Модель Неймана

     .

Модель  Неймана

     Модель  Леонтьева, которая позволяет решать задачи планирования валового выпуска отраслей, все же недостаточно отражает реальные взаимосвязи между отраслями. Главными недостатками этой модели являются:

1. отсутствие динамики, т.е. возможности проследить взаимодействие отраслей во времени;
2. предположение о том, что каждая из отраслей производит только один продукт.

     Более общая модель была предложена Нейманом. В модели Неймана предполагается, что производится n продуктов (товаров) и для этого существует  m способов их производства. Каждый j-й способ задается вектором затрат и вектором выпуска .

 

     В результате производство определяется следующими матрицами затрат А и выпуска В:

     Предполагается  также, что для реализации любого производственного процесса необходимы затраты хотя бы одного продукта и для каждого продукта существует хотя бы один способ его производства. Поэтому и в матрице А, и в матрице В в каждой строке и в каждом столбце должен быть хотя бы один положительный элемент.

     Для моделирования динамики процесса производства функционирование экономики рассматривается  на некотором конечном промежутке времени, разбитом на единичные отрезки точками: t₀=0, t₁, t₂,…,T. В качестве единицы измерения можно выбрать один год или один месяц. Тогда получаем дискретный спектр времен: 0,1,2,...,Т.

     В модели Неймана вводится понятие  интенсивности производственного  процесса. Интенсивности задаются вектором . Кроме того, вводится вектор цен продуктов (товаров) :

;

     Функционирование  экономики в модели Неймана определяется следующей системой уравнений и  неравенств:

 

     Неравенство (1) указывает, что затраты продуктов на производство A× в момент времени t не могут превышать выпуска продуктов в предшествующий период .

     Неравенство (3) указывает, что в данной модели вся совокупная «выручка» , полученная в момент t, не превышает «издержек» , которые были в предшествующий момент t – 1. Это условие неприбыльности в модели Неймана является условием равновесия. Другие условия равновесия представлены уравнениями (2) и (4). Уравнение (2) показывает, что объем денежной массы в модели Неймана является постоянным, а уравнение (4) говорит о том, что вся эта денежная масса постоянно находится в обращении.

     Модель, представленная условиями (1–4), разумеется, является неполной и не отражает многие реальные макроэкономические процессы. В частности, эта модель не отражает непроизводственное потребление, накопление, инфляцию, проблемы занятости и т.д.

     Заметим также, что, например, трудовые ресурсы  не могут являться продуктом какого-либо производственного процесса и должны иметь особый статус. В какой-то мере некоторые недостатки модели, описанной условиями (1–4), могут быть устранены за счет введения дополнительных параметров. Например, можно ввести дополнительный вектор трудовых затрат . В некоторых исследованиях экономистов, применяющих модель Неймана, вводятся дополнительно и другие конкретизации и обобщения.

     Модель  Неймана позволяет описать сбалансированный экономический рост. Для этого вводится специальный параметр l, который называется показателем роста.

     Предполагается, что вектор интенсивностей

одновременно  возрастает по всему спектру производственных процессов (1,2,…,m).

     Кроме того, вводится параметр r, который называют обычно нормой процента. Предполагается, что вектор цен

одновременно  снижается по всему спектру производимых продуктов (1,2,…,n).

      С помощью введенных параметров условия, определяющие модель Неймана, можно записать в так называемой стационарной форме: 

    

                        

                        

                        

где l > 0, r > 0.

     Экономика, описываемая этой моделью, развивается по траектории равновесного динамического роста. Однако при определенных значениях l = l* и r = r* может достигаться максимальный темп такого роста. Определяемый в этих условиях оптимальный вектор интенсивностей производственных процессов называют «лучом Неймана».

     Общая теория оптимальных магистральных траекторий развития экономики, которая опирается на обобщенную модель Неймана, достаточно сложна.

     Большинство частных задач практического характера, возникающих в рамках этой теории, имеет вид задач линейного программирования. 

     Задача. Даны матрица затрат А и матрица выпуска В. Вектор цен в данный момент времени t = t₁ также задан:  = (l; 4).

     Выпуск  продукции в предшествующий период известен: .

     Найти оптимальный вектор интенсивностей , при котором стоимость выпущенной продукции в данном периоде t₁ будет максимальной, если:

     Решение.

     Для решения задачи необходимо найти  максимум

при условии  выполнения основного неравенства модели Неймана.

      Данная  задача представляет собой типичную задачу линейного программирования с целевой функцией 20x₁ + 25x₂ ® max.

     Изобразим область допустимых значений (рис. 1).

     Целевой вектор 0,1 = (2;5,2) указывает, что наибольшее значение целевой функции достигается в точке М. 

Рис 1. Графическое решение задачи  

      Координаты точки М найдем, решив  систему:

 

      Ответ: .