Матричное уравнение для расчета коэффициентов регрессии

 

3. Полный факторный эксперимент и обработка его результатов

 

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) относится к экспериментам I-го порядка, т.к. описывающее его  уравнение  не включает факторы в квадрате.

Для двух факторов ( x1 и  x2 ) и без учёта взаимодействия факторов соответствующая эмпирическая модель может быть записана:

 

В соответствии с теорией  ПФЭ при проведении опытных исследований каждый из факторов варьируется только на двух уровнях – минимальном (кодированное значение -1) и максимальном (кодированное значение +1).

При этом реализуются  возможные комбинации минимальных и максимальных значений факторов, в результате чего общее число опытов (n) в ПФЭ равно 2m  и полный факторный эксперимент обычно называется ПФЭ типа  2m .

Для определения числа  опытов применяется формула:

n = 2m

В последнее уравнение  включаются кодированные значения факторов zj  вместо xj , значения которых получаются по следующей схеме кодирования:

 

 

Где

В результате план проведения эксперимента с учётом вышесказанного и кодирования факторов имеет  вид:

(число факторов равно  2 - m = 2, число опытов  n = 2m = 22 = 4)

 

При этом уравнение регрессии, описывающее эти опытные данные, записывается с использованием кодированных факторов  zj  ( j = 0, 1, 2 ) и соответственно кодированных коэффициентов регрессии  :

В кодированном факторном пространстве в соответствии с указанным планом проведения эксперимента проведённые опыты представляются точками вершин квадрата:

Для параметрической  идентификации кодированного уравнения  регрессии используется метод регрессионного анализа, включающий три этапа: 

• определение кодированных коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов;
• оценка значимости кодированных коэффициентов регрессии с использованием t – критерия Стьюдента;
• проверка адекватности кодированного уравнения регрессии с использованием F – критерия Фишера.

Реализация двух последних  этапов возможна при выполнении свойства однородности дисперсий (одно из требований регрессионного анализа) и проведении параллельных опытов, например, в точке  с координатами  z1 = 0 и  z2 = 0 (центр плана, на рисунке – тёмная точка).

При проведении k параллельных опытов в центре плана среднее значение определяется как среднее арифметическое результатов измерений во всех параллельных опытах [4]:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Определение кодированных коэффициентов регрессии

 

 В этом случае  используется применяемая при  линейном регрессионном анализе  матричная формула метода наименьших  квадратов (МНК), которая с учётом  кодирования факторов имеет вид:

где кодированная матрица, зависящая от независимых переменных для двух факторов включает только +1 и -1 и имеет вид:

 

Матрица при активном экспериментировании называется матрицей планирования и обладает тремя оптимальными свойствами:

• симметричности: сумма элементов всех столбцов матрицы, кроме первого (точнее, нулевого) равна нулю

• ортогональности: скалярное произведение двух любых столбцов матрицы равно нулю

• нормировки: скалярное произведение двух одинаковых столбцов матрицы равно n ( n = 2m в ПФЭ)

Благодаря перечисленным  оптимальным свойствам матрицы  планирования информационная матрица в ПФЭ при m=2 равна

т.е. она является диагональной с одинаковыми элементами на главной  диагонали, равными  n=22=4.

Соответственно, корреляционная матрица  также будет диагональной и с одинаковыми элементами главной диагонали:

Результатом подстановки  последних соотношений в матричную  формулу для определения кодированных коэффициентов регрессии будет  простая формула:

При учёте взаимодействия двух факторов  z1 и  z2  кодированное уравнение регрессии принимает вид:

 

и в матрицу планирования включается ещё один дополнительный последний столбец, каждый элемент которого равен произведению элементов столбцов, соответствующих взаимодействующим факторам:

При этом матрица планирования сохраняет все три оптимальных свойства – симметричности, ортогональности и нормировки, а кодированный коэффициент уравнения регрессии при члене, характеризующем взаимодействие факторов, определяется по формуле:

В теории ПФЭ доказывается, что при увеличении числа факторов ( m >2 ) матрица планирования строится с использованием рассмотренной методики, в том числе и с учётом взаимодействия факторов (не только двойного, но и тройного, четверного и т.д.).

В этом случае число столбцов матрицы p зависит от числа учёта взаимодействий факторов  n = 2m  и матрица планирования сохраняет перечисленные оптимальные свойства.

Поэтому для определения  кодированных коэффициентов регрессии  используются приведённые выше формулы.

Для расчёта натуральных значений коэффициентов в кодированное уравнение регрессии вместо кодированных факторов  zj  ( j = 1, … m )  следует подставить выражения для последних через натуральные значения факторов  x j  ( j = 1, … m )  в соответствии с приведённой выше схемой кодирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Определение значимости кодированных коэффициентов регрессии

 

В отличие от ПФЭ значимость коэффициентов регрессии определяется по разным формулам для различных  коэффициентов, так как диагональные элементы корреляционной матрицы отличаются друг от друга.

С учётом общей формулы  для определения незначимости коэффициентов  регрессии 

 

незначимость каждого  вида коэффициентов регрессии определяется:

(число коэффициентов  

 

 

 

 

 

 

 

6. Проверка адекватности уравнения регрессии

 

Осуществляется с использованием критерия Фишера – так же, как  и в случае с ПФЭ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Наиболее сложным этапом, завершающим регрессионный анализ, является интерпретация полученных результатов, т.е. перевод их с языка статистики и математики на язык экономики.

Интерпретация моделей  регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к которой  относятся исследуемые явления. Всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии  в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков, т.е. с изучения, как они влияют на величину результативного признака. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на моделируемую обработку биржевых ставок. Особое значение при этом имеет знак перед коэффициентом регрессии. Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак статистической обработки биржевых ставок. Если факторный признак имеет плюс, то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает; если факторный признак со знаком минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается. Интерпретация этих знаков полностью определяется социально-экономическим содержанием моделируемого признака. Если его величина изменяется в сторону увеличения, то плюсовые знаки факторных признаков имеют положительное влияние. При изменении результативного признака в сторону снижения положительные значения имеют минусовые знаки факторных признаков. Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он со знаком минус, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии.

Корреляционный и регрессионный  анализ позволяет определить зависимость  между факторами, а так же проследить влияние задействованных факторов.

 

Список использованных источников

 

1. Кленин А.Н., Шевченко К.К. «Математическая статистика для экономистов-статистиков». - М., 1990.
2. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. «Теория вероятностей и математическая сатистика». - М., 1991.
3. Мынашкин В.Г., Гусынин А.Б. Курс лекции по теории статистике/МЭСИ. – М., 2000.
4. Одинцов И.Д. «Теория статистики». - М., 1998.
5. Френкель А.А., Адамова Е.В. «Корреляционно регрессионный анализ в экономических приложениях». - М., 1987.
6. Шмойловой Р.А. «Теория Статистики» под редакцией / «ФиС». – М., 1998.