Математические модели и методы кредитных расчетов с позиции заёмщика

n — общий срок займа;

L — продолжительность льготного периода.

По определению расходы по обслуживанию долга (срочная уплата) находятся как Y=I+R. Если в льготном периоде выплачиваются проценты, то расходы по кредиту в этом периоде сокращаются до Y=I.

2.2. Модели расчетов с учетом создания погасительного фонда

Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга обычная мера заключается в создании погасительного фонда (sinking fund). Необходимость формирования такого фонда иногда оговаривается в договоре выдачи займа в качестве гарантии его погашения. Разумеется, создание фонда необязательно надо связывать с погашением долга. На практике возникает необходимость накопления средств и по другим причинам, например, для накопления амортизационных отчислений на закупку изношенного оборудования и т.п.

Погасительный фонд создается из последовательных взносов заемщика (например, на специальный счет в банке), на которые начисляются проценты. Таким образом, должник имеет возможность последовательно инвестировать средства для погашения долга. Сумма взносов в фонд вместе с начисленными процентами, накопленная в погасительном фонде к концу срока, должна быть равна его сумме. Взносы могут быть как постоянными, так и переменными во времени.

Постоянные взносы в фонд.

Как было сказано выше, задача разработки способа погашения долга, в том числе и в виде плана создания погасительного фонда, заключается в определении размеров срочных уплат и составляющих их элементов в зависимости от конкретных условий займа.

Итак, пусть накопление производится путем регулярных ежегодных взносов R на которые начисляются сложные проценты по ставке i. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g. В этом случае срочная уплата составит

Y= Dg+ R

Обе составляющие срочной уплаты постоянны во времени. Как видим, первая определяется величиной долга и процентной ставкой по займу. Найдем вторую составляющую. Пусть фонд должен быть накоплен за N лет. Тогда соответствующие взносы образуют постоянную ренту с параметрами: R, N, i Допустим, что речь идет о ренте постнумерандо, тогда

              (1)

где sNi — коэффициент наращения постоянной ренты со сроком N.

В целом срочная уплата находится как:

              (2)

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется следующим образом:

              (3)

При создании погасительного фонда используются две процентные ставки — i и g. Первая определяет темп роста погасительного фонда, вторая — сумму выплачиваемых за заем процентов. Нетрудно догадаться, что рассматриваемый способ погашения долга — создание фонда — выгодна должнику только тогда, когда i > g, так как в этом случае должник на аккумулируемые в погасительном фонде средства получает больше процентов, чем сам выплачивает за заем. Чем больше разность i — g, тем, очевидно, больше экономия средств должника, направляемая на покрытие долга. В случае, когда i = g, преимущества создания фонда пропадают — финансовые результаты для должника оказываются такими же, как и при погашении кредита частями (о чем речь пойдет ниже).

Накопленные за t лет средства фонда определяются по формулам наращенных сумм постоянных рент или рекуррентно:

              (4)

Формулы (2) и (3) получены для ежегодных взносов и начислений процентов. Если это не так, то применяются соответствующие методы расчета процентов и сумм взносов в фонд.

Изменяющиеся взносы. Равные взносы в фонд — простое, но далеко не единственное решение проблемы накопления необходимой суммы денег. В зависимости от конкретных условий могут оказаться предпочтительными изменяющиеся во времени суммы взносов. В таких случаях следует воспользоваться результатами, полученными для переменных рент .Ограничимся примером, когда взносы в фонд следуют арифметической прогрессии. Срочные уплаты в рассматриваемых условиях изменяются во времени:

Где

Разность прогрессии равна а, первый член — R.. Последняя величина определяется следующим образом:

              (5)

2.3. Модели расчета при погашении кредита частями

В практической финансовой деятельности, особенно при значительных размерах задолженности, кредит обычно погашается в рассрочку, частями. Такой метод погашения часто называют амортизацией долга. Он осуществляется различными способами:

— погашением основного долга равными суммами (равными долями),

— погашением всей задолженности равными или переменными суммами по обслуживанию долга.

Погашение основного долга равными суммами. Пусть кредит в сумме D погашается в течение n лет. В этом случае сумма, ежегодно идущая на его погашение, составит

Размер долга последовательно сокращается: D, D — d, D — 2d и т.д. Соответствующим образом уменьшаются и выплачиваемые проценты, так как они начисляются на остаток долга. Пусть для простоты проценты выплачиваются раз в конце года по ставке g. Тогда за первый год и последующие годы они равны Dg, (D — d)g, (D - 2d)g и т.д. Процентные платежи, как видим, образуют убывающую арифметическую прогрессию с первым членом Dg и разностью —dg.

Срочная уплата в конце первого года находится как

Для конца года t находим

где Dt — остаток долга на конец года t.

Остаток долга можно определять последовательно:

Если кредит погашается р раз в году постнумерандо и с такой же частотой выплачиваются проценты, каждый раз по ставке g/p, то срочная уплата составит:

Остаток задолженности на конец года в этом случае составит:

У рассмотренного метода амортизации задолженности есть одно положительное свойство — простота расчетов. Однако, как мы только что убедились, в начале срока срочные уплаты погашения выше, чем в конце его, что часто является нежелательным для должника.

Погашение долга равными срочными уплатами. В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжении всего срока его погашения. Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процентов, остаток идет на погашение основного долга. Так же как и при предыдущем методе, величина долга здесь последовательно сокращается, в связи с этим уменьшаются процентные платежи и увеличиваются платежи по погашению основного долга. По определению

План погашения обычно разрабатывается при условии, что задается срок погашения долга. Альтернативным и более редким является установление фиксированной суммы постоянных срочных уплат. Рассмотрим оба случая.

Задан срок погашения. Первый этап разработки плана погашения — определение размера срочной уплаты. Далее полученная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После чего легко найти остаток задолженности.

Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к современной величине этой ренты, находим

где ang — коэффициент приведения годовой ренты со ставкой g и сроком n.

Все величины, необходимые для разработки плана, можно рассчитать на основе величины Y и данных финансового контракта. Найдем сумму первого погасительного платежа. По определению

Суммы, идущие на погашение долга, увеличиваются во времени:

В связи с этим рассматриваемый метод погашения называют прогрессивным. Платежи по погашению долга образуют ряд d1 , d1(1 +g),     d1(1 +g)n-1

По этим данным легко определить сумму погашенной задолженности на конец года t после очередной выплаты:

где stg — коэффициент наращения постоянной ренты постнумерандо.

Аналогичным образом разрабатываются планы погашения и для случаев, когда выплата процентов и погашение основного долга производятся не один, а несколько раз в году.

Заданы расходы по обслуживанию кредита. Такая постановка задачи может возникнуть при разработке условий контракта. Ее решение, очевидно, заключается в определении срока погашения кредита и достижении полной сбалансированности платежей.

Срок погашения находится как срок постоянной ренты. Пусть выплаты производятся раз в году постнумерандо, тогда применим:  

где символ R заменен на Y, а i — на g:

Очевидно, что решение существует тогда, когда Dg/Y< 1. Расчетное значение n в общем случае оказывается дробным.

Переменные расходы по займу. Далеко не всегда оказывается удобным условие Y = const. Например, погашение долга может быть связано с поступлением средств из каких-либо источников и зависеть от ряда обстоятельств. Срочные уплаты в этом случае образуют ряд, члены которого либо задаются заранее (график погашения), либо следуют какому-либо формальному закону (прогрессии, заданной функции). Остановимся только на одном варианте — изменении расходов по геометрической прогрессии.

Итак, пусть ряд срочных уплат представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q, тогда этот ряд можно записать в виде членов переменной ренты Y, Yq, Yq2,.. Yqn-1 . Приравняв современную стоимость этой ренты сумме первоначального долга, находим;

q — заданный годовой темп роста платежей,

g — процентная ставка по займу.

Далее находятся срочные уплаты и разрабатывается детальный план погашения.

В ряде случаев размеры срочной уплаты связываются с ожи­даемыми поступлениями средств и задаются заранее в виде гра­фика погашения. Размер последней срочной уплаты не задается. Она определяется как сумма остатка долга на начало последнего периода.

2.4. Модели учета льгот и особых условий в кредитных расчетах

Грант-элемент. Предмет обсуждения в данном параграфе также связан с долгосрочными займами. Однако здесь они рассматриваются под другим углом зрения. Дело в том, что в ряде случаев долгосрочные займы и кредиты выдаются по тем или иным причинам (иногда политическим) под льготные для заемщика условия. Низкая (относительно ставки на рынке кредитов) процентная ставка в сочетании с большим его сроком и льготным периодом дают должнику существенную выгоду, которую можно рассматривать как субсидию. Кредитор в этих условиях несет некоторые потери, так как он мог бы инвестировать деньги на более выгодных условиях.

Проблема определения размера такого рода помощи обсуждалась в международных организациях и экономической литературе главным образом с позиции межстрановых сопоставлений — для сравнения размеров финансовой помощи, оказываемой ряду развивающихся стран. Однако проблема оценки последствий выдачи льготных займов имеет более общее значение, так как льготные займы предоставляют и внутри страны.

Грант-элемент— это условная потеря заимодавца, которая связана с применением более низкой процентной ставки, чем существующие ставки кредитного рынка. Грант-элемент определяется в двух видах: в виде абсолютной и относительной величин.

Абсолютный грант-элемент рассчитывается как разность номинальной суммы займа и современной величины платежей по погашению займов, рассчитанной по рыночной ставке. Проблема, как видим, сводится к выбору надлежащей ставки процента для расчета современной величины. Рекомендации по выбору конкретного значения этой ставки весьма расплывчаты Обычно используют превалирующую на рынке долгосрочных кредитов ставку.

Размер абсолютного грант-элемента находим следующим образом:

W=D-G

где W — абсолютный грант-элемент,

D — сумма займа,

G — современная величина платежей, поступающих в счет погашения займа, рассчитанная по реальной ставке кредитного рынка.

Относительный грант-элемент характеризует отношение абсолютного грант-элемента к сумме займа:

              (4)

w — относительный грант-элемент.

Как видим, все переменные приведенных формул определя­ются условиями выдачи и погашения займа.

Выведем рабочие формулы для расчета Wиw при условии, что долг и проценты выплачиваются в виде постоянных срочных уплат. Для анализа последствий выдачи льготных займов этого достаточно.

Пусть заем выдан на n лет и предусматривает выплату процентов по льготной ставке g. На денежном рынке аналогичные по сроку и величине займы выдаются по ставке i. В этом случае при отсутствии льготного периода срочная уплата составит:

а современная величина всех выплат должника очевидно равна Ya ni. В итоге

Где ani , ang —- коэффициенты приведения постоянных годовых рент постнумерандо, определенные для процентных ставок i и g, i > g.

Наличие льготного периода увеличивает грант-элемент. Если в льготном периоде должник выплачивает проценты, то современная величина поступлений по долгу определяется как сумма двух элементов — современных величин процентных платежей в льготном периоде и срочных уплат в оставшееся время. Таким образом,

Где n-L— продолжительность периода погашения задолженности;

L — продолжительность льготного периода.

После ряда преобразований (4) получим

Здесь an-Li , an-Lg — коэффициенты приведения постоянных рент со сроком n — L и ставками i и g, vL— дисконтный множитель по ставке /.

Обсудим еще один возможный вариант. Пусть в льготном периоде проценты начисляются, но не выплачиваются. Они присоединяются к основному долгу, который погашается в течение n — L лет. Условия такого займа более льготны для должника, чем при последовательной выплате процентов.

Срочные уплаты и их современная величина в данном случае равны.

На основе этих выражений получим

Грант-элемент, как было продемонстрировано выше, — условная обобщающая характеристика льготного займа (потерь заимодавца и выигрыша должника). Сумма, которая равна грант-элементу, существенно зависит от принятой при ее определении процентной ставки.

Предельным случаем льготного займа является беспроцентный заем. Выдача такого займа связана с потерями, которые определим, полагая, что соответствующие средства можно было бы разместить под проценты по рыночной ставке i . Например, уже при пятнадцатилетнем сроке беспроцентного займа и рыночной ставке 10% кредитор теряет почти 50% от суммы долга.

2.5. Модели учета параметров реструктуризации кредита

Под реструктурированием займа (restructuring loan) понимают пересмотр условий действующего обязательства по погашению задолженности в связи с резким ухудшением финансового положения должника — для кредитора, очевидно, лучше потерять кое-что, чем все.

При реструктурировании применяются разные приемы, основными из которых являются:

      прямое сокращение суммы долга,

      уменьшение размера процентной ставки,

      пересмотр сроков и порядка выплат процентов и сумм погашения основного долга.

На практике одновременно применяют несколько из указанных способов. Например, известны случаи, когда к одной части обязательства применяли сокращение суммы основного долга, к другой — снижение процентной ставки, снижение процентной ставки иногда сопровождается увеличением льготного периода и т.п.