	Прямая	С увеличением Х увеличивается Y
-1< r < 0	Обратная	С увеличением Х уменьшается Y,  и наоборот
r = 1	Функциональная	Каждому значению факторного признака строго соответствует  одно значение результативного

2а. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации (замена кривых линий близкими к ним ломаными):

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1 %.

Значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать 12–15%.

Проверка адекватности всей (линейной) модели осуществляется с помощью расчета F-критерия Фишера:

Поскольку 1 £ F £  , следует рассмотреть F–1 = 10/7. Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу H0 о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

Индекс детерминации r2xy используется для проверки существенности в целом уравнения регрессии;

n – число наблюдений;

m – число параметров при переменных x.

Величина m характеризует число степеней свободы для факторной суммы квадратов, а (n – m – 1) – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

Fфакт = 10/7 < Fтабл  = 6,61, a = 0,05, v1 = m = 1, v2 = n – m – 1= 7 – 1 – 1 = 5.

Следовательно, принимается  гипотеза H0 о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

1б. Построению степенной модели y = a×xb предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lg y = lg a + b×lg x;

Y = C + b×X,

где Y = lg y,  C = lg a,  X = lg x.

Для расчетов используем данные табл. 5.

Таблица 5

Y

X

YX

Y2

X2

y–

(y– )2

Ai

Рассчитаем C и b:

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретические значения результата .

2б. Рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции rxy и среднюю ошибку аппроксимации :

Величина индекса корреляции находится в пределах 0 £ rxy £ 1; чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

s2y = 32,92 (см. табл. 2). Связь слабая. r2xy = 0,14.

Рассчитаем F-критерий Фишера:

Fфакт = 10/8 < Fтабл  = 6,61, a = 0,05.

Принимается гипотеза H0 о статистически незначимых параметрах этого уравнения.

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

1в. Построению уравнения показательной кривой y = a×bx предшествует процедура линеаризации переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lg y = lg a + x×lg b;

Y = C + B×x,

где Y = lg y,  C = lg a,  B = lg b. Для расчетов используем данные табл. 6.

Таблица 6

Y

X

Yx

Y2

x2

y–

(y– )2

Ai

 

Значения параметров регрессии B и C составили:

Получено линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

2в. Тесноту связи оценим посредством  индекса корреляции rxy:

Связь слабая. r2xy = 0,125. =8,1%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Рассчитаем F-критерий Фишера:

Fфакт = 10/8 < Fтабл  = 6,61, a = 0,05.

Принимается гипотеза H0 о статистически незначимых параметрах этого уравнения.

Показательная функция чуть хуже, чем степенная описывает изучаемую зависимость.

 

1г. Уравнение равносторонней гиперболы y = a + b/x линеаризуется при замене: z = 1/x. Тогда y = a + b×z. Для расчетов используем данные табл. 7.

Таблица 7

y

z

yz

y2

z2

y–

(y– )2

Ai

 

Значения параметров регрессии a и b составили:

Получено уравнение:

2г. Индекс корреляции: