Контрольная работа по дисциплине: «Экономико-математические методы и прикладные модели»

    

    

    Сырье I-ого типа в производственной программе используется полностью, является дефицитным и его двойственная оценка положительна, т.е. у₁>0.

    Сырье II-ого типа в производственной программе используется не полностью, является недефицитным и его двойственная оценка равна нулю, т.е. у₂=0.

    Сырье III-ого типа в производственной программе используется полностью, является дефицитным и его двойственная оценка положительна, т.е. у₃ >0.

    Теперь  определим значение переменных у.

    Т.к. при решении исходной ЗЛП получено, что х₁=0, то изделие А в производственную программу предприятия не входит, следовательно, ограничение двойственной задачи по изделию А можно из рассмотрения исключить.

    Т.к. и то изделия Б и В вошли в производственную программу и, следовательно, эти изделия в двойственных оценках не убыточны, т.е. стоимость затрат на ресурсы по крайней мере равна планируемой доходности.

    На  основании этого второе и третье неравенства функциональных ограничений двойственной ЗЛП можно записать в виде уравнений:

    

    Ранее установлено, что у₂=0, тогда:

    

    

    

    

    

    

    Для проверки правильности нахождения переменных Y необходимо найти значение целевых функций исходной и двойственной ЗЛП.

    

    

     ,следовательно, производственная  программа является оптимальной и значения переменных Y определены верно.

    3. Нулевое значение переменной  у₂ проанализировано в п. 2.

    Подставим в функциональное ограничение двойственной задачи для изделия А значения переменных Y.

    

    

     где

    20,5 – затраты на ресурсы для  изделия А;

    10 – планируемая доходность изделия  А.

    Затраты на ресурсы превосходят планируемую  доходность, следовательно изделие  А выпускать не целесообразно, что и подтверждается значением х₁=0.

    4. Определим как изменится выручка  от реализации продукции при  увеличении запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого.

       

    

    

    

    Далее находим  (уд. ден. ед.).

    Т.е. увеличение запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого приведет к увеличению выручки от реализации продукции на 28 удельных денежных единиц.

    Далее определим, как изменится план выпуска  продукции при увеличении запасов  сырья  I и III видов на 4 единицы каждого.

    При анализе использования сырья  установлено, что сырьё I и III видов используется в производственной программе полностью. Поэтому первое и третье неравенства из системы функциональных ограничений исходной ЗЛП можно записать в виде уравнений:

    

    С учетом того, что х₁=0 получим:

    

    После изменения запасов сырья по условию  получим:

    

    

    

    

    

    

    Новый план выпуска продукции:

    Первоначальный  план выпуска продукции:

    Найдем  изменение плана выпуска продукции:

     для изделия Б;

     для изделия В.

    Т.е. увеличение запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого приведет к увеличению объема выпуска изделия Б на 2 ед., а объем выпуска изделия В останется неизменным.

    Для определения правильности нахождения нового плана выпуска продукции, проведем следующие расчеты.

    Изделие Б:

    Изделие В:

     т.е. верно, т.к. совпадает с

    Для определения целесообразности включения в план 2-ух дополнительных изделий составим по ним ограничения двойственной задачи.

    Для изделия Г:

    

    

     где

    12 – затраты на сырьё;

    13 – планируемая прибыль.

    Для изделия Г затраты на сырьё  меньше планируемой прибыли, следовательно, изделие Г целесообразно включать в производственную программу.

    Для изделия Д:

    

    

     где

    14 – затраты на сырьё;

    12 – планируемая прибыль.

    Для изделия Д затраты на сырьё  больше планируемой прибыли, следовательно, изделие Д нецелесообразно включать в производственную программу. 
 
 

    Задача 3.4 

    Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

    Промышленная  группа предприятий (холдинг) выпускает  продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

    Требуется:

    1) Проверить продуктивность технологической  матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу)  производства и распределения продукции предприятий холдинга.

 

      Таблица 3.1.

Вариант	Для первой строки				Для второй строки					Для третьей  строки
№	1А	2А	3А	4А	1Б	2Б	3Б	4Б	1В		2В	3В	4В
4	0,1	0,0	0,1	100	0,1	0,0	0,2	300	0,2		0,1	0,0	160

 
 
 

      Таблица 3.2.

Предприятия (виды  продукции)	Коэффициенты  прямых затрат аi j			Конечный  продукт Y
	1	2	3
1 2 3	1А 1Б 1В	2А 2Б 2В	3А 3Б 3В	4А 4Б 4В

 

Решение:

1. Заполним таблицу данными:

 

    Таблица 3.3.

Предприятия (виды  продукции)	Коэффициенты  прямых затрат аi j			Конечный  продукт Y
	1	2	3
1 2 3	0,1 0,1 0,2	0,0 0,0 0,1	0,1 0,2 0,0	100 300 160

 

    Для решения данной экономической задачи воспользуемся табличным процессором  MS Excel.

    Оценку  продуктивности матрицы произведем по первому признаку.

    Согласно  первому признаку продуктивности матрицы  Е–А неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е–А)^-1 и все ее элементы неотрицательны.

    Запишем матрицу прямых материальных затрат А, матрицу конечной продукции Y  и единичную матрицу Е следующим образом (рис. 4): 

Рис. 4. Расположение матриц А, Е и Y на листе MS Excel 

    Матрица Е–А рассчитывается вычитанием из каждого члена единичной матрицы  Е соответствующие члены матрицы  А. Для этого в ячейку В6 записывается формула: =F2-B2, и так далее для остальных ячеек (рис. 5). 

Рис. 5. Расчет матрицы Е-А

    Для вычисления обратной матрицы (Е–А)^-1 воспользуемся встроенной функцией МОБР следующим образом:

• выделим диапазон ячеек для размещения обратной матрицы В10:D12;
• выбираем функцию МОБР в категории Математические;
• вводим диапазон ячеек, где содержится матрица Е–А – В6:D8;
• затем следует нажать CTRL+SHIFT+ENTER.

    В результате получается следующая матрица  В=(Е–А)^-1 (рис. 6). 

Рис. 6. Расчет обратной матрицы В 

    Все элементы обратной матрицы В=(Е–А)^-1 неотрицательны, следовательно матрица А продуктивна.

    Вектор  валового выпуска Х вычисляется по формуле Х=ВY. Для этого необходимо воспользоваться функцией МУМНОЖ MS Excel следующим образом:

• выделим диапазон ячеек для размещения результата умножения –В14:В16;
• выберем функцию МУМНОЖ в категории Математические;
• введем в данную функцию диапазоны ячеек, где содержатся матрицы: В – В10:D12, и Y – G6:G8.
• затем следует нажать CTRL+SHIFT+ENTER.

    В результате получается следующая матрица  Х (рис. 7). 

    Рис. 7. Матрица валового выпуска Х 

    Распределение продукции между предприятиями  на внутреннее потребление определяется из соотношения х_ij=а_ijХ_j. Т.е., необходимо перемножить матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А и матрицу валового выпуска Х.

    Для этого необходимо перемножить первый столбец матрицы А на первый элемент  матрицы Х, второй столбец матрицы  А на второй элемент матрицы Х, третий столбец – на третий элемент (рис. 8). 

Рис. 8. Распределительная  часть баланса