Эконометрические уравнения

Система независимых уравнений  – система, в которой каждая зависимая  переменная y рассматривается как  функция одного и того же набора факторов x то есть система вида: Y1=a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +е1;

Y2=a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +е2; Yn=an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +еn.

Система рекурсивных уравнений  – система, в которой зависимая  переменная одного уравнения выступает  в виде фактора x в другом уравнении, то есть система вида: Y1=a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +е1; Y2= b21y1 +a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +е2 ; Y3= b31y1 + b32y2+a31x1 + a32x2 +…+ a3mxm +е2 ; Yn= bn1y1 + bn2y2 +…+ bnn-1yn-1 + an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +еn.

Система взаимозависимых уравнений (система совместных одновременных уравнений) – система в которой одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую, то есть система вида: Y1= b12y2 + b13y3 +…+ b1nyn + a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +е1; Y2= b21y1 +b23y3 +…+ b2nyn + a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +е2 ; Yn= bn1y1 + bn2y2 +…+ bnn-1yn-1 + an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +еn.

Приведенная форма модели – система линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

 

Y1=д11x1 +д12x2 +…+ д1mxm;

Y2=д21x1 +д 22x2 +…+ д2mxm;

Yn=дn1x1 + дn2x2 +…+ дnmxm,

где дij –  коэффициенты приведенной формы  модели. 

4. Пример модели авторегрессии

 

 

В качестве первоначального примера  рассмотрим эконометрическую модель временного ряда, описывающего рост индекса потребительских  цен (индекса инфляции).

Пусть I(t) - рост цен в месяц t. Тогда, по мнению некоторых экономистов  естественно предположить, что 

 

I(t) = сI(t- 1) + a + b S (t - 4) + e, (1)

где I(t- 1) - рост цен в предыдущий месяц 

с - некоторый коэффициент затухания, предполагающий, что при отсутствии внешний воздействий рост цен  прекратится),

a - константа (она соответствует  линейному изменению величины I(t) со временем),

b S (t - 4) - слагаемое, соответствующее  влиянию эмиссии денег (т.е.  увеличения объема денег в  экономике страны, осуществленному  Центральным Банком) в размере  S (t - 4) и пропорциональное эмиссии  с коэффициентом b, причем это  влияние проявляется не сразу,  а через 4 месяца; наконец, e - это  неизбежная погрешность. 

Модель (1), несмотря на свою простоту, демонстрирует многие характерные  черты гораздо более сложных  эконометрических моделей. Во-первых, обратим внимание на то, что некоторые  переменные определяются (рассчитываются) внутри модели, как I(t). Их называют эндогенными (внутренними). Другие задаются извне (это экзогенные переменные). Иногда, как в теории управления, среди экзогенных переменных, выделяют управляемые переменные - те, с помощью которых менеджер может привести систему в нужное ему состояние.

Во-вторых, в соотношении (1) появляются переменные новых типов - с лагами, т.е. аргументы в переменных относятся  не к текущему моменту времени, а  к некоторым прошлым моментам.

В-третьих, составление эконометрической модели типа (1) - это отнюдь не рутинная операция. Например, запаздывание именно на 4 месяца в связанном с эмиссией денег слагаемом b S (t - 4) - это результат  достаточно изощренной предварительной  статистической обработки. Далее, требует  изучения вопрос зависимости или  независимости величин S (t - 4) и I(t). От решения этого вопроса зависит, как выше уже отмечалось, конкретная реализация процедуры метода наименьших квадратов.

С другой стороны, в модели (1) всего 3 неизвестных параметра, и постановку метода наименьших квадратов выписать нетрудно:

ƒ (a,b,c) = ² 

5. Методы наименьших квадратов

 

 

Как уже  отмечалось, разработана масса методов  эвристического анализа систем эконометрических уравнений. Они предназначены для  решения тех или иных проблем, возникающих при попытках найти  численные решения систем уравнений.

Одна из проблем связана с  наличием априорных ограничений  на оцениваемые параметры. Например, доход домохозяйства может быть потрачен либо на потребление, либо на сбережение. Значит, сумма долей  этих двух видов трат априори равна 1. А в системе эконометрических уравнений эти доли могут участвовать  независимо. Возникает мысль оценить  их методом наименьших квадратов, не обращая внимания на априорное ограничение, а потом подкорректировать. Такой  подход называют косвенным методом  наименьших квадратов.

Двухшаговый метод наименьших квадратов состоит в том, что оценивают параметры отдельного уравнения системы, а не рассматривают систему в целом. В то же время трехшаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Сначала к каждому уравнению применяется двухшаговый метод с целью оценить коэффициенты и погрешности каждого уравнения, а затем построить оценку для ковариационной матрицы погрешностей, После этого для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

Алгоритм косвенного метода наименьших квадратов:

• Структурная модель преобразовывается  в приведенную форму модели.

• Для каждого уравнения  приведенной формы модели обычным  МНК оцениваются приведенные коэффициенты.

• Коэффициенты приведенной  формы модели трансформируются в параметры структурной формы модели.

Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов:

• Определяется приведенная  форма модели, и находятся на ее основе оценки теоретических значений эндогенных переменных.

• Определяются структурные  коэффициенты модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Эконометрика - одно из ответвлений комплекса  научных дисциплин, объединяемого  понятием «экономико-математические методы». Ее главным инструментом является эконометрическая модель (англ. econometric model) - экономико-математическая модель, параметры которой оцениваются  с помощью методов математической статистики. Она выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов, как на макро-, так и на микроэкономическом уровне на основе реальной статистической информации.

Наиболее  распространены эконометрии, модели, представляющие собой системы регрессионных  уравнений, в которых отражается зависимость эндогенных величин (искомых) от внешних воздействий (текущих  экзогенных величин) в условиях, описываемых  оцениваемыми параметрами модели, а  также лаговыми переменными.

Экзогенными, например, считаются показатели климатические  условий, если они включаются в модель; в то же время мн. экономические  переменные в зависимости от задач  и структуры модели могут относиться и к эндогенным, и к экзогенным.)

 

 

Заключение

 

В данной работе рассмотрены методы восстановления временных зависимостей наименьших модулей. Среди них важное место занимают модели линейной (по параметрам) регрессии. Большое значение приобретает задача оценивание необходимой степени полинома. Полезны модели авторегрессии, в том числе простейшая эмпирическая модель экспоненциального сглаживания. Оценка длины периода может быть сделана на основе методов статистики объектов нечисловой природы путем минимизации в функциональном пространстве.

Эконометрика – это раздел экономики, занимающийся разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными (С.Фишер). С.А.Айвазян полагает, что эконометрика объединяет совокупность методов и моделей, позволяющих на базе экономической теории, экономической статистики и математики констатического инструментария придавать количественные выражения качественными зависимостями.

Экономическая составляющая эконометрии, безусловно, является первичной. Именно экономика определяет постановку задачи и исходные предпосылки, а результат, формируемый на математическом языке, представляет интерес лишь в том случае, если удается его экономическая интерпретация. В то же время многие эконометрические результаты носят характер математических утверждений (теорем).

Широкому внедрению эконометрических методов способствовало появление  во второй половине ХХ века ЭВМ и в частности персональных компьютеров.

Компьютерные эконометрические пакеты сделали эти методы более доступными и наглядными, так как всю наиболее трудоемкую работу, по расчетам статистики, параметров, построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер, а эконометристу осталась главным образом: постановка задачи, выбор соответствующих моделей и методов её решения, интерпретации результатов.

Под системой эконометрических уравнений понимается система одновременных, совместных уравнений. Ее применение имеет ряд сложностей, которые связаны с ошибками спецификации модели. В виду большого числа факторов, влияющих на экономические переменные, исследователь, как правило, не уверен в точности предполагаемой модели для описания экономических процессов.

 

 

Список использованных источников

 

 

1. Эконометрика./Под ред. И.И. Елисеевой, - М.: Финансы и статистика, 2002.
2. Я.Р. Магнус, П.К.Катышев, А.А. Пересецкий. «Эконометрика начальный курс» М.: изд-во «Дело» 2000.
3. Доугерти К. Введение в эконометрику / Пер. с англ. - М.: Инфра М, 2003.