Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

       По  территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1998 г.

 
 

    Задание

       1. Постройте поле корреляции и сформируйте гипотезу о форме связи.

       2. Рассчитайте параметры уравнений  линейной, степенной, экспоненциальной, обратной, гиперболической парной  регрессии.

       3. Оцените тесноту связи с помощью  показателей корреляции и детерминации.

       4. Рассчитайте коэффициент эластичности.

       5. Оцените качество уравнений с  помощью средней ошибки аппроксимации.

       6. Оцените статистическую надежность  результатов регрессионного моделирования  с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

       7. Рассчитайте ожидаемое значение  результата, если прогнозное значение  фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости a=0,05.

       8. Оцените полученные результаты.

 

       Построим поле корреляции:

      

      В данном случае можно сформулировать гипотезу о наличии связи между  расходами и заработной платы, носящей  скорее всего гиперболический характер.

      1.1 Построить линейную модель.

       Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя  данные таблицы 1 приложения.

      Можно сказать, что связь между размером потребительских расходов и средней заработной платы и выплат социального характера.

       Уравнение линейной регрессии имеет  вид:

      Значения  параметров линейной модели определим, используя данные таблицы 1.

     , .

       Уравнение регрессии имеет вид:

      Рассчитаем  коэффициент детерминации:

      

      Оценку  значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера.

       F> Fтабл=4,54 для α=0,05; k₁=m=1;k₂=n-m-1=15, то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое.

      Определим среднюю ошибку:

      

      В среднем расчетные значения ý  для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,04%.

      1.2 Построение степенной модели  парной регрессии

      Уравнение степенной регрессии имеет вид:

       Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

       Данные приведены в таблице 2 приложения.

      Обозначим Y=lgŷ, X=lg x, A=lga.

      Тогда уравнение примет вид: Y=A+bX-линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.

      

      A=0,001

      Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=0,001+0,915X

      Перейдем  к исходным данным уравнения, выполнив потенциирование данного уравнения:

      Ŷ=10^-0,001*х^0,915

      Получим уравнение степенной модели регрессии: Ŷ=0,998*х^0,915

      Определим индекс корреляции:

       Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной. Коэффицент детерминации равен R²=r²_XY=0,728

      Рассчитаем  критерий Фишера.

       F> Fтабл=4,54 для α=0,05; k₁=m=1;k₂=n-m-1=15

      Средняя относительная ошибка

       В среднем расчетные значения ý  для степенной модели отличаются от фактических значений на 1,28%.

      1.3 Построение экспоненциальной функции

      Ŷ=аb^x

      Для построения этой модели необходимо провести линериаризацию переменных. Для этого  осуществим логарифмирование обеих  частей уравнения.

      Lgŷ=lga+xlgb

      Обозначим Y=lgŷ, B=lgb, A=lga

      Получим линейное уравнение регрессии:

      Y=A+Bx

      Рассчитаем  его параметры, используя данные таблицы 4 приложения.

     , .

      Перейдем  к исходным данным уравнения, выполнив потенциирование данного уравнения:

      Ŷ=10^0,026*(10^0,004)^x=1,06*1,01^x

       Определим индекс корреляции:

      Связь между показателем у и фактором х можно считать недостаточно сильной. Коэффицент детерминации равен R²=r²_XY=0,404

       Рассчитаем критерий Фишера.

      F< Fтабл=4,54 для α=0,05; k₁=m=1;k₂=n-m-1=15

       Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F> Fтабл.

      Средняя относительная ошибка

      В среднем расчетные значения ý  для экпоненциальной модели отличаются от фактических значений на 5,16%.

      1.4 Построение гиперболической функции

      Уравнение гиперболической функции:

      Ŷ=a+b/x

      Проведем  линеаризацию модели путем замены Х=1/х. В результате получим линейное уравнение  ŷ=a+bX

      Рассчитаем  его параметры по данным таблицы 5.

     , .

      Получим следующее уравнение гиперболической модели:

      Ŷ=31,001+215709,49/х

      

      Определим индекс детерминации:r²=0,951

      Вариация  результата Y на 95,1% объясняется вариацией фактора Х.

       Рассчитаем критерий Фишера.

      F> Fтабл=4,54 для α=0,05; k₁=m=1;k₂=n-m-1=15

      Средняя относительная ошибка: 0,067*44,106=2,955%

      В среднем расчетные значения ý  для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 2,955%.

      1.5 Выбор лучшей модели

      Для выбора лучшей модели построим сводную  таблицу результатов

      Наибольшее  значение коэффициента детерминации и  критерия Фишера имеет гиперболическая модель. Она же имеет практически наименьшую среднюю относительную ошибку, значит, ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

      1.6 Расчет прогнозного значения  результативного показателя.

     .

    Подставим значение x_р в уравнение гиперболической регрессии:

      Ŷ=31,001+215709,49/х

       

    Доверительный интервал прогноза для уровня значимости a определяется в виде: 

    

       где

      

    Рассчитаем  необходимые величины: 

     ; 

      

     ; 

     ; ; 
 

     . 

    В результате доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05 равен: 

    505,8-0,275*145,8 .