Метод оптимизации Лагранжа

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»

(Финуниверситет)

Архангельский филиал Финуниверситета

 

 

Факультет «Финансово-кредитный»

Специальность «Бакалавр экономики»

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Экономико-математические методы и прикладные модели».

 

 

 

студента
Номер личного дела
Курс
Поток
Форма обучения	периферия
Руководитель	Доцент Тутыгин А.Г.

 

 

 

Архангельск

2012

Задание 1.15

«Метод оптимизации Лагранжа».

 

Лагранжиа́н, функция Лагранжа динамической системы, названа в честь Жозефа Луи Лагранжа, является функцией обобщённых координат и описывает эволюцию системы. Например уравнения движения (для классической механики) в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как:

где действие — функционал

а  — обобщённые координаты (например, координаты частиц или полевые переменные), обозначает множество параметров системы, в случае классической механики — независимые пространственные координаты и время, а более широком еще электрические или другие физические параметры.

Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю функциональной производной функционала по всем направлениям, идентичны обычным уравнениям Эйлера-Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевые динамические системы.

 

Метод множителей Лагранжа.

 

Рассмотрим общую задачу оптимизации, содержащую несколько ограничений в виде равенств:   минимизировать f(x) при ограничениях gi (x)=0, j=1,...,k.

Эта задача в принципе может быть решена как задача безусловной оптимизации, полученная путем исключения из целевой функции k независимых переменных с помощью заданных равенств. Наличие ограничений в виде равенств фактически позволяет уменьшить размерность исходной задачи с n до n-k. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Минимизировать f(x)= x1 . x2 +  x3  при ограничении:

g(x)= x1 +x 2+ x3 - 1 = 0.  

Исключив переменную x3 с помощью уравнения g(x)=0, получим оптимизационную задачу с двумя переменными без ограничений:

f(x1 , x2) = x1 .  x2 + (1 - x1 - x2)  .

Метод исключения переменных применим лишь в тех случаях, когда уравнения, представляющие ограничения, можно разрешить относительно некоторого конкретного набора независимых переменных. При наличии большого числа ограничений в виде равенств, процесс исключения переменных становится весьма трудоемкой процедурой. Кроме того, возможны ситуации, когда уравнения не удается разрешать относительно переменной. В частности, если в приведенном примере ограничения g(x)=0 задать в виде g(x)= + + , то получить аналитическое выражение какой-либо из переменных через другие не представляется возможным. Таким образом, при решении оптимизационных задач, содержащих сложные ограничения в виде равенств, целесообразно использовать метод множителей Лагранжа. С помощью этого метода находят необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в задачах оптимизации с ограничением в виде равенств. При этом задача с ограничением в виде равенств, преобразуется в эквивалентную задачу безусловной оптимизации.

Рассмотрим задачу, имеющую несколько ограничений в виде равенств:    

 минимизировать f(x) при ограничениях (x)=0, при  j=1,2,....,k.

В соответствии с методом множителей эта задача преобразуется в следующую задачу безусловной оптимизации:

минимизировать L(x)=f (x)-   ,

где  L(x, ) - функция Лагранжа, - множители Лагранжа.

На знак   никаких требований не накладывается.

Приравниваем частные производные L(x, ) по x к нулю, получаем следующую систему n уравнений с n неизвестными:

 ... ,

Если найти решение приведенной выше системы в виде функций вектора   оказывается затруднительным, то можно расширить систему путем включения в нее ограничений в виде равенств:

g1(x)=0,

g2(x)=0,

.........

gk(x)=0.

Решение расширенной системы, состоящей из n+k неизвестными, определяет стационарную точку функции L.

 

Пример.

Минимизировать    при ограничении .

Соответствующая задача безусловной оптимизации записывается в следующем виде.

Минимизировать

Приравняв две компоненты градиента L к нулю, получим:         

              

   

Поставив полученные значения  в уравнение , получим,   т.е. . Следовательно,  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.9

Условие.

При производстве двух видов продукции используется четыре типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса отражены в таблице 1.

                                                                                                          Таблица 1

Ресурсы	Норма затрат ресурсов на товары		Общее количество ресурсов
	1-го вида	2-го вида
1	2	2	12
2	1	2	8
3	4	0	16
4	0	4	12

 

 

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от её реализации.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдёт, если решить задачу на минимум и почему?

 

Решение.

Пусть необходимо изготовить единиц продукции первого вида и единиц продукции второго вида. Тогда прибыль, получаемая от реализации продукции, будет задаваться целевой функцией:

 

 

Ограничения по использованию ресурсов имеют вид:

Ресурс 1:

Ресурс 2:

Ресурс 3:

Ресурс 4:

 

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

 

 

Для получения решения графическим методом строим прямые:

 

 

	0	6
	6	0

 

 

2.  

 

	0	8
	4	0

 

 

      

     

 

       

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

Область допустимых решений: ОАВС

Строим прямую:

 

	0	-3
	0	2

 

 

И вектор (2;3)

Максимум ищем в точке области допустимых решений наиболее удаленной от прямой по направлению вектора . Он достигается либо в точке А, либо в точке В. Найдем их координаты:

 

А (0; 4)

В (4; 2)

 

 

Теперь найдем значение целевой функции в каждой точке:

Таким образом, максимум функции достигается в точке В.

Для того чтобы получить максимум прибыли 14 ден.ед. необходимо произвести 4 ед. продукции первого вида и 3 ед. продукции второго вида.

Если решать задачу на минимум, то необходимо найти такое решение, при котором предприятие получит наименьшую функцию. Минимум функции необходимо искать в точке области допустимых решений самой близкой к прямой по направлению вектора . Очевидно, что он достигается либо в точке 0 (0; 0). Тогда полученная прибыль будет равна 0.

Решение данной задачи линейного программирования на минимум лишено экономического смысла, так как выручку от реализации продукции стремятся получить наибольшей, а не наименьшей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4.9

 

Условие.

Затраты на заказ партии посуды равны 200руб., затраты на хранение продукции 10 руб. в сутки, интенсивность потребления товара 5 шт.в день, цена товара-120 руб.за штуку. Определите оптимальный размер заказа, цену покупки и совокупные затраты на заказ и хранение. Постройте график циклов изменения запаса товара.

 

Решение.

Параметры:

М=10 руб./сут. (затраты на хранение),

К=200 руб. (затраты на заказ),

h=5шт/сут. (интенсивность потребления),

С=120 руб./шт. (цена товара)

 

Оптимальный размер заказа:

Qопт=√(2К*М/h)

Qопт =√(2*200*10/5)≈28,28 (шт.)

 

Длительность цикла:

Т=С/М

Т=120/10=12 (сут.)

 

Интенсивность потребления товара за цикл:

S=h*Т

S=5*12=60 (шт./цикл)

 

Цена покупки:

Р= Qопт*С

Р= 28,28*120=3393,6 (руб.)

 

Совокупные затраты:

Z(Q)=(K*M)/Q+(h(S-M)*Q)/2S+C*M=1329.64 руб.

 

При условии, что исходные данные мы оставим, а Qопт возьмем произвольно, график циклов изменения запаса товара (Рис.2) будет выглядеть так:

 

 

Рис.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы:

1. ЭММ и ПМ. Практикум для студентов бакалавриата обучающихся на третьем курсе по направлениям 080500.62 «Менеджмент», 080100.62 «Экономика». – М.: ВЗФЭИ, 2011
2. ЭММ и ПМ. Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391с.
3. http://www.rae.ru/monographs/57-2325