Экономико-математическое моделирование

Содержание

Введение 3

Задание 1 4

Задание 2 6

Задание 3 8

Заключение 11

Список литературы 12 

 

      Введение

     Оптимизация как раздел математики существует достаточно давно и обозначает выбор, т.е. то, чем постоянно приходится заниматься в повседневной жизни. Термином "оптимизация" в литературе обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточнённое решение. Хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего или "оптимального" решения, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. По этому под оптимизацией понимают скорее стремление к совершенству, которое, возможно, и не будет достигнуто.

     Практика  порождает все новые и новые  задачи оптимизации, причем их сложность  растет. Требуются новые математические модели и методы, которые учитывают наличие многих критериев, проводят глобальный поиск оптимума. Другими словами, жизнь заставляет развивать математический аппарат оптимизации.

     Реальные  прикладные задачи оптимизации очень  сложны. Современные методы оптимизации далеко не всегда справляются с решением реальных задач без помощи человека. Нет, пока такой теории, которая учла бы любые особенности функций, описывающих постановку задачи. Следует отдавать предпочтение таким методам, которыми проще управлять в процессе решения задачи.

      

 

Задание 1: Линейное программирование

В таблице  приведены данные о предприятии, производящем продукцию двух видов  P₁, P₂ из сырья трех видов S₁, S₂, S₃. Запасы сырья равны соответственно b₁, b₂, b₃. Расход i-го вида сырья S₁ на единицу j-го вида продукции P_j равен a_ij. Доход, получаемый предприятием от реализации единицы j-го вида продукции, равен c_j. Найти план производства, обеспечивающий предприятию максимум дохода. Решить задачу геометрическим способом и симплекс-методом.

Решение:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Находим координаты точек

 
 
 
 

Введем дополнительные переменные X₃, X₄, X₅.

 
 

Составим симплекс таблицу:

Так как в  строке F есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в строке F (-7). А ведущая строка та, у которой найменьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца. 
Пересчитаем таблицу

Так как в  строке F есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца  найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в строке F (-2). А ведущая строка та, у которой найменьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца. 
Пересчитаем таблицу

 
Найдено оптимальное решение

Fmax=3·7+7·9=84 
Задание 2. Межотраслевой баланс

Для трех отраслей даны матрица А коэффициентов  прямых затрат, столбец Y объемов конечных продуктов. Найти объемы производств, матрицу косвенных затрат 1-го порядка. Составить межотраслевой баланс.

 

Решение:

Определяем  матрицу (E-A):

-вычисляем  определитель этой матрицы:

- транспонируем  матрицу:

для элементов матрицы  (E-A)` определяем алгебраическое дополнение:

        

Присоединённая матрица примет вид:

 

Определяем матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

 

Определяем величины валовой продукции трёх отраслей:

 

Определяем квадранты материального межотраслевого баланса:

Умножаем  элементы каждого столбца заданной матрицы А на полученные элементы матрицы Х соответственно – элементы первого столбца – на значение Х₁, второго толбца – на значение Х₂ и т. д.

Элементы  третьего квадранта – это разность между объемом валовой продукции  и суммой элементов соответствующего столбца первого квадранта.

Четвертый квадрант предназначен для контроля верности расчета. Элементы квадранта  составляют сумму элементов второго  квадранта, которая должна совпадать  с суммой элементов третьего квадранта. 

Межотраслевой баланс производства и распределения  продукции.

 

 

Задание 3. Транспортная задача

Решить транспортную задачу, данные которой сведены в  таблицу вида:

 

В ней a1, a2, a3, a4 – запасы груза в пунктах отправления, b1, b2, b3, b4 – потребности в грузах в пунктах назначения, cij – стоимость перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Распределительным методом найти план перевозок, имеющий минимальную стоимость.

 

Решение:

Определяем  математическую модель транспортной задачи:

,

Ограничения    ,  ,  .