Биноминальная модель ценообразования опциона

Биноминальная модель ценообразования опциона - модель назначения цены опциона, подразумевающая, что активы, лежащие в основе опциона, могут принимать только два возможных (дискретных) значения стоимости в  следующем периоде времени для  каждого значения стоимости, которое они могли принимать в предыдущий период времени.

3.1 Базовые  понятия.

Наиболее общее определение  опциона звучит примерно следующим  образом: опцион - это контракт между  двумя сторонами, где покупатель опциона получает право, обеспеченное соответствующим обязательством продавца опциона, совершить что-то на заранее договорённых условиях, указанных в опционном контракте. На финансовых рынках различают два вида опциона: колл-опцион, который даёт держателю опциона купить финансовый инструмент (или любое другое благо имеющее цену), на который выписан опцион, по цене указанной в опционе, в течение указанного в опционе периода и пут-опцион, который даёт держателю опциона сбыть финансовый инструмент также по указанной цене в указанный срок. При этом различают американский тип опциона, воспользоваться которым его владелец может в течение указанного в нём периода, и европейский, воспользоваться которым его владелец может только на дату указанную в опционе.

3.2   Биномиальная   модель   ценообразования .

Рассмотрим следующую простую ситуацию: акция на текущий момент времени стоит $20 и по истечении трёх месяцев она будет стоить либо $18 либо $22. Предположим, что никакие дивиденды по этой акции не выплачивается и нам доступен колл-опцион на эту акцию с ударной ценой¹ в $21, срок действия которого истекает в конце наших трёх месяцев². Очевидно, что если акция через три месяца будет стоить $22, то наш опцион принесёт прибыль максимум в один доллара, то есть он сегодня будет стоить этот доллар в сегодняшнем значении. А если же акция будет стоить $18 долларов, то опцион не будет использован по предназначению и никакой ценности для своего владельца иметь не будет.

Этот довольно простой аргумент и лежит в  основе  биномиальной   модели   ценообразования  на производные финансовые инструменты. Единственное предположение, причём довольно реалистичное, которое мы должны сделать - это отсутствие арбитража для инвесторов на финансовых рынках. Мы построим портфель, состоящий из опционов и акций, таким образом, что никакой неопределённости относительно будущей стоимости портфеля не должно быть. А раз портфеля будет иметь нулевой риск, то он обязан заработать для своего держателя безрисковую ставку процента. Зная цену портфеля таким образом мы сможем определить цену опционов.

Рассмотрим  портфель состоящих из длинных позиций  по ∆ данных акций и короткой позиции по одному колл-опциону на данную акцию. Определим какое значение ∆ количества акций сделает рассматриваемый портфель безрисковым. Если курс акций поднимется с 20 до 22 долларов, то стоимость ∆ акций будет равна 22∆, а стоимость одного колл-опциона будет равен 1 доллару. Поскольку по акциям у нас длинные позиции, а по опциону короткая, то стоимость всего портфеля будет равна 22∆-1 долларов. В случае если котировки акицй упадут с 20 до 18 долларов, то опцион не будет иметь какую-либо ценность, а ∆ акций будут стоить 18∆ долларов. Следовательно, надо найти такое значение ∆, которое приравняет 22∆-1 к 18∆. Решая простое линейное уравнение мы получаем ∆=0.25, что означает, что если мы будем держать портфель из 0.25 акций и продадим один колл опцион с ударной ценой в 21 долларов, то независимо от того повысится курс акций или понизится, стоимость нашего портфеля будет одной и той же (в нашем случае 4.5 долларов).

Безрисковый портфель, при отсутствии арбитража, должен заработать, как мы уже говорили, безрисковую ставку процента. За безрисковую процентную ставку, на практике, обычно берут ожидаемую доходность государственных облигаций. То есть если, например, безрисковая ставка процента равна 12%, то наш портфель сегодня должен будет стоить4.5е^-0.12*0.25=4.367 долларов. Поскольку сейчас наши акции стоят $20, то цену колл-опциона можно определить из следующего уравнения, выражающего цену нашего портфеля:20*0.25-f=4.367, где переменная f означает цену колл-опциона. Следовательно колл-опцион на наши акции с ударной ценой в $21 будет равна 0.633 доллара.

Таким образом  основываясь на двух ожидаемых исходах, зная безрисковую ставку процента и  текущую цену на акцию, мы определили цену колл-опциона с заданной ударной  ценой.

3.3 Обобщение  модели.

Теперь рассмотрим примерно то же самое, но в обобщённом виде. Рассмотрим акцию, которая сейчас стоит S и колл-опцион, которая сейчас стоит f. Текущее значение времени t равно нулю. Дивиденды по рассматриваемой нами акции не выплачиваются. Предположим, что опцион сможет обеспечить положительный доход на момент времени T в будущем до конца срока своего действия. Пусть котировка акции может либо подняться с уровня S до уровня S_u, тогда доход с опциона составит f_u, либо упасть до уровня S_d, тогда доход от опциона составит f_d.

Т  
акже как и в рассмотренном выше примере, мы имеем портфель из Δ длинных позиций по акции и одной короткой позиции по опциону. Определим значение Δ, которое делает наш портфель безрисковым. Если акции повышаются в цене, то значение портфеля равно S_uΔ-f_u, если же наоборот они падают, то S_dΔ-f_d, то есть однозначность этих двух величин и даст нам безрисковый портфель. Решив уравнение S_uΔ-f_u=S_dΔ-f_d мы получаем, что:

 

В таком случае портфель должен заработать безрисковую  ставку процента. Обратите внимание, что  полученное выражение для Δ показывает нам отношение разницы в доходах с опциона к разнице в ожидаемых изменениях котировки акции. Обозначив безрисковую ставку процента как r получаем, что сегодняшнее значение стоимости портфеля будет равна (SuΔ-fu)e^-rT. Зная также, что сегодня этот портфель стоит SΔ-f, мы решаем следующее уравнение:

Д  
 
ля упрощения введём переменные u и d, которые равны процентным или долевым ожидаемым изменениям котировки нашей акции. То есть u=S_u/S, d=S_d/S, из чего следует, что S_u=uS иS_d=dS. Далее мы имеем:

 

 

Обозначим элемент (e^rT-d)/(u-d) через p, тогда -(e^rT-u)/(u-d) будет равен единице минус p:

 

В нашем примере, с которого мы начали эту тему мы использовали следующие параметры  этого уравнения: u=1.1, d=0.9, r=0.12, T=0.25, f_u=1 и f_d=0. Подставив эти значения в формулу Вы должны получить 0.633.

Казалось бы, чем больше вероятность того, что  акция будет стоить в будущем  дороже, тем более ценным представляется опцион дающий владельцу право приобрести акцию по зафиксированной сегодня  цене. Обратите внимание, что в нашей формуле нет вероятностей повышения и понижения котировки акции. На первый взгляд, это труднообъяснимо. Дело в том, что цена на акцию на любой момент времени уже отражает все ожидания рынка относительно будущих потоков наличности корпорации³. Имея дело с текущей и ожидаемыми котировками на акции мы уже включаем вероятности изменения цены на акцию в ту или иную сторону в нашу модель ценообразования на опцион.

 

3.4 Многопериодные  модели.

То, что мы рассматривали  до сих пор, имело дело только с  одним временным периодом. В реалии же всё выглядит гораздо сложнее  и биржевые спекулянты используют в  своих моделях множество временных периодов. Мы рассматривали один квартал, то есть четверть года. Биржевики же проводят на торговом полу по несколько часов в день, а если они оперируют на международных рынках, то они следят за рынками и функционируют на них чуть ли не круглосуточно.

В любом случае логика  биномиального  метода ценоообразования на опционы одна и та же. Естественно, у биржевиков каждый временной период очень мал, количество периодов огромно и они используют вычислительные машины, в которые уже введены формулы и достаточно Вам внести необходимые параметры как машина даст Вам цену опциона.

На практике, чаще всего, срок действия опциона делят  как минимум на 30 равных по долготе  временных интервалов, что означает, что начинается калькуляция как  минимум с 2³⁰расчётов ожидаемых исходов относительно ценового значения акции.

Опцион — это право приобрести или продать некий актив по определенной цене (цене исполнения, striking price) в определенный момент (время или срок опциона) либо в течение периода до этого назначенного момента.

Европейский опцион предполагает право воспользоваться купить или продать актив строго по истечении времени опциона. Американский опцион разрешает воспользоваться этим правом в любой момент до истечения срока опциона.

Опционы при  этом рассматриваются как производные ценные бумаги, дающие право либо на приобретение (опционы на покупку — «Calls»), либо на продажу (опционы на продажу — «Puts») ценных бумаг, являющихся базовыми для соответствующих опционов.

Биномиальная модель ценообразования на опционы была разработана Джоном Коксом, Стивеном Россом и Марком Рубинштейном на основе так называемой непрерывной модели ценообразования на опционы.

Содержание: пусть  есть акции некоторой компании, приобретение которых хеджируется опционом на покупку этих акций. Предположим сначала, что срок истечения опциона равняется одному периоду: Т = 1. Цена акции на текущий момент равна S₀. Пусть, далее, существуют только два сценария изменения этой цены через период: цена может подняться в u раз (в долях единицы, т.е. цена акции через период станет 100u процентов от S₀) либо опуститься в d раз (в долях единицы, т.е. цена акции через период станет 100d процентов от S₀). Вероятности этих двух исходов в сумме составляют единицу. Цена исполнения опциона равна X. Рынок, на котором совершаются сделки, совершенен и на нем невозможны спекуляции.

В момент исполнения опциона через один период цена опциона как в случае повышения цены акции (обозначим для этого случая будущую цену опциона как C_1u), так и в случае ее понижения (для данного случая обозначение будущей цены опциона — C_1d) сравнивается с прибылью, которую в этот же момент способно принести исполнение опциона. В обоих описанных сценариях тогда:

C_1u = mах[uS₀ - X, 0]; C_1d = mах[dS₀ – X, 0].

Теперь предположим, что мы создаем портфель из h акций, хеджируемых опционом на покупку этих h акций, финансируя (полностью либо частично) приобретение данного портфеля взятием взаймы по ставке R суммы В. Стоимость портфеля акций на начальный момент, следовательно, равна (h•S₀–В), т.е. их рыночной стоимости за минусом стоимости появившегося долга.

К моменту истечения  срока опциона (здесь — спустя один период) опцион на покупку всего  портфеля акций должен стоить, как только что доказано выше, ровно столько, сколько на этот момент будет стоить сам хеджируемый портфель. Цена опциона — на этот раз на покупку h акций — для случаев повышения и понижения цены акций должна, следовательно, составить:

C_1u = uhS₀–B(1+R) – для случая повышения цены акций;

C_1d = dhS₀–B(1+R) – для случая понижения цены акций,

где B(1+R)— будущая  стоимость (future value) взятого долга  — сумма за него, которую придется отдавать через период.

Если теперь исходить из того, что в начальный момент опцион на покупку включаемых в портфель акций должен стоить какую-то одну цену, которая должна быть эквивалентной цене опциона спустя период независимо от того, какой из двух вероятных сценариев изменения цены акций будет иметь место, то естественно задаться вопросом: при каких значениях показателей h* и В* будущие стоимости рассматриваемого опциона для любого сценария изменения рыночной стоимости акций оказываются равными и эквивалентными одной (обоснованной, «внутренней») цене опциона на начальный момент?

Эти величины находятся из решения относительно h и В системы  уравнений для C_1u и C_1d.

h* = (C_1u – C_1d) / (u–d)S₀, В* = (uC_1d– dC_1u) / (u- d)(1+R)

Чтобы предотвратить возможные  спекуляции между стоимостью портфеля и ценой хеджирующего его опциона (поскольку рассматривается совершенный рынок), портфель, содержащий h* акций (или — в расчете на одну акцию — h* долей одной акции), профинансированный взятием взаймы суммы R*, должен иметь такую же начальную стоимость, что и начальная стоимость опциона на его покупку. Иначе говоря:

С₁ = h*∙S₀ – В*.

Данное уравнение и  выражает обоснованную («внутреннюю») цену опциона на текущий момент.

Подставляя в это уравнение  выражения для найденных показателей h* и В*, его можно также представить и в следующей форме:

С₁ = (C_1u – C_1d) / (u–d) + (uC_1d– dC_1u) / (u–d)(1+R)

или, что то же самое: С₁ =[qC_1u + (1-q)C_1d] / (1+R), где q=[(1+R)-d]/(u-d)

Число h* в этой модели называется числом хеджирования или коэффициентом  хеджирования. Смысл именовать его  коэффициентом хеджирования заключается в том, что это число можно понимать как количество акций, которое можно эффективно хеджировать приобретением опциона на покупку (здесь) одной акции.

Биномиальная модель ценообразования на опционы была обобщена Ф. Блеком и М. Сколсом применительно к ситуации, когда в каждом единичном периоде два возможных сценария изменения рыночной стоимости хеджируемых акций имеют место в рамках любого числа периодов, а не только одного периода, как рассматривалось выше.

В начальный момент времени, когда до истечения срока остается Т единичных периодов, общая формула для расчета обоснованной («внутренней») цены опциона на покупку акции, чья рыночная стоимость может изменяться таким образом, выглядит так (формула Б.лека — Сколса).

Ст – внутренняя цена на опцион; S₀ -сегодняшняя цена акций; δ_у – стандартное отклонение текущей доходности у рассматриваемых акций; Т – срок, определенный условием опциона, в течение или по истечении которого владелец имеет право приобрести акции по заранее определенной цене Х; Х – цена исполнения опциона; R – безрсковая ставка, обычно представляющая собой средневзвешенную (по разным выпускам) доходность к погашению долгосрочных гос. олигаций.