Контрольная работа по "Эконометрике"

 

Для проверки статистической значимости параметров уравнения регрессии, сравним наблюдаемые  значения t – статистики с критическим (табличным) значением статистики Стьюдента. Расчетные значения t–критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии a2 (-6,034), a3 (12,492) и a4 (4,204) приведены в протоколе. Табличное значение t – критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР. Табличное значение t- критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (50-3-1=46) составляет 2,012. Так как |tx₂|<t, то коэффициенты a2 не значим. Следовательно, из модели исключаем фактор X2.

Коэффициенты определяются с помощью  МНК по формуле:
где Y - вектор зависимой переменной,
Х - матрица наблюдений независимых  переменных,
А - подлежащий оцениванию вектор параметров уравнения регрессии.
Статистическая значимость параметров модели проводится
с использованием t- статистики
где а̂j - оценка коэффициента уравнения регрессии,
σaj - стандартное отклонение коэффициента уравнения регрессии аj.
	σaj = σe (bjj)0,5
где bjj - диагональные элемент матрицы (Х'X)-1
σe - среднеквадратическая ошибка модели.
Таблица 6
Дисперсионный анализ   df Регрессия 2 Остаток 47 Итого 49
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	-23571,1603	160601,219	-0,146768253
X3	0,187939489	0,02274803	8,261790791
X4	0,145787197	0,03250755	4,484718682

Табличное значение t табл (0,05;47)=2,012

Из таблицы 6 (фрагмент двухфакторного регрессионного анализа) видно, что в уравнении  с двумя факторами X3 и X4 статистически значимы все коэффициенты перед факторами (незначим только свободный член), а значит и сами факторы статистически значимы.

3. Построение уравнения множественной регрессии в линейной форме с выбранными факторами. Экономическая интерпретация коэффициентов модели регрессии.

На основании  пункта 2.б) из модели исключаем факторы X2 и X4, тогда уравнение зависимости прибыли (убытка) от оборотных активов можно записать в следующем виде:

Y=59987,94+0,267X₃

Уравнение регрессии показывает, каково будет  в среднем значение переменной , если переменные X примут конкретные значения.

коэффициент регрессии a_j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную x_j увеличить на единицу измерения, т. е. a_j является нормативным коэффициентом.

В данном случае =0,267 показывает, что при увеличении оборотных активов на 1 тыс. руб. прибыль увеличится на 267 тыс. руб.

4. Сравнительная оценка связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности, b - и D - коэффициентов.

Учитывая, что коэффициент регрессии  невозможно использовать для непосредственной оценки валяния факторов на зависимую  переменную из-за различия единиц измерения  и разной колеблемости факторов, используем коэффициенты эластичности, бета- и дельта- коэффициенты.

Для коэффициента регрессии вычислим коэффициент  эластичности и бета-коэффициент  по формулам:

 

 

0,267´3627062,5/1028534,8=0,941

 

 

0,267´10599740,4/309325,69=0,915

S_y = 3093256,69

S_x3 = 10599740,4

где      - коэффициент  регрессии, стоящий перед фактором в уравнении регрессии, а           - среднеквадратические отклонения (стандартные ошибки) соответствующих переменных.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении  фактора на 1%.

Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую  часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных. Это означает, что при увеличении запасов готовой продукции и товаров готовых для перепродажи на 10599740, тыс.руб. прибыль увеличится на 283033,00 тыс.руб. (0,915*309325,69).

Среднеквадратическое отклонение факторов вычисляется с помощью  функции СТАНДОТКЛОН.

Долю влияния фактора в суммарном  влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта - коэффициентов D (j):

_,

_{где     , коэффициенты парной корреляции (коэффициенты частной корреляции), а    - коэффициент детерминации.}

_{Поскольку, в модели остался 1 фактор, то дельта коэффициент  равен 1.}

5. Рассчитать параметры линейной парной регрессии для наиболее подходящего фактора .

Так как в модели 1 фактор, то этот пункт выполнен выше.

6. Оценка качества построенной модели через коэффициент детерминации, средней относительной ошибки аппроксимации и F–критерия Фишера.

Для оценки качества модели множественной регрессии  вычисляют коэффициент множественной  корреляции R и коэффициент детерминации R². Значение коэффициентов детерминации и множественной корреляции можно вычислить по формулам:

Коэффициент детерминации R² (R-квадрат) :

 

 

=0,837,

где  у ̅ - среднее значение определяемой переменной,

а у̂ - расчетное значение определяемой переменной.

Коэффициент детерминации можно найти  в результатах регрессионного анализа (табл. 7).

Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 84% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора.

Таблица 7

Регрессионная статистика
Множественный R	0,915050044
R-квадрат	0,837316583
Нормированный R-квадрат	0,833927346
Стандартная ошибка	1260564,362
Наблюдения	50

 

 

 

 

 

Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляции (множественный R):

= 0,915

Он  показывает высокую тесноту связи  зависимой переменной Y с включенным в модель объясняющим фактором.

Проверка  значимости уравнения регрессии  производится на основе вычисления F – критерия Фишера:

= (0,837/1)/((1-0,837)/(50-1-1)) = 247,05,

где  n – количество наблюдений (компаний);

а k  – количество факторов (переменных анализа).

Расчетное значение F – критерия берем из результатов регрессионного анализа (табл. 8).

Таблица 8

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	3,92571E+14	3,93E+14	247,0516	1,47E-20
Остаток	48	7,62731E+13	1,59E+12
Итого	49	4,68844E+14

Fрасч = 247,05

Fтабл = 4,04

Табличное значение F – критерия при доверительной вероятности 0,95 при v₁ = k = 1 и v₂ = n – k – 1 = 50 – 1 – 1 = 48 составляет  4,04. Табличное значение F – критерия можно найти с помощью функции FРАСПОБР. Поскольку F>F, уравнение регрессии следует признать значимым, т.е. его можно использовать для анализа и прогнозирования.

Уровень точности модели характеризует степень  отклонения в среднем фактических  значений результативной переменной Y от ее значений, полученных по модели регрессии. 

Точность  модели оценим с помощью средней  ошибки аппроксимации:

 

= 1/50 * (-2,14)* 100% = -0,04%

 

Вычисления – табл. 9

Таблица 9

Y	X3	Yt	Et	Et/Yt
964,0	13398,0	63565,21	-62601,2	-0,9848345
19513178,0	63269757,0	16953013	2560164,9	0,15101533
28973,0	367880,0	158211,9	-129238,9	-0,8168722
-780599,0	3933712,0	1110289	-1890888,0	-1,7030593
2598165,0	5910831,0	1638180	959985,2	0,58600721
628091,0	5325806,0	1481978	-853887,1	-0,5761807
29204,0	705877,0	248457,1	-219253,1	-0,8824586
1945560,0	2964277,0	851449,9	1094110,1	1,28499645
366170,0	624661,0	226772,4	139397,6	0,61470248
-20493,0	46728,0	72464,32	-92957,3	-1,2828013
381558,0	582581,0	215537,1	166020,9	0,77026627
1225908,0	3463511,0	984745,4	241162,6	0,24489846
3293989,0	5891049,0	1632898	1661091,0	1,01726559
416616,0	299286,0	139897,3	276718,7	1,97801311
-564258,0	801276,0	273928,6	-838186,6	-3,0598723
221194,0	257633,0	128776	92418,0	0,71766544
701035,0	1566040,0	478120,6	222914,4	0,46623043
62200,0	528912,0	201207,4	-139007,4	-0,6908663
123440,0	167297,0	104656,2	18783,8	0,17948057
55528,0	52042,0	73883,15	-18355,2	-0,2484349
422070,0	188662,0	110360,7	311709,3	2,82445946
-468,0	130350,0	94791,39	-95259,4	-1,0049372
225452,0	585017,0	216187,5	9264,5	0,04285411
-61237,0	344398,0	151942,2	-213179,2	-1,4030282
-540,0	36641,0	69771,09	-70311,1	-1,0077396
40588,0	215106,0	117421,2	-76833,2	-0,6543385
53182,0	998875,0	326687,6	-273505,6	-0,8372084
-210,0	1702,0	60442,37	-60652,4	-1,0034744
63058,0	807686,0	275640,1	-212582,1	-0,7712307
1197196,0	1567998,0	478643,4	718552,6	1,5012274
221177,0	128256,0	94232,29	126944,7	1,34714656
1548768,0	7720298,0	2121308	-572539,5	-0,2698993
-33030,0	14412,0	63835,94	-96865,9	-1,5174201
-34929,0	921832,0	306117,1	-341046,1	-1,1141034
115847,0	233340,0	122289,7	-6442,7	-0,0526841
35198,0	361672,0	156554,4	-121356,4	-0,7751708
788567,0	458233,0	182336,2	606230,8	3,32479788
309053,0	619452,0	225381,6	83671,4	0,37124311
8552,0	119434,0	91876,82	-83324,8	-0,9069188
173079,0	257140,0	128644,3	44434,7	0,34540724
1227017,0	4215454,0	1185514	41502,8	0,03500831
701728,0	324968,0	146754,4	554973,6	3,78164893
17927,0	81960,0	81871,26	-63944,3	-0,7810343
2557698,0	35232071,0	9466951	-6909252,9	-0,7298287
0,0	76430,0	80394,75	-80394,8	-1
5406,0	21132,0	65630,18	-60224,2	-0,9176294
40997,0	79930,0	81329,25	-40332,3	-0,4959132
1580624,0	1553508,0	474774,6	1105849,4	2,32920944
9990896,0	26312477,0	7085419	2905476,7	0,41006419
6649,0	972138,0	319548,8	-312899,8	-0,9791925
				-2,1435236

 

Точность  модели по этой оценке хорошая.

7. Проверка выполнения условия гомоскедастичности. 

Для однофакторной модели график остатков имеет вид, представленный на рис.4.

 

 

На  диаграмме ярко выражена направленность в распределении остатков, т.е. непостоянство  их дисперсии.

Тест  Голдфельда – Квандта.

1. Упорядочим переменные по возрастанию фактора X3.
2. Убираем из середины упорядоченной совокупности C=1/4*50 = 12 значений. В результате получили две совокупности по ½ (50-12) = 19 значений соответственно с малыми и большими значениями X3.
3. Для каждой совокупности выполним регрессионный анализ (табл. 10-11).

 

Таблица 10

 

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1,04E+11	1,04E+11	12,85157	0,002282
Остаток	17	1,37E+11	8,07E+09
Итого	18	2,41E+11

 

 

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-25125	34323,51	-0,73201	0,474136
X3	0,881132	0,245789	3,584909	0,002282

 

 

Таблица 11

 

 

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	3,3E+14	3,3E+14	74,59956	1,27E-07
Остаток	17	7,51E+13	4,42E+12
Итого	18	4,05E+14