Методы решения задач пограничного слоя. Интегральный метод. Уравнения Кармана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

 

 

 

на тему

 

«Методы решения задач пограничного слоя. Интегральный метод. Уравнения Кармана.»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение..................................................................................................................3

 

Пограничный слой………………………………………………………………..3

 

Интегральный метод расчета.…………………………………………………....6

 

Уравнение Кармана и его вывод.……………………………………………......7

 

Заключение..............................................................................................................9

 

Список литературы……………………………………………………………....10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Под интегральным исчислением понимают раздел математического анализа, изучающий интегралы функций и их приложения.

Цель данного реферата – изучение методов задач пограничного слоя.

Несмотря на появление совершенных численных методов и мощных компьютеров, интегральные методы расчета пограничного слоя сохраняют свою актуальность. 
В теории определённых интегралов интегрирование рассматривается как процесс обобщения суммирования на случай бесконечно большего числа бесконечно малых выражений. Таким образом, результатом определённого интегрирования (в случае его возможности) является некое число (в обобщениях, бесконечность). 
Интегрирование, в противоположность дифференцированию, рассматривается как искусство, что связано в первую очередь с малым количеством закономерностей, которым бы удовлетворяли все интегралы. При этом для существования интеграла, по основной теореме интегрального исчисления, необходима лишь непрерывность интегрируемой функции.

В реферате будут разобраны несколько методов решения задач пограничного слоя. В частности это интегральный метод и уравнение Кармана. Но прежде чем мы их рассмотрим, остановимся подробнее сначала на понятии пограничного слоя.

 

 

Пограничный слой

 

Пограничный слой (П. с.) тонкий по сравнению с характерным линейным размером тела слой жидкости или газа, прилегающий к твёрдой поверхности, в котором градиенты газодинамических переменных в нормальном к стенке направлении столь велики, что инерционные силы и силы трения имеют здесь один и тот же порядок. П. с. образуется при больших Рейнольдса числах

Re = QVL/(μ),

где V — характерная скорость, L — характерный линейный размер, (μ) — характерная динамическая вязкость, Q — характерная плотность.

Понятие П. с. для анализа движения жидкости при больших числах Рейнольдса было предложено Л. Прандтлем (1904). Согласно Прандтлю задача об обтекании тела потоком вязкой жидкости распадается на две самостоятельные задачи: задачу об обтекании тела потоком идеальной жидкости, которая описывается Эйлера уравнениями, и задачу о движении вязкой жидкости в П. с., которая описывается уравнениями П. с. (уравнениями Прандтля). При этом, чтобы получить уравнения ламинарного пограничного слоя, используют уравнения Навье — Стокса; уравнения же турбулентного пограничного слоя получают из уравнений Рейнольдса.

В отличие от уравнений Навье — Стокса и Рейнольдса, полученная система уравнений относится к параболическому типу; при её интегрировании величины u(,)(x) и р(х) — известные функции, представляющие собой распределения соответствующих величин вдоль поверхности тела при обтекании его потоком идеальной жидкости. Вследствие этого значительно упрощается математический анализ задачи.

Прандтль получил уравнения П. с. для ламинарного течения около прямолинейной стенки путём оценки обусловленных вязкостью и инерционностью членов, входящих в уравнения Навье — Стокса, и сохранением только главных членов. Он показал, что толщина П. с.

(δ)Пограничный слойO((ε)), uПограничный слойO(l), (υ)Пограничный слойO((ε)),

где (ε) = Re-0,5.

В 1927 немецкий учёный Р. Мизес (R. Mises) дал более формализованный, но вместе с тем и более строгий вывод уравнений П. с. Рассматривая плоскопараллельное ламинарное течение жидкости около криволинейной поверхности, он записал уравнение неразрывности и уравнения Навье — Стокса в безразмерном виде и произвёл преобразования:

y = (ε)Y, (υ) = (ευ).

Если в преобразованных уравнениях совершить предельный переход (ε→)0, то получаются уравнения П. с., то есть они являются предельной формой уравнений Навье — Стокса, получающейся в определенных условиях при Re(→∞). В последующие годы была установлена более глубокая, асимптотическая природа такого подхода к решению задачи.

Уравнения плоского П. с. после некоторых преобразований могут быть приведены к интегральному соотношению Т. Кармана (1921).

Уравнения П. с. явились мощным и эффективным инструментом исследования прикладных задач; с другой стороны, развитие теории П. с. происходило под влиянием запросов практики, в первую очередь со стороны авиации. Примерно до начала 40-х гг., когда скорости движения самолётов были относительно невелики и можно было не учитывать сжимаемость воздуха, основное внимание уделялось исследованию несжимаемого П. с. Поскольку внимание акцентировалось на аэродинамику крыла, а самолёты имели крылья большого удлинения, рассматривался преимущественно двумерный П. с. В силу слабого развития вычислительной техники применялись главным образом приближённые методы анализа (точные методы использовались для решения частных задач, когда уравнения П. с. сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению — автомодельные решения). Большая группа приближённых методов основана на использовании интегрального соотношения Кармана, когда несущественна «тонкая» структура П. с. и необходимо определить с приемлемой для практики точностью сопротивление трения. Для этого профиль скорости и аппроксимируется некоторым выражением (например, с помощью интеграла ошибок

u/ue = erf(a(x)y),

которое после удовлетворения граничным условиям содержит неизвестную функцию от х. Если аппроксимирующее выражение подставить в интегральное соотношение Кармана, то после выполнения всех операций получается обыкновенное дифференциальное уравнение для определения неизвестной функции. Это уравнение интегрируется каким-либо известным способом. Среди методов этой группы наиболее известен метод Кармана — Польхаузена, основанный на использовании П. с. конечной толщины и на аппроксимации профиля скорости полиномом четвёртой степени. Использование интегральных соотношений высших порядков позволяет аппроксимировать профиль скорости выражением, которое содержит большое число неизвестных функций. Это приводит к повышению точности расчёта с одновременным увеличением трудоёмкости вычислений.

В период Второй мировой войны скорости полёта значительно возросли; при расчёте аэродинамических характеристик самолётов возникла необходимость учитывать сжимаемость среды, и поэтому стала интенсивно развиваться теория сжимаемого П. с. (в основном применительно к совершенному газу). Здесь большую роль сыграло преобразование А. А. Дородницына (1942), которое уравнения сжимаемого П. с. приводит к виду, очень близкому к уравнениям несжимаемого П. с. В это же время усилился интерес к осесимметричному П. с., поскольку носовые части фюзеляжей самолётов стали выполняться в виде осесимметричных тел. В теории осесимметричного П. с. важную роль сыграло преобразование Манглера (1945) — Степанова (1947), с помощью которого уравнения осесимметричного П. с. сводятся к уравнению плоского П. с., и, следовательно, эти два разных типа течения можно исследовать по одной и той же методике. В последующие годы в связи с выходом на сверхзвуковые скорости полёта и применением крыльев малого удлинения стало много внимания уделяться исследованию трёхмерного П. с.; Успехи в этом направлении во многом обусловлены появлением и быстрым развитием ЭВМ и разработкой точных методов численного анализа.

При сверхзвуковых скоростях движения самолетов и других летательных аппаратов имеет место аэродинамическое нагревание обтекаемой поверхности, которое также исследуется в рамках теории П. с. В связи с этим началась интенсивная разработка теории и методов анализа П. с. для сложных моделей движущейся среды: газ с постоянным молекулярным весом и переменный удельными теплоёмкостями, Равновесно диссоциирующий газ и др. При том большую роль начинают играть различные эффекты (излучение, явление поглощения энтропийного слоя в П. с. и т. д.), которые не встречались при дозвуковых скоростях движения или их значение было несущественно. Однако наличие мощных ЭВМ и эффективных методов численного анализа позволяет успешно решать всё возрастающие по трудности прикладные задачи.

В рамках уравнений П. с. можно эффективно исследовать другие типы течений, например, истечение жидкости или газа из отверстий и насадков, течение в дальнем следе за телом и другие.

 

 

Интегральные методы расчета пограничного слоя

 

Несмотря на появление совершенных численных методов и мощных компьютеров, интегральные методы расчета пограничного слоя сохраняют свою актуальность. Это связано с наглядностью и удобством их применения при грубых оценочных расчетах при решении оптимизационных задач.

В ЦИАМ большое распространение получил метод, впервые предложенный Н.М. Беляниным в 1958 году. Впоследствии этот метод был описан им в качестве раздела в известной монографии "Прикладная газовая динамика" Г.Н. Абрамовича (издания 1969, 1976 и 1991 годов). В основу этого метода для описания параметров турбулентного пограничного слоя было положено следующее простейшее соотношение для профиля скорости:

 

(u/U)=(y/d) в степени 1/n.

 

Реальный профиль скорости заметно отличается от этого соотношения. Известно, что вблизи стенки u~y, а в центральной части пограничного слоя профиль скорости близок к логарифмической зависимости от расстояния до стенки. Тем не менее при сравнительно умеренных числах Рейнольдса (Re по толщине пограничного слоя 10 в 4ой степени - 10 в 6ой степени), которые типичны для внутренних течений в авиационном двигателе, подобное предположение о профиле скорости при n=1/7 дает вполне приемлемые результаты. Еще одно предположение, сделанное в методе Н.М. Белянина, - это условие независимости числа Рейнольдса, определенного по параметрам в ламинарном подслое, от числа Маха: uлdл/nл=156. Результирующие соотношения в этом методе простые и наглядные, хотя метод пригоден в широком диапазоне чисел Маха и температурного фактора Tw/Te . О согласовании с экспериментом можно судить по рис. 1.8. Здесь относительный коэффициент поверхностного трения построен в зависимости от числа Маха. Сплошная и пунктирная линии соответствуют расчетам при постоянстве числа Рейнольдса, определенного по толщине пограничного слоя либо по длине пластины.

 

Другой интегральный метод, учитывающий возможные отличия показателя степени n от 1/7 в соотношении 1.12, был разработан в ЦИАМ А.Б. Лебедевым, И.П. Смирновой и А.Н. Секундовым (1986). В этом методе использовались дифференциальные уравнения для параметра формы профиля n и толщины потери импульса d*. Метод пригоден только для описания течения при малых числах Маха, но зато позволяет описывать переход от ламинарного режима течения к турбулентному и пристеночные течения с небольшими замкнутыми отрывными зонами.

 

 

Уравнение Кармана

 

Примеры точного решения уравнений пограничного слоя показывают, что их интегрирование сопряжено с большими математическими трудностями. Между тем, для практических целей важен общий случай обтекания для тел любой формы при любом режиме течения. Изложенные выше аналитические методы не позволяют решить эту задачу. Поэтому возникает необходимость найти приближенные методы расчета пограничного слоя. Как показали Т.Карман (1921 год) и К.Пальгаузен, можно получить простой приближенный метод, если отказаться от удовлетворения дифференциальных уравнений пограничного слоя для каждой отдельной жидкой струйки и вместо этого ограничиться удовлетворением этих уравнений только в среднем по толщине пограничного слоя. Для этой цели следует воспользоваться теоремой импульсов и заменить дифференциальные уравнения интегральными соотношениями, получающимися из уравнения движения путем его интегрирования по толщине пограничного слоя.

Выведем интегральное уравнение для случая обтекания пластины несжимаемой жидкостью (  = const) в продольном направлении, когда давление и скорость вдоль координаты x остаются неизменными. Будем исходить из уравнения Навье-Стокса (...) и уравнения неразрывности

При граничных условиях

 (:.:)

Проинтегрируем уравнения (...) и (...) по толщине пограничного слоя от 0 до   , то есть

 (8.1)

 (8.2)

Из уравнения (8.2) следует, что

 (8.3)

Запишем второй член уравнения (8.1) с учетом (8.3)

и проинтегрируем это выражение по частям, обозначив

Примем во внимание правило

запишем

 (8.4)

Рассмотрим третий член уравнения (8.1) и обратим внимание на то, что вне пограничного слоя скорость постоянна, то есть   Vx/  y = 0 и, как было показано в разделе ... члены с вязкостью равны нулю, то есть уравнение (...) приобретает вид

Решение данного уравнения приводит к уравнению Бернулли (...), то есть

, что позволяет записать

 (8.5)

. Преобразуем теперь правую  часть уравнения (8.1)

 . (8.6)

Здесь использована формула Ньютона для трения

Подставим (8.4), (8.5) и (8.6) в (8.1), после преобразований получим

 (8.7)

Если V0 =const, то   V0/  y = 0 и выражение (8.7) приобретает вид

 (8.8)

Полученное уравнение называют интегральным соотношением Кармана для безградиентного течения (  p/  x = 0) пограничного слоя. Это условие пригодно для ламинарного и турбулентного течения жидкости. Однако, вид функций Vx = Vx/y), способ их выбора, а также метод определения касательных напряжений   W будет различным для ламинарного и турбулентного режимов течения.

 

Заключение

 

Уравнения пограничного слоя явились мощным и эффективным инструментом исследования прикладных задач; с другой стороны, развитие теории пограничного слоя происходило под влиянием запросов практики, в первую очередь со стороны авиации.

 

Примерно до начала 40-х гг., когда скорости движения самолётов были относительно невелики и можно было не учитывать сжимаемость воздуха, основное внимание уделялось исследованию несжимаемого пограничного слоя.

В реферате было подробно рассмотрено: пограничный слой, уравнение Кармана и его вывод, а так же интегральные методы расчета пограничного слоя.

 

Как показали Т. Карман (1921 год) и К. Пальгаузен, можно получить простой приближенный метод, если отказаться от удовлетворения дифференциальных уравнений пограничного слоя для каждой отдельной жидкой струйки и вместо этого ограничиться удовлетворением этих уравнений только в среднем по толщине пограничного слоя. Для этой цели следовало воспользоваться теоремой импульсов и заменить дифференциальные уравнения интегральными соотношениями, получающимися из уравнения движения путем его интегрирования по толщине пограничного слоя.